26.1.1 反比例函数 课件 2023－2024学年人教版九年级数学下册

26.1.1

反比例函数1.什么叫函数？一般地，在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y总有唯一确定的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x、y，x叫自变量,y叫因变量,我们把y叫做x的函数.2.什么是正比例函数？一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称做y是x的正比例函数（也即y与x成正比）复习导入例1、若函数y=是反比例函数，则常数m必须满足的条件是()m(m-1)xA.m≠1B.m≠0或m≠1C.m≠0D.m≠0且m≠1D例2、如果变量z与y成正比例，y与x成反比例，那么z与x成正比例还是反比例？为什么？解：∵

变量z与y成正比例，y与x成反比例∴设

z=k1y，k2xy=(k1,k2均不为0)∴z=k1·k2x=k1k2x(k1,k2均不为0)∴z与x成反比例

小例题随堂练习1、下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是()A.正方形的面积S与边长a的关系B.正方形的周长L与边长a的关系C.长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系D.长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系D

2、（2019•衢州一模）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（）A．P=96VB．P=-16V+11296V

V（单位：m3）11.522.53P（单位：kPa）96644838.432C．P=16V2-96V+176D．P=D3、用反比例函数关系式表示下列问题中两个变量间的对应关系：

(1)小明完成100m赛跑时，所用时间t(s)随他跑步的平均速度v(m/s)的变化而变化；(2)三角形的面积为20，它的底边a上的高h随底边a的变化而变化；

(3)一个密闭容器内有气体0.5kg，气体的密度ρ(kg/m3)随容器容积V(m3)的变化而变化；(4)压力为600N时，压强p(Pa)随受力面积S(m2)的变化而变化.100vt=(v>0)40ah=(a>0)0.5Vρ=(V>0)解：(1)(2)(3)600SP=(S>0)(4)的函数叫做

一般地，表达式形如

反比例函数.(k为常数，且k≠0)kxy=其中，x是自变量，y是函数.(k为常数，且k≠0)注意：1、反比例函数的比例系数

k≠0，2、反比例函数有三种表示形式：kxy=或y=kx-1或xy=k3、在实际问题中，自变量

x≠0，函数值

y≠0.自变量x的取值范围要保证函数有实际意义.

先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式：再看k是否为常数且k≠0.判断一个函数是不是反比例函数的方法，kxy=或y=kx-1或xy=k，

课堂小结知识点1

反比例函数的定义

C

知识点2

实际问题中的反比例函数关系

C

7.（真实问题情境）列出下列问题中的函数解析式，并判断它们是否为反比例函数.

知识点3

用待定系数法求反比例函数的解析式

D

123412643

☆2D

知识回顾问题1反比例函数的图象是什么？

问题2反比例函数的性质与k有怎样的关系？①当

k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随

x的增大而减小；反比例函数的图象是双曲线②当

k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随

x的增大而增大.③越大图像离原点越远.1.在反比例函数

的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下表格：问题探究PQS1S244S1=S2S1=S2=k2.若在反比例函数

中也用同样的方法分别取

P，Q两点，填写表格：问题探究PQS1S2S1=S2S1=S2由此，你发现了什么？与同伴交流.如图所示，过反比例函数的图象上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N,所得的矩形PMON的面积为：S矩形PMON=|k|如图所示，过反比例函数的图象上任意一点P(x,y)作x轴或y轴的垂线，垂足为Q,所得△POQ的面积为：归纳总结MNOP(x，y)P(x，y)A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SBC如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B

，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA

，SB，SC，则()做一做ABCyxOSASBSC

如图所示，点A在反比例函数

的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．解：∵点

A在反比例函数

的图象上，∴反比例函数的表达式为典例精析又∵反比例函数的图象在一、三象限，ACyxO提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.练一练1.如图，过反比例函数

图象上的一点

P，作PA⊥x轴于A.

若△POA的面积为

6，则

k=

.yxOPA2.若点

P是反比例函数图象上的一点，过点

P分别作x轴、y轴作垂线，垂足分别为点

M，N，若四边形PMON的面积为

3，则这个反比例函数的关系式是

.或练一练yxOPNMyxOPNM例如图，P，C是函数(x>0)图像上的任意两点，PA，CD垂直于

x轴.设

△POA的面积为

S1，则

S1=

；梯形CEAD的面积为

S2，则

S1与

S2的大小关系是

S1

S2；△POE的面积

S3和

S2的大小关系是S2

S3.2＞＝yxOPACDE典例精析

如图所示，直线与双曲线交于

A，B两点，P是AB上的点，△

AOC的面积

S1、△

BOD的面积S2、

△

POE的面积

S3的大小关系为

.S1=S2<S3练一练所以

S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3ABOCDPES1S2S3F解析：由反比例函数面积的不变性易知

S1=S2.PE与双曲线的一支交于点

F，连接

OF，而

S3＞S△OFE，S△OFE

=S1=S2，易知，

函数

y=kx－k

与

的图象大致是()D.xyODOB.xyxyA.OyC.Ox提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数

k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.典例精析A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练

在同一直角坐标系中，函数

与

y=ax+1(a≠0)的图象可能是()

如图是一次函数

y1=kx+b和反比例函数

的图象，观察图象，当

y1﹥y2时，x

的取值范围为

.

－2<x<0或

x>3方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小简洁明了.解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2<x<0或

x>3.典例精析y1=kx+b－23yxO练一练

－1<x<0或

x>2如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是

．yxOAB2-1

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点

P(－3，4).试求出它们的解析式.∵这两个函数的图象交于点

P(－3，4)，解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为:y=k1x和∴解得∴正比例函数的解析式为反比例函数的解析式为典例精析

反比例函数

的图象与正比例函数

y=3x

的图象的交点坐标为

．

(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.练一练y=3x－k+b=2已知

A(－4，)，B(－1，2)是一次函数

y=kx+b与反比例函数

的图象的两个交点，求一次函数解析式及

m的值.解：把A(－4，)，B(－1，2)代入

y=kx+b中，得

k=解得b=－4k+b=∴一次函数的解析式为

把

B(－1，2)代入

中，得

m=－1×2=－2.典例精析1.如图所示，

P是反比例函数

的图象上一点，过点

P

作

PB⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP

的面积为

2，则k的值为()A.4B.2C.－2D.不确定A当堂练习POBAxy2.反比例函数

的图象与一次函数

y=2x+1的图象的一个交点是

(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．

当堂练习当堂练习A.－1B．3C．1D．0Oxy

3如图，是反比例函数

的图象，则k的值可以是