启明中学八年级数学兴趣小组工作计划

启明中学八年级数学兴趣小组工作计划

为了唤起和发展优等生对数学及其应用的稳定兴趣，拓宽和加深所学的知

识充分地民展他们的数学才能，发展他们独立地、创造性地使用教科书和科普

读物能力，以及培养他们一定的科学研究能力，我们初三年段成立数学兴趣小

组，现制定工作计划如下：

一、可向学生补充一些课外作业，让他们解答一些带有技巧性，较难的习

题，以加深所学的知识，也可以出一些题目，昼让学生一题多解，或分类讨论,

以锻炼他们的民散思维。

二、可对学生作一些适合他们兴趣的通俗报告，如有关中外数学史的专题

报告，或著名数学家的故事，某些现代数学理论的通俗介绍，竞赛辅导等，培

养科学的学习态度，树立攀登科学高峰的志趣和理想。

三、年段的各个数学教师每应分别讲授一大类型的辅导知识，于每周三晚、

周六上行分别为优等生辅导。

四、授课具体老师：由担任七年级的数学老师任教

五、学生来源：由各班自行组织每班5-—8人。

六、开始时间：第三周开始。

七、理论授课地点：电教室。

八、实践课地点：无确定地址。

八年级数学兴趣小组名单

班级姓名班级姓名班级姓名班级姓名班级姓名

218

210212214216

郑散文林乐荣张嵩唐钦潘珊珊

218

210212214216

陈菊香李佳汉陈苗李洪峰苏能文

218

210212214216

陈颖涂福林袁周率刘奕豪童律征

218

210212214216

田威威单君唐宇欣彭嘉诚李乾坤

218

210212214216

曾彬彬陈东鹏童荣杰赖钿钿刘颖

218

210212214216

周振宇林鑫海吴海军严长根黄丽娟

218

210212214216欧阳文

陈海林余伊涵黄紫妍刘盈龙

218

210213215217

焦璐遥陈积良刘增文何海璇陈迦南

219

211213215217

凌毓豪李晓宇张韬略黄璐瑶林玲俐

219

211213215217

钟祖琪李贵玲陈枫何大利胡雪晴

219

211213215217

陈峻龙曾雪松童恬林娜钟勋

219

211213215217

杜妙兰童淼君吴博宇李振黄理达

219

211213215217

毛风云钟博文周建英凌晓菲向康维

219

211213215217

余珊珊何一鸣刘宇欣张婷李金枝

219

211213刘倩涛215刘英217

刘雅淇黄禹杰李晓东

数学家的故事

丢番图（DiophantusofAlexandria约公元250年前后）

对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。从他的墓志铭中，我们知道丢番图享年84

岁。他是古希腊伟大的数学家。

丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。他有

几种著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，另一些已遗失。《算术》是一部划

时代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何原本》相媲美。

丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量

的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做

丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理

数。

从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的

最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以

及建立方程的思想（虽然未有现代方程的形式）这几方面来看，丢番图的《算术》完全可

以算得上是代数。

苏步青

当代数学家苏步青教授曾在法国遇到的一个很有名气的数学家，在电车里给他出了一

道题。

问题1：甲、乙两人同时出发，相对而行，距离是50km,甲每小时走3km,乙每小

时走2km,问他们几小时可以碰到？

事情还没结束，苏步青教授回国后把这个问题向他的学生讲了以后，学生又向苏步青教授

问了几个问题。而苏步青也在很短的时间内回答了这几个问题？你行吗？

如果乙带小狗，而小狗也以5km/小时的速度向甲跑，遇甲后又往乙路，遇乙后又往甲

跑，当两人最终相遇时，小狗跑的路程又为多少呢?

