2020-2021学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷

一、选择题(共10小题).

1.已知集合4={0,1,2,4},B={1,2,3},则AAB=()

A.[0,1,2,3,4}B.{3}C.{1,2}D.{0,4}

2.下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)上是增函数的是()

-1

A.f(x)=TXB.f(x)=xC.f(x)=lgxD.f(x)=一

x

3.已知点A(1,-1),B(3,4),则lAB|=()

A.&B.5C.A/29D.29

4.函数无)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线>=，关于直线丫=尤对称,

则/(%)=()

A.e~1B.ex+1C.In(x-1)D.In(x+1)

5.已知矩形ABC。中，AE若"AB，若AD=a,AB=b>贝UCE=()

6.2020年11月5日-11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会,

其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用

电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五

个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的

概率是()

、13"2n3

A.——B.C.—D.三

10Io55

,8_

7.已知2*=3,1。82§予贝I2x+y=()

A.3B.4C.8D.9

8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数

据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90,100],样品数据分组为[90,92),

[92,94),[94,96),[96,98),[98,100].已知样本中产品净重小于94克的个数为

36,则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（）

9.已知四边形ABCL（中，族〃而，则“|m|=|BD是“四边形ABCD是矩形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数/（无）=?-k.若存在实数相，"，使得函数无）在区间［石，石］上的

值域为［2仇，犯］,则实数4的取值范围为（）

A.（-1,0］B.（-1,+8）C.（-2,0］D.（-2,+8）

二、填空题（共6小题）.

2

11.已知命题0：V.rG（2,+8）,X>4,则为.

12.已知函数y=3=则函数在区间［1,3］上的平均变化率为.

13.已知彳>1,贝Uy=x+i；的最小值为_____,当y取得最小值时x的值为________.

X-1

14.已知向量;=（1,k）,石=（2，2）,且W+E与W共线，则实数攵=.

15.某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年

级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）

的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为；已知高一年级中男生总数为

80人，试估计高一年级学生总数为

男女

6

46

S76069

S7S

2XH,x<a

16.已知函数/（%）

2a-|x|,

（I）若a=l,则函数/（无）的零点是；

（II）如果函数/（x）满足对任意xie（-8,。），都存在尤26（a,+8）,使得了（M）

=于（X1）,称实数。为函数/（X）的包容数.

在给出的①处;②1;③趣■三个数中，为函数了（无）的包容数是.（填出所有正

确答案的序号）

三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知全集U=R,A={x|xWa-2或x》a},B={x|x2-5x<0}.

（I）当a=l时，求ACB,AUB,（CuA）AB；

（H）若AnB=8,求实数a的取值范围.

18.已知关于无的方程无2-2（优+1）X+"/-3=0有两个不等实根.

（I）求实数机的取值范围；

（II）设方程的两个实根为X1，X2，且（X|+无2）2-（X1+M）-12=0,求实数优的值；

（III）请写出一个整数机的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）

19.某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34

名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表:

锻炼时长（小时）56789

男生人数（人）12434

女生人数（人）38621

（I）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；

（II）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概

率；

2

（III）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差i2的大小.（直接写

出结果）

1

20.已知函数/(x)=logd(。＞0且aWl).

1x1+2

（I）试判断函数/（x）的奇偶性;

（II）当4=2时，求函数/（X）的值域；

（III）若对任意xCR,f（x）21恒成立，求实数〃的取值范围.

21.已知集合S〃={X|X=(xi，X2,•••,xn),XiE{k,1},i=l,2,…，n](〃22).对于

A=(的，〃2，…，斯)，B=(bi，岳，…，bn)ESn,定义：A与3的差为A-3=(|的

n

-bx\,\a2-b2\-,\a„-bn\)；A与8之间的距离为d(A,B)=Z|a1-b1|.

i=l

(I)当k=2,w=5时，设A=(1,2,1,1,2),B=(2,1,1,2,1),求A-8,

d(A,B)；

(II)若对于任意的A,B,CeS„,有A-BeS”求发的值并证明：d(A-C,B-C)=

d(A,B).

