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文档简介

定积分的应用

一、定积分在几何上的应用二、定积分在物理上的应用1微元法定积分求面积巩固练习复习定积分的概念理解什么是微元法了解用微元法解决问题的步骤微元法公式法本次课主要内容2一.微元法用定积分求曲边梯形面积的步骤(复习)(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限其中第(2)步是关键，用小矩形的面积近似代替其所在小曲边梯形的面积。…3若在“(2)近似代替”中，小区间左端点记为，右端点记为，取则代表小区间上面积A

的近似值称为面积微元，记为对面积微元在积分区间上积分，则得总面积上述方法称为微元法。下面，我们给出微元法的准确定义。42.在上任取一个区间综上所述在解决具体问题时，用定积分计算所求量（总量）的步骤是：，并确定积分区间；选取一个积分变量求出相应于这个小区间的部分量的近似值（微元）用上述步骤解决问题的方法叫做定积分的微元法。将微元在积分区间上取积分，则得总量5二.求平面图形的面积1.设平面图形如右图[1],则取，积分区间为，则平面图形的面积为.[1][2]为积分变量,其积分区间为[a,b]微元面积2.设平面图形如右图[2],则取y为积分变量,其积分区间为[c,d]微元面积X型区域Y型区域6例1求由抛物线及直线所围成的图形的面积。解:如右图所示,解方程组得交点M(2,-2)及N(8,4)D此时,应选取为积分变量,积分区间为[-2，4]，面积元素（面积单位）练习P114,21,22-24在积分区间上任取小区间[y,y+dy]yy+dy7练习

计算由两条抛物线:所围成图形的面积。解ox(1,1)xx+dx1y为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。为了定出图形的所在范围,应先求出这两条抛物线的交点，为此,

解方程组

即这两条抛物线的交点为(0,0)及(1,1)。从而知道这图形在直线

x=0及

x=1之间。取

x

为积分变量,且

x∈[0,1],微元为则8都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体,所以它们都是旋转体。2.旋转体的体积圆柱、圆锥、圆台、球体oxyy=ƒ(x)ab

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.上述旋转体都可以看作是由连续曲线y=ƒ(x)、直线x=a、直线x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x

轴9x旋转一周而成的立体.

的体积微元(近似在[a,b]上作定积分得下面用微元法来求它的体积.oxy=ƒ(x)abx

x+dxy在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],窄曲边梯形绕x

轴旋转而成的薄片则此小区间上的近似值)为oyy=ƒ(x)abx

x+dx1011ox=φ(y)c

y+dyyxy

类似地,由曲线x=φ(y)、直线y=c、=d(c<d)与y

轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为d12解直线方程为1314例4

求曲线和y=0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转所得旋转体的体积.oy(1,1)(2,0)x解为了确定积分区间,应先求两曲线之交点.则绕

x

轴旋转的体积微元为x解方程组

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