祖冲之父子

祖冲之（429500）是中国古代数学家和科学家，字文远。他在天文学、数学、机械制

造诸方面成就卓著。数学方面，他计算圆周率，取得当时世界最先进成就，900多年之后，

其精度方被人超过。他推算出圆周率”的真值在3.1415926（月内数）与3.1415927（盈数）之

22355

间，并确定”的两个分数形式的近似值：约率"”一，密率“a——，其中密率是分母

7113

在33.102以内的表示圆周率的最佳近似分数。另外，他在球体积、二次和三次方程、同

余式（组）等方面，都做过深入研究并有杰出成就。祖冲之的儿子祖恒，字景烁，也是一位

杰出的数学家和天文学家。祖冲之父子的工作，使我国传统数学在《九章算术》及其刘徽

注的基础上得以大步前进。

贾宪

贾宪11世纪中国北宋数学家.贾宪《黄帝九章算经细草》实际上是新的《九章算术》

注、并且是继刘微注之后成就最大的《九章算术》注.根据现有资料，贾宪的主要成就是:

创造"开方作法本源”即贾宪三角，并提出以贾宪三角为立成的完整的开方法一立成释锁法,

它标志着贾宪已把传统开方法推广到开任意高次方；创造增乘开方法，这是一种更加简捷,

程序化更为强烈的开方法.这两项成果后来在阿拉伯地区也都出现过；而在欧洲、前者出

现在17世纪、被称作帕斯卡三角，后者则在19世纪初才被重新提出，被称作鲁菲尼一霍

纳法或霍纳法，都比贾宪晚几百年.

华罗庚

华罗庚教授一生成就辉煌，他在世界级刊物上发表过150多篇论文，写了9本书，其

中有许多重要成果至今仍居世界领先水平。他还培养了一批中国数学界的骨干和年轻的新

一代数学家，如段学复、闵嗣鹤、万哲先、王元、陈景润等。50年代一60年代，根据中

国国情和国际潮流，华罗庚教授积极倡导应用数学与计算机的研制；并亲自去各地普及应

用数学知识与方法，为经济建设做出了巨大贡献。华罗庚教授的卓越成就，使他成为振兴

中国近代数学的带头人和世界著名的第一流大数学家，他的名字与少数经典数学家一起被

列入美国芝加哥科技博物馆等著名博物馆中。

抽屉原理

一、知识要点

1、抽屉原理1

把n+1个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里有2个东西。

2、抽屉原理2

把m个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k个东西。

其中々=々当加是〃的倍数时)或％=［叫+1(当机不勒的倍数时生］表示巴

的整数部分。

3、上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性

问题的有力工具.利用抽屉原理解题的一般步骤是：

(1)构造抽屉，指出东西；

(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；

(3)说明理由，得出结论。

二、例题精讲

例1用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两

歹！J,它们的涂色方式相同.

分析：把用两种颜色涂1X3的小方格的方法当作抽屉。

解：用两种颜色涂1x3的小方格共有8种方法.现有9歹IJ,由抽屉原理，必有两列

涂法一样.

评注：用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉，另外还要搞清什么是抽屉？什么是东

西？

例2夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一

处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？试证明你的结论。

分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论。

解：去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫

与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园），由于每人最少去一处，最多

去两处游览，所以游览方案共有6种。

因此，1987个人中至少有［也］=332个人游览的地方完全相同。

_6.

例3在1,4,7,…，100中任选20个不同的数。证明其中至少有4个数a、b、c、d,

使a+b=c+d=104.分析：考虑和为104的数对。如果两个数取自同一个数对，则它们

的和必是104,所以应当将和为104的数对作为抽屉。

解：将1,4,7,…，100这34个数，去掉1与52,分成16个数对：

{4,100},{7,97},{49,55},显然每个数对中两数的和为104

所取的20个数中，至少有18个取自这16个数对，则根据抽屉原理，其中必有

两个数a、b在同一数对中，它们的和a+b=104。

剩下的16个数，取自其余的15个数对，同样根据抽屉原理，其中必有两个数c、

d在同一数对中，它们的和c+d=104。

所以其中至少有4个数a、b、c、d,使a+b=c+d=104.