参考答案

一、选择题(共10小题).

1.已知集合4={0,1,2,4},B={\,2,3},贝1]4口8=()

A.[0,1,2,3,4}B.{3}C.{1,2}D.{0,4}

【分析】由A与2,求出两集合的交集即可.

解：；A={0,1,2,4},B={1,2,3),

；.Anj5={l,2},

故选：C.

2.下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)上是增函数的是()

A.f(x)—TxB.f(x)—xC.f(x)—IgxD.f(x)=—

x

【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可.

解：对于A,7(无)=2”为非奇非偶函数，不符合题意；

对于2,/(x)=d为奇函数，且在R上是增函数，符合题意；

对于C,/(x)=/gx为非奇非偶函数，不符合题意；

对于f(x)=」为奇函数，在(0,+8)上是减函数，不符合题意.

x

故选：B.

3.已知点A(1,-1),8(3,4),则IAB|=<)

A.y/sB.5C.V29D.29

【分析】直接利用两点间距离公式求解即可.

解：点A(1,-1),2(3,4),

所以〔ABI'=V(l-3)2+(-l-4)2=V29-

故选：C.

4.函数/(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线>=/关于直线>=尤对称，

则/(x)=()

A.e~1B.ex+1C.In(x-1)D.In(x+1)

【分析】与函数y=射的图象关于直线y=x对称的函数为>=/依，只需把向左平

移一个单位长度即可.

解：由题意可知与函数y=/的图象关于直线>=无对称的函数为y=/nx,

只需把y=/依向左平移一个单位长度得到y=历(x+1),

(x)—In(x+1),

故选：D.

5.已知矩形48。中，AE[AB，若16=之，彘=总则而=()

O

A-一—软吟2bfB.-a—-^-2bfC.faf2bfD.a--^-2bf

【分析】根据向量基本定理进行求解即可.

解：CE=CD+DA+AE=-DC-AD+§AB=-a-b+§b=一y§b，

故选:B.

6.2020年11月5日-11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会,

其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用

电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五

个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的

概率是()

口「

A,.―1―B.—3—-C„.-2--D.—3

101055

解：现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工

智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，

基本事件总数n=Cg=10,

选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区包含的基本事件个数m=C；C：=4,

则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是2=处=冬=看.

n105

故选：C.

o

7.已知2%=3,log9—=y，贝!J2x+y=()

4y

A.3B.4C.8D.9

【分析】利用指数式与对数式的互化求出X=log23,再由对数的运算法则能求出2x+y.

O

解：：2，=3,log2y=y,

••X=log23,

Q

=1

：.2x+y=log29+log2y0g28=3.

故选：A.

8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数

据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90,100],样品数据分组为[90,92),

[92,94),[94,96),[96,98),[98,100].已知样本中产品净重小于94克的个数为

36,则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是()

C.75D.90

解：由频率分布直方图得：

样本中产品净重小于94克的频率为：

(0.050+0.100)X2=0.3,

:样本中产品净重小于94克的个数为36,

样本单元数〃=恶=120,

U»o

..•样本中净重大于或等于92克并且小于98克的频率为：

(0.100+0.150+0.125)X2=0.75,

.♦.样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为：

0.75X120=90.

故选：D.

9.已知四边形ABC。中，屈”而，则“|五|=|而是“四边形43CD是矩形”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：必要性：因为，四边形ABCQ为矩形今其对角线相等今|菽1=1前|,即

“I菽|=|丽I”是“四边形AB。是矩形”的必要条件；

充分性：反例，四边形ABC。为等腰梯形时，满足对角线相等，|菽|=|前|，但四边

形ABC。不是矩形，

即“|菽|=|丽|"不是“四边形是矩形”的充分条件；

所以“|菽|=|而|"是“四边形ABC。是矩形”的必要不充分条件•

故选：B.

