统编八年级数学上册《多边形及内角和》教案

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

教学目标

i.掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念.（重点）

2.正确区分凹多边形和凸多边形.（重点）

3.理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线.（难点）

一、情境导入

利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片（包含一个或多个明显的多边形）.

问题：请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？

长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、

工农业生产中都有应用，引出本节课课题：多边形.

二、合作探究

探究点一：多边形的概念

［类型—］多边形及其概念

下列图形不是凸多边形的是（）

解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多

边形即是凸多边形，否则即是凹多边形.由此可得选项D的图形不是凸多边形.故选D.

方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：（1）画多

边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；（2）每个内角的度数均小于

180。.通常所说的多边形指凸多边形.

［类型二］确定多边形的边数

的烟若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（）

A.14或15或16B.15或16

C.14或16D.15或16或17

解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了

一条，则多边形的边数是14,15或16.故选A.

方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减

少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下.

探究点二：多边形的对角线

［类型—］确定多边形的对角线的条数

画画从四边形的一个顶点出发可画_______条对角线，从五边形的一个顶点出发可画

一条对角线，从六边形的一个顶点出发可画条对角线，请猜想从七边形的一

个顶点出发有条对角线，从〃边形的一个顶点出发有条对角线，从而推导

出〃边形共有条对角线.

解析：根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线.从〃个顶点出发引出〃（〃一

3）条对角线，而每条重复一次，可得答案.

解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角

线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从

〃边形的一个顶点出发有（"-3）条对角线，从而推导出〃边形共有""J'"一条对角线.

方法总结：（1）多边形有〃条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有（〃-3）条；（2）

多边形有〃条边，对角线的条数为0

［类型二］根据对角线条数确定多边形的边数

的I!从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：设这个多边形是〃边形.依题意，得〃-3=5,解得〃=8.故这个多边形的边数

是8.故选C.

［类型三］根据分成三角形的个数，确定多边形的边数

的时连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原

多边形是（）

A.五边形B.六边形

C.七边形D.八边形

解析：设原多边形是〃边形，则〃-2=6,解得〃=8.故选D.

方法总结：从n边形的一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，这（〃-3）条对角线把n

边形分成（〃一2）个三角形.

探究点三：正多边形的有关概念

»下列图形中，是正多边形的是（）

A.等腰三角形

B.长方形

C.正方形

D.五边都相等的五边形

解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行

解答.正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.

方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等

的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可.

三、板书设计

多边形

1.定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图

形.

2.相关概念：顶点、边、内角、对角线.

3.多边形的对角线：〃边形从一个顶点出发的对角线条数为（〃-3）条；〃边形共有对

1,4A（n3）.*

角线2条（〃，3）.

4.正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形.

教学反思

本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，

都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来.在这个过程中，学生得到了锻炼，

明白了和他人怎样合作，取长补短.在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具

有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织

引导和巡视力度.

11.3.1多边形

观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体

知识与技

（四边形、五边形），了解多边形及其内角、对角

能

线等数学概念

能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想

教学目标过程与方

或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性

法

认识

情感态度了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处

价值观处有数学的道理.

了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形

教学重点

状的辨别。

教学难点正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别。

教学准备教师：多媒体课件（某几个重点教学片段使用）、三角尺。

教学过程（师生活动）设计理念

复习：1.什么是三角形？怎样表示？

利用现实生活

2.什么是三角形的边，角以及外角？

情境吸引学生

图片观赏：

尽快投入到数

学课堂中来。让

学生们观察、回

引入新课

答、补充，既能

rn体现主体性，又

能较自然地过

渡到新课教学

中来。

你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？

学生回答，相互补充，教师点明本节课题.

这些线段围成的图形有何特性？

［（1）它们在同一平面内.

（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺

次相接组成的.1

这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八

边形，那么什么叫做多边形呢？

你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？

归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图

形叫做多边形.运用类比

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边方法学习新知

识，便于发现新

形叫做n边形.（一个多边形由几条线段组成，就叫

旧知识的异同

做几边形.）

点，同时完善学

明确概念：生的认知结构。

人

1.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角

2.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做

新知探究多边形的外角.

3.多边形的对角线

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多

边形的对角线.

让学生画出五边形的所有对角线.

4.凸多边形与凹多边形

4A

一一

1k通过对

比，学习凸多边

形与凹多边形

CD的概念，加深认

（1）（2）识

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所

在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的

四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；

而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们

画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一

侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中

提到的多边形都是凸多边形.

5.正多边形

由正方形的特征出发，得出正多边形的概念.

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多

边形.

△□

正三角形正方形正五边形正六边膨

课本P21练习1.2.