评注：本题两次使用了抽屉原理。

三、巩固练习

1、一副扑克有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（）张才能保证

有4张牌是同一花色。

A、12B、13C、14D、15

2、有22只装钢笔的文具盒，如果不管如何装都至少有4只文具盒里的钢笔数相同（不装算

0个），那么每个文具盒最多可装（）支钢笔。

A、4B、6C、7D、8

3、今有21个自然数a”a?,…，a2”且a'a?<…5区70,则值相等的差药冏（l<i<jW

21）的个数为（）

A、0个B、2个C、至多有3个D、至少有4个

4、从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取5个数，贝义1）其中必有两数互质；（2）其中必有

一数是另一数的倍数；（3）其中必有一数的两倍是另一数的倍数。以上结论中，正确的

个数为()

A、0个B、1个C、2个D、3个

5、某校有1200人，则全校在同一天过生日的人至少有()个

A、2B、3C、4D、5

6、把130只苹果分给若干小朋友，如果不管如何分，都至少有一个小朋友分得4只或4

只以上的苹果，则小朋友最多有个。

7、在一副扑克牌中取牌，至少取张，才能保证其中必有3张牌的点数相同。

8、设a1，a2，…，an是1,2,…，n的某种排列，且n是奇数，求证：(ai-l)(a2-2)—(an-n)

必是偶数。

全等三角形创新试题赏析

全等三角形的知识是研究三角形的基础，在历年中考出现大量的创新型试题，这类创

新型试题通常包括两大类，即条件开放型和结论开放型，为了能说明这一点现举例说明（所

选例题均出自2005年全国部分省市中考试卷）.

一、条件开放型

例1（深圳市）如图1,已知，在△ABC和△口□?中，AC=DB,若不增加任何字母与辅

助线，要使aABC会ADCB,则还需增加一个条件是.

简析答案不唯一.依据三角形全等的判定方法并结合图形可填上：AB=DC,或/ACB

=ZDBC.

说明在寻求三角形全等条件时，要注意结合图形，挖掘图形中隐含的公共边、公共

例2（长沙市）如图2,AB=AC,要使△ABEgaACD,应添加的条件是（添加一

个条件即可）.

简析答案不唯一.依据三角形全等的判定方法并结合图形可填上：/B=NC,或AE

=AD,或NAEB=/ADC.等等.

说明这是一道条件开放型题目，求解时，除了要认真分析题意外，还要细心观察图

形特征，充分挖掘隐含条件.另外还要不能陷入“角角角（AAA）”和"边边角（SSA）”

的怪圈，造成错解.

二、结论开放型

例3（内江市）如图3,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线/上，且过A、B

两点分别作直线/的垂线，垂足分别为D、E,请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角

形，并写出证明它们全等的过程.

简析△ACDgZ\CBE.证：由题意知/CAD+NACD=90°,ZACD+ZBCE=90°,所以

ZCAD=ZBCE,又/ADC=/CEB=90°,AC=CB,所以△ACDg/XCBE.

说明处理这类问题一定要根据题意，结合图形特征，依据全等三角形的判定方法，

才能使问题获解.

例4（河南省）如图4,梯形ABCD中，AD/7BC,AB=DC,P为梯形ABCD外一点，PA,

PD分别交线段BC于点E,F,且PA=PD.,人

AD

（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加/V7\

c

辅助线）；x\/z

（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意

P

一对进行证明.图4

简析（1）观察图形，结合条件可知有下列几对三角形全等：①△ABPgZkDCP；

②^ABE丝ZiDCF；③△BEPg/XCFP；©ABFP^ACEP.（2）以4ABP丝Z\DCP全等为例证明

如下：因为AD〃BC,AB=1）C,所以梯形ABCD为等腰梯形，所以/BAD=/CDA,又因为PA

=PD,所以ZPAD=ZPDA,所以ZBAP=ZCDP,在ZXABP和Z^DCP中，因为

PA=PD

<ZBAP=ZCDP,所以△ABPgaDCP（SAS）.

AB=DC

说明求解本题应充分依据四边形ABCD是等腰梯形的条件，结合PA=PD去寻找三角

形全等，这样问题就解决了.

例5一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成

FF

(1)求证：ABXED.图7

(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的7对全等三角形，并给予证明.