10.已知函数/(%)=¥-k.若存在实数祖，n,使得函数/(x)在区间［J1,上的

值域为［2仿，犯］,则实数左的取值范围为()

A.(-1,0］B.(-1,+8)C.(-2,0］D.(-2,+8)

解：由函数/(无)=X2-k,可知函数/(X)在区间［后，4］上单调递增，

要使得函数了(尤)在区间［在，、后］上的值域为［2"7,为后］,

口Jf(匹)=2匹g/m-k=2Viri

八Mf(6)=2y|nn-k=2五’

所以在，、后为方程d-2x-k=Q的两个不相等的非负实数根，

'△=4+4k>0

所以，_>解得-1<收0,

X।x2--U

即实数上的取值范围为(-1,0］,

故选：A.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11.已知命题0：V.xe(2,+8),X2>4,则一。为AC(2,+8),尤2・4.

解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

所以命题p：VxG(2,+8),%2>4,贝!］一'p为mxe(2,+8),x?W4.

故答案为：Sxe(2,+8),fw4.

12.已知函数y=3=则函数在区间口，3］上的平均变化率为12.

【分析】利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数

在区间［1,3］上的平均变化率.

解：因为y=/(x)=3",且/(3)=33=27,/(1)=3,

所以该函数在区间［1,3］上的平均变化率为

Ay_f(3)-f(l)_27-3_,?

△x-3-1—2一.

故答案为：12.

13.已知x>l,则丫=乂+」7的最小值为3，当y取得最小值时x的值为2.

X-1

【分析】可知尤-1>0,然后将原函数变成了=履-1)」:+1，从而根据基本不等式即

x-1

可求出原函数的最小值，并得出对应的尤的值.

解：'：X>1,：.x-1>0,

•y=x+-=-=(x-l)+—J+l>2\/(xT)•+1=3,当且仅当x-l=~即x=2时

x-1x-1Vx-1x-1

取等号，

•..y=x+二7的最小值为3,当y取最小值时x=2.

x-1

故答案为:3,2.

14.已知向量之=(1,k),芯=(2,2),且Z+E与;共线，则实数仁1.

【分析】利用向量共线定理即可得出.

解："^+b=(3,2+k),

'a+b与&共线，

：.3k-(2+k)=0,解得K=l.

故答案为：1.

15.某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年

级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)

的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为77.5；已知高一年级中男生总数为

80人，试估计高一年级学生总数为200.

男女

6

46

S76069

S7S

解：将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78,共4个数据，且4X75%=3,所

以男生成绩的75%分位数为工等=775

设高一年级学生总数为n,

因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人,

所流哼,解得〃=200.

故答案是：77.5；200.

2XH,x<a

16.已知函数/（九）=<

2a-|x|,

（I）若。=1,则函数/（无）的零点是2；

（II）如果函数/（无）满足对任意为6（-8,a）,都存在尤26（a,+8）,使得了（M）

=于（X1）,称实数。为函数/（X）的包容数.

在给出的①右@1；③仔三个数中，为函数/（X）的包容数是②③.（填出所有

正确答案的序号）

TY<1

解：（I）。=1时，函数/（无）=《，：、,

[2-1x1，x>l

当％VI时，由2%」=0,得在0；

当时，由2-枕|=0,解得x=2.

・,•若〃=1,则函数/（%）的零点是2；

（II）由题意可得了（对）的值域为了（加）的值域的子集,

当。=，■时，由xv/,得f（x）=2"1（0,9

由元2/，得/（%）=1-XG（-8,

而（0,夸）《（-8,1],不满足题意；

当4=1时，由xVl,得/（%）=2*一1£（0,1）,

由f（%）=2-xE（-00,1],

而（0,1）U（-8,1],满足题意；

当〃时，由得/（%）=2'一（（0,&）,

3,3

由,得/（x）=3-xE（-8,—],

而（O,V2）U（-8,满足题意.