巩固练习

小结与作业

1、今天本节课学习的主要内容(概念)。

生活中处处有

课堂小结2、本节课学习新知识过程中运用哪种重要的思想

儿何。

方法。

1、必做题：

本课作业

2、选做题：

11.3.2多边形的内角和

教学目标

i.理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.(重点)

2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点)

一、情境导入

多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.

提出问题：

(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？

(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？

(3)你会求这个多边形的内角和吗？

导入:小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？

你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.

二、合作探究

探究点一：多边形的内角和

［类型—］利用内角和求边数

厕II一个多边形的内角和为540。，则它是()

A.四边形B.五边形

C.六边形D.七边形

解析：熟记多边形的内角和公式("-2)•180°.设它是"边形，根据题意得(〃-2)•180

=540,解得〃=5.故选B.

方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

［类型二］求多边形的内角和

加一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后，得到的多边形的内角和为()

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

解析：1800+180=10,...原多边形边数为10+2=12.•.•一个多边形截去一个内角后，

边数可能减1,可能不变，也可能加1,...新多边形的边数可能是11,12,13,.,.新多边形

的内角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D.

方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1,可能不变，也可能加1.根据多

边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.

［类型三］复杂图形中的角度计算

如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.450°B.540°

C.630°D.720°

解析：如图,N3+N4=/8+N9,AZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1

+/2+/8+/9+/5+/6+/7=五边形的内角和=540°,故选B.

方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特

点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性.

【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数

的R一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°,当他发现错了以

后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？

解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后

可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数.

解：设此多边形的内角和为x,则有1125°<A-<1125°+180。，即180°X6+450

<A-<180°X7+45°,因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x=180°

X7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此，漏加的这个内角是135°,这

个多边形是九边形.

方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数.

探究点二：多边形的外角和

【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数

的时正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正（）

A.八边形B.九边形

C.十边形D.十一边形

解析：正多边形的边数为360°4-36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C.

方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可.

［类型二］多边形内角和与外角和的综合运用

加一个多边形的内角和与外角和的和为540。，则它是（）

A.五边形B.四边形

C.三角形D.不能确定

解析：设这个多边形的边数为〃，则依题意可得（。-2）X180°+360°=540°,解得n

=3,.•.这个多边形是三角形.故选C.

方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系

列出方程从而解决问题.

三、板书设计

多边形的内角和与外角和

1.性质：多边形的内角和等于（〃-2）•180°；多边形的外角和等于360°.

2.多边形的边数与内角和、外角和的关系：

（1）〃边形的内角和等于（〃-2）•180°（〃》3,〃是正整数），可见多边形内角和与边数

〃有关，每增加1条边，内角和增加180°.

（2）多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关.

（3）.正〃边形：正〃边形的内角的度数为"一2）Y80°_,外角的度数为螫二

nn

教学反思

本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用

完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教

学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，

在“合作”中增知，在“探究”中创新.要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发

现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决.

11.3.2多边形的内角和

1.掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和

知识与技能知识解决一些较简单的问题；

教学目标通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索

过程与方法

与归纳能力

情感态度价通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热

值观情，求知欲望，养成良好的数学思维品质

教学重点多边形的内角和以及外角和

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和

教学难点

与外角和

教学准备学生：量角器、直尺（三角尺）；教师：教具（全等四边形四个）。

教学过程（师生活动）设计理念

创设情境1.（1）你知道三角形的内角和是多少度吗？利用学生的好奇

引入新课【三角形的内角和等于180°］心设疑，激发学

(2)长方形的内角和等于—，正方形的内角和等于_生的求知欲望，

2、你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？通过今使他们能自觉地

天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题.参与到下面多边

形内角和探索的

活动中去

1.探索四边形的内角和

学生叙述对四边形内角和的认识.

(如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角

线分成两个三角形来计算内角和等).

建议：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；

②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，

并提出是数学学习中的一种常用方法；

③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为鼓励学生

360度寻找多种分割形

式，深入领会转

A化的本质一一将

D

Z\^四边形转化为三

角形问题来解

决。

【分成2个三角形180°X2=360°]

仁

新课教学

【分割成4个三角形180°X4-360°=360°]

r

【分割成3个三角形180°X3-180°=360°]

小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三

角形内角和求得四边形内角和

2.你知道五边形的内角和是多少度吗？

AE

通过增加

图形的复杂性，

让学生再一次经

C历转化的过程，

AE加深对转化思想

方法的理解，在

探索过程中进一

步体现新课标

1A“以人为本”的

C思想，发展学生

;的语言表达能力

C

3、探索多边形内角和问题