简析(1)由于aABC与4DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以

△ABC丝Z\DEF,所以/A=/D,在aANP和△DNC中，因为NANP=/DNC,所以NAPN=NDCN,

又/DCN=90°,所以NAPN=90°,故AB_LED.

(1)答案不唯一，如△ABC@Z\DBP；APEM^AFBM；AANP^ADNC等等.以

△ABC之4DBP为例证明如下：在aABC与4DBP中，因为NA=/D,ZB=ZB,PB=BC,

所以AABC丝△DBP.

说明这是一道操作题，要解决所提出的问题就必须注意在操作过程中的图形变换.

实数

一、在实数范围内，我们知道式子表示非负数a的算术平方根，它具有两个非负性：

(1)(2)a20.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若

几个非负数的和等于0,则这几个非负数都等于0”可以解决一些似乎无从下手的算术平

方根问题.

例1已知y/x+y-3+J2x—y+6=0,求x,y的值.

练习：

1、若实数a、b满足(a+Z?—2)2+2a+3=0,则2b—a+1=.

2、已知x,y为实数，且\/x-l+3(y-2)2=0,则x-y的值为()

A.3B.-3C.1D.-1

3.已知x、y是实数，j3x+4+y2-6q+9=0,axy-3x=y,贝a二.

4.已知实数a、b>c满足g|a-q+j2>+c+c、2-c+：=0,则a(b+c)=.

5.已知(xT)2+5Jy-5x+|x-y+z+1|=0,则x+y+z的平方根是.

6.代数式-3-而］的最大值为这时a与b的关系是—

例2.(第14届“希望杯”邀请赛试题)已知x是实数，求45+疡二+七1的值.

71

7、在实数范围内，求代数式.一(x—4)2-1|-2的值.

8^已知实a满足|2005-4+J+-2006=a,求a-20052的值.

9.已知y=Jx-l+5J1-X+2,则/=o

10.已知：y=Jx-2+J2-X+5,求2x+3y的值.

确定点的坐标

一、象限点

解决有关点的位置关键是熟记各象限点的符号特征，由一到四象限点的坐标符号分别

为(+,+),(一,+),(一,-)>(+,—).

例1已知点M(3a-9,1-0在第三象限，且它的坐标都是整数，则()

A.1B.2C.3D.0

练习：

1、点N(-1-b2,2+a2)在第象限.

2、己知A(-4,0),B(2,0),C(4,3),求AABC的面积.

二、坐标轴上点

解决坐标轴上点的问题的关键是把握“0”的特征,x轴上的点纵坐标为0,可记为(x,O);

y轴上点的横坐标为0,可记为(0,y)；原点的坐标为(0,0).

例2点P(加+3,m+1)在x轴上，则P点的坐标为().

A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)

3、若点M(a-2,2a+3)是y轴上的点，则a的值是.

三、角平分线上的点

所谓角平分线上的点，就是坐标轴夹角平分线上的点.解决这类问题的关键是掌握

“X=y”的特征，一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记为(X,X);二、四

象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为(x,-X).

四、平行于坐标轴的直线上的点

平行于X轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上点的横坐标相同.

例3点A(4,y)和点B(x,-3),过A,B两点的直线平行x轴，且AS=5,则x=

/=•

4.己知点A(-4,2),B(1,2),则A,B两点相距()

A.3个单位长度B.4个单位长度；

C.5个单位长度D.6个单位长度

5.如图，已知坐标平面内三点A(5,4),B(2,4),C(4,2)4I^、4ABC的

面积为（）

A.3B.5C.6D.7

6.如图，在平行四边形ABCD中,A0=5,试求A、B、C三点的坐标和平行四边形ABCD的面

积.

五、几何变换后点的坐标

①、平移变换

例4如图1,已知△ABC在平面直角坐标系中的位置.

(1)写出它的三个顶点的坐标；

(2)若把这个三角形向右平移5个单位后得到三角形A'B'C

试画出三角形A'8'C',并写出它的三个顶点的坐标.

图1

②、轴对称变换

对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点尸(a,b)关于x轴对称的点的坐标是

(a,-b);关于y轴对称的点的坐标是(-a,b).

