2023-2024学年江西省宜春市丰城市高二（上）期末数学试卷

2023-2024学年度上学期期末考试卷高二数学一、单选题（每题5分共40分）1．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（

）A． B．C． D．2．圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．3．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（

）附：()0.100.050.0252.7063.8415.024，.A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”C．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”D．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”4．展开式中，的系数是（

）A． B． C． D．5．甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（

）A．0.26 B．0.72 C．0.74 D．0.986．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（

）A． B． C． D．7．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则A． B． C． D．8．已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是A．10 B．8 C．6 D．4二、多选题（每题5分共20分）9．下列说法正确的是（

）A．数据的中位数为B．一组数据的第百分位数为C．随机变量服从正态分布，则标准差为D．设随机事件和，已知，，，则10．已知方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切11．下列命题是真命题的有（）A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则C．平面，的法向量分别为，，则D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则12．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形三、填空题（每题5分共20分）13．某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有（保留整数）．参考数据：，14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.15．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．16．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．已知直线和直线.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程；（2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程19．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015Bxy合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，，0．050．0100．0013．8416．63510．82820．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；21．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.22．已知抛物线C：（）与圆O：交于A，B两点，且，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点.(1)抛物线C的方程；(2)求的最小值.参考答案：1．A【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解．【详解】由题意，有，则，解得故选：A2．A【分析】根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.【详解】将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则解得所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.故选：A3．C【分析】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，根据条件，得到列联表，求出，的值，利用公式计算的值，再与表中临界值比较可得结果.【详解】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，则可得如下表格：方案一方案二男老师女老师由题意，可得，可得，，则，但，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”.故选：C.4．B【分析】写出展开式的通项公式，令，即得解【详解】展开式的通项为，令，故，故选：B.5．D【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率．【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：，则至少有一人中靶的概率为：，故选：D．6．C【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出.【详解】设，，把l与C的方程联立，得，消去y并整理，得，则，，又l经过C的焦点，∴，∴，∴C的方程为.故选：C.7．D【分析】利用抛物线的定义列等式可求出的值.【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A【分析】利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出．【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，因为在右支上，故，故，故选A．【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题．9．BCD【分析】根据中位数和百分位数的计算方法可得AB正误；由正态分布性质知C正确；根据全概率公式可求得D正确.【详解】对于A，将数据从小到大排序为：，共个数据，则中位数为第个数据，即中位数为，A错误；对于B，该组数据共个，则，第百分位数为，B正确；对于C，，方差为，则标准差为，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD.10．BCD【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.11．AD【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】A：∵，，∴，则，∴直线与垂直，故A正确；B：，，则，则，∴或，故B错误；C：∵，，∴与不共线，∴不成立，故C错误；D：∵点，，，∴，.∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正确.故选：AD12．AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

13．136【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解【详解】由题意，且，故答案为：136【点睛】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题14．【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，

当直线经过点时，；当直线经过点时，；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．16．【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：17．(1)0或2(2)【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【详解】（1）若，则，解得或2；（2）若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18．(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析，期望为2.【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．（2）完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，．所以X的分布列为X0123P方法1：．方法2：.19．(1)证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为，M为BC的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因为底面ABCD，底面ABCD，所以，而平面PBD，所以平面PBD；（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为因为四棱锥的底面是矩形，所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为，设平面APM的法向量为，，，于是有，平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，所以D到平面APM的距离为20．（1）；（2）【分析】（1）先求出焦点，再由椭圆的性质求出，最后写出椭圆的标准方程即可.（2）根据题意，设出双曲线的标准方程，再解出，最后得出双曲线的标准方程即可.【详解】（1）椭圆中，所以，又经过点，设椭圆方程为，则，解得,所以椭圆标准方程为.（2）由题意可知，设双曲线标准方程，则解得，所以双曲线标准方程.21．（1）见解析；（2）类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为（2）由（1）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．22．(1)；(2).【分析】（1）根据题意求点A的坐标，代入抛物线方程可求，即可得结果；（2）先利用韦达定理证，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）设，根据抛物线和圆的对称性得，由，解得，故点在抛物线：上，所以，解得，故抛物线：；（2）由抛物线：，得，设直线：，，，联立方程，消去得，则，，故，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤：（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．参考答案：1．A【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解．【详解】由题意，有，则，解得故选：A2．A【分析】根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.【详解】将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则解得所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.故选：A3．C【分析】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，根据条件，得到列联表，求出，的值，利用公式计算的值，再与表中临界值比较可得结果.【详解】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，则可得如下表格：方案一方案二男老师女老师由题意，可得，可得，，则，但，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”.故选：C.4．B【分析】写出展开式的通项公式，令，即得解【详解】展开式的通项为，令，故，故选：B.5．D【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率．【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：，则至少有一人中靶的概率为：，故选：D．6．C【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出.【详解】设，，把l与C的方程联立，得，消去y并整理，得，则，，又l经过C的焦点，∴，∴，∴C的方程为.故选：C.7．D【分析】利用抛物线的定义列等式可求出的值.【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A【分析】利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出．【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，因为在右支上，故，故，故选A．【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题．9．BCD【分析】根据中位数和百分位数的计算方法可得AB正误；由正态分布性质知C正确；根据全概率公式可求得D正确.【详解】对于A，将数据从小到大排序为：，共个数据，则中位数为第个数据，即中位数为，A错误；对于B，该组数据共个，则，第百分位数为，B正确；对于C，，方差为，则标准差为，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD.10．BCD【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.11．AD【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】A：∵，，∴，则，∴直线与垂直，故A正确；B：，，则，则，∴或，故B错误；C：∵，，∴与不共线，∴不成立，故C错误；D：∵点，，，∴，.∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正确.故选：AD12．AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

13．136【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解【详解】由题意，且，故答案为：136【点睛】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题14．【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，

当直线经过点时，；当直线经过点时，；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．16．【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：17．(1)0或2(2)【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【详解】（1）若，则，解得或2；（2）若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18．(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析，期望为2.【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．（2）完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，．所以X的分布列为X0123P方法1：．方法2：.19．(1)