综上可得函数/（X）的包容数是②③.

故答案为：（1）2；（II）②③.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知全集U=R,-2或x2。},B={x|x2-5x<0}.

(I)当a=l时，求AA&AUB,(CuA)QB；

(II)若AG8=3,求实数〃的取值范围.

解：(I)当〃=1时，A={x|xW-1或x21},B={x|x2-5x<0}={x|0<x<5},

则CuA={x|-IVxVl},

所以AGB={x|lWxV5},AU5={xW-1或x>5},(CuA)nB={x|0<x<l}；

(II)若贝IJBCA,

因为5={x|f-5x<0}={x|0<x<5},

所以a-225或〃W0,

解得或〃W0,

故实数〃的取值范围为(-8,0]U[7,+8).

18.已知关于x的方程2(m+1)x+川-3=0有两个不等实根.

(I)求实数机的取值范围；

2

(II)设方程的两个实根为修，％2，且(即+%2)-(Xi+X2)-12=0,求实数机的值;

(III)请写出一个整数机的值，使得方程有两个正整数的根.(结论不需要证明)

【分析】(I)根据根与系数的关系得到关于根的不等式，求出机的范围即可；

(II)求出1I+X2=2(m+1),得到关于小的方程，解出即可；

(III)写出满足条件的根的值即可.

解：(I)由题意得：Z\=4(m+1)2-4(m2-3)>0,

解得相>一2,

故机的取值范围是(-2,+8)；

(II)由题意：xi+%2—2(m+1),

故(曲+、2)2-(冗1+%2)-12=0,

BP4(m+1)2-2(m+1)-12=0,

解得m=1或m=--,

由(I)得：m>-2,故m=l；

(III)满足要求的机=6,此时％i=3,%2—11.

19.某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34

名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表:

锻炼时长（小时）56789

男生人数（人）12434

女生人数（人）38621

（I）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；

（II）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概

率；

（III）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差S22的大小.（直接写

出结果）

【分析】（I）利用加权平均数公式能求出这个班级女生在该周的平均锻炼时长.

（II）从锻炼8小时的学生中有男生3人，女生2人，从锻炼8小时的学生中任选2人

参加一项活动，分别求出基本事件总数和选到男生和女生各1人包含的基本事件个数，

由此能求出选到男生和女生各1人的概率.

（III）由统计表得该班男生锻炼时长相对分散，从而S/>S22.

解：（I）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为:

5X3+6X8+7X6+8X2+9x1

=6.5（小时）.

3+8+6+2+1

（II）从锻炼8小时的学生中有男生3人，设为a,b,c,女生2人，设为e,7,

从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动,

基本事件总数为10,

分别为：ab,ac,ae,of,be,be,bf9ce,cf,ef,

选到男生和女生各1人包含的基本事件个数为6,

分别为：ae,af,be,bf,ce,cf,

选到男生和女生各1人的概率P=~~=T'

n105

（III）由统计表得，该班男生锻炼时长相对分散,

该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差观的大小为

20.已知函数/（x）=10gfll7F2(〃>0且.

（I）试判断函数/（x）的奇偶性;

（II）当4=2时，求函数/（X）的值域;

(Ill)若对任意xCR,/(x)恒成立，求实数a的取值范围.

解：(I)函数/(尤)=loga।*j+万(a＞0且的定义域为R,

Wk呵册寸⑴

且/(-x)=loga-

所以了(无)为偶函数.

(II)当a=2时,f(x)=log2-|~~

因为°＜备豆所以1唯品尸吟尹-1，

所以函数/(X)的值域为(-8,-1],

(III)若对任意xeR,f(x)三1恒成立，即log1三方三log/恒成立,

当。＞1时，则有7；+2三.恒成立，

因为所以a＜0,不符合题意；

|x|+22

当0＜。＜1时，则有T+cW。恒成立，