4、点(-1,4)关于y轴的对称点的坐标是()

A.(-1,-4)B.(1,-4)C.(1,4)D.(4,-1)

7.如图所示,AABC和aA'BC存在着某种对应关系(它们关于BC对称)，其中A的对应点是

A',A(3,6),A'(3,0),4ABC内部的点M(4,4)的对应点是N(4,2).

(1)你知道它们的对应点的坐标有什么关系吗？

(2)如果△ABC内有一点P(x,y),那么在AA'BC内P的对应点P'的坐标是什么？

④、拉伸变换

例6、如图3,在直角坐标系中，第一次将△048拉伸成△QAA，第二次将△34拉伸

成△。六与，第三次将△。4名拉伸成

△例员.若A(l,3),4(2,3),4(43),4(8,3);

8(20),4(4,0),B2(&0),名(160).

(1)观察每次拉伸前后的三角形有何变

化，找出规律，按此规律再将△04与拉伸成△。勺乩，则A&的坐标是,反的

坐标是.

(2)若按第(1)题找到的规律将△Q45进行了几次拉伸，得到纥，比较每次

拉伸中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测4的坐标是，纥的坐

标是.

一次函数

1.有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的.设从某时刻开始

5min内只进水不出水，在随后的15min内既进水又出水，得到时间x(min)与水量y(L)之间

的关系如图.若20min后只放水不进水,则这时(x220时)y与x的函数关系是.

2.某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条

输入传送带每小时进库的货物流量如图(a),每条输出传送带每小时出库的货物流量如图

(b),而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(c),

则在。时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4时至5时有多少条输入传

送带和输出传送带在工作？

3.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A,B两

种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为

30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元.某日王老师进货A款式服装35件,

B款式服装25件.怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润不小

于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？

4.己知写文章、出版图书所获得稿费的纳税计算方法是

AB

c/、(x-8(X))K()%(1-30%),x<4(X)甘属，/、

f(x)=J其中f(x)成本(万元/套)2528

vRl-20%)20%(l-30%),x>400

售价(万元/套)3034

表示稿费为x元应缴纳的税额.假如张三取得一笔稿费，缴

纳个人所得税后，得到7104元，问张三的这笔稿费是多少元？

5.某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超

用水量(m，)交水费(元)

过最低限量an?时，只付基本费8元和定额损耗费c

一月份99

元(cW5);若用水量超过an?时，除了付向上的基本费和

二月份1519

损耗费外，超过部分每In?付b元的超额费.某市一

三月2233

家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费

用如下表所示.根据上表的表格中的数据，求a、b、c.

6.A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市

18台，E市10.已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从

B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、

E市的运费为400元和500元.

(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W(元)

关于x(台)的函数关系式，并求W的最大值和最小值.

(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用X、

y表示总运费W(元)，并求W的最大值和最小值.

旋转变换

一、填空题

1、如图1,AABC中，M为BC中点，D、E分别在AB、AC上，DM1ME,贝ijBD+CEDE

2.如图2,点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2,PB=2A/3,PC=4,则NAPC的大小

是度。

3.如图3,Z\ABC中，ZA=90°,AB=AC,P、Q是BC上两点，且满足3P?+CQ?+PQ?,

则/PAQ的度数是«

4.等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5,则这个等边三角形的边长的平

方是。

二、解答题

5.如图，已知正方形ABCD对角线交于点0,点P、点Q分别是BC、CD上的点，DP±AQ«

求证：0Q10P.

6.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AF平分NDAE。求证：AE=DF+BE.

7.如图，已知aABC与4CDE都是等边三角形，且满足NEBD=40°,求：NAEB的度数。

8.如图，已知0是等边aABC内一点，ZAOB=UO°,NB0C=120°,求：以线段OA、0B、

0C为边构成的三角形的各内角度数。

B

全等三角形中的动态几何问题

动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而

通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中

考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的

运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动.本文以中考试题

中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考.

例1.(扬州)在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,

BE±MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①^ADC丝ACEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明.

证明