人教版八年级数学上册教案第14章 整式的乘法与因式分解

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数幕的乘法

教学目标

1.通过计算、观察，理解同底数幕的乘法法则.

2.会运用法则，熟练地进行同底数基的乘法运算.

预习反馈

阅读教材P95〜96"探究及例1”，完成下列问题.

1.同底数基相乘，底数不变,指数相加,即a：a"=a"(m,n都是正整数).

2.计算：

(1)52X53=5X5X5X5X5=5%

(2)32X3'=3X3X3X3X3X3=3—；

(3)aJ,a'=(a»a*a),(a•a,a*a)=a-；

(4)103X105=10-；

(5)(—2)-Xl—2/=(一2)6；

(6)b°•产'=产'.

名校讲坛

例1(教材P96例1)计算：

(l)x2•x"；

解：x2•x5=x2*5=x7.

(2)a•a6；

解：a•ab=a1+6=a,.

温馨提示：a=al,不要漏掉单独字母的指数1.

⑶(-2)X(-2)4X(-2/；

解：(-2)X(一2)叹(一2/=(-2)1+4+3=(-2)8=256.

⑷

解ATJ：xm•X3m+1=xm+3m+1=x4m+1.

【点拨】从三方面正确理解“同底数嘉的乘法法则”：

(1)底数必须相同；

(2)相乘时，底数不能发生变化；

(3)指数相加的和作为结果易的指数.

例2(教材.P96例1的变式)计算：

(1)—Xh•(—X)'0：

解：原式=一/・X.M-X?

【点拨】把不同底数幕转化为同底数幕时要注意符号的变化.

(2)(a+2)2-(a+2)3；

解：原式=(a+2)*=(a+2)5.

【点拨】当底数为一个多项式时，把这个多项式看成一个整体.

(3)am•a"•ap.

解：原式=a""+P.

【点拨】如果三个或者三个以上的同底数鼎相乘，同底数幕的法则同样适用.

【跟踪训练1】（《名校课堂》14.1.1习题）计算：

（l）a,a；

解：原式=£+9=建.

⑵（一1x（—»；

解：原式=（_6/=（_；）5.

（3）?"-X2"-2.

解：原式nxM+ZTuxSLZ.

例3（教材补充例题）已知a*=2,a'=3（x,y为整数），求a-'的值.

解：ax+,=ax-ay=2X3=6.

【点拨】同底数幕的乘法法则的逆用：

L法则的逆用：am-a-=a+n（m,n都是正整数）从右向左为a"l+n=am-a"（m,n都是正整数）,以此类推广"

ap.........a"（p,…，q都是正整数）.

2.逆用的条件：当幕的指数是和的形式时，可考虑变为同底数辕的乘法，结合已知条件灵活变形，使计算简便.

【跟踪训练2】（《名校课堂》14.1.1习题）已知4*=8,4'=32,求x+y的值.

解：4*•4'=8X32=256=44,而4s-4y=4s+＞；

，x+y=4.

巩固训练

1.化简的结果是（B）

A.aB.a3C.a1D.a5

2.下列各式中，计算正确的是（B）

A.,m'=2ni’°B.m'•m'=ni8

C.m3•m'=m'D.ml，+m，'=2mL

3.已知a2•广―,那么x的值为7.

4.一个长方形的长是4.2X10'cm,宽是2X10"cm,求此长方形的面积及周长.

解：根据长方形的面积公式，得

4.2XIO4X2X10"=8.4X10s（cm2）.

根据长方形的周长公式，得

4.2X104X2+2X104X2=8.4X104+4X104=12.4X104=l.24X105（cm）.

课堂小结

1.本节课学习了哪些主要内容？

2.同底数塞的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？

14.1.2幕的乘方

教学目标

1.通过计算、观察，理解幕的乘方法则.

2.会运用法则，熟练地进行累的乘方的运算.

预习反馈

阅读教材P96〜97"探究及例2”，完成下列问题.

1.黑的乘方，底数不变,指数相乘,即（a''）"=a^（m,n都是正整数）.

2.计算：

232222

(1)(5)^5X5X5=5^；(2)(a")=a"»a"=a^;

2423

(3)(10)=10!；(4)(X)=x!；

名校讲坛

例1(教材P96例2)计算：

(1)(103)5；⑵3)，；⑶(a"。(4)-(x4)3.

解：(1)(103)6=103X5=1015.

(2)(a4)4=a^=a16.

(3)(am)2=a",X2=a2".

(4)—(xT=—x“3=—x”.

例2(教材P96例2的变式)计算：

⑴(a”；

解:原式=炉吗

【点拨】将a的指数(m+1)看作一个整体与3相乘.

32

(2)[(x-y)];

解：原式=(x—y)(5.

【点拨】把(x-y)看作一个整体进行塞的乘方运算.

⑶[(xT-

解：原式=(xT=x'2.

【点拨】多重乘方可以重复运用幕的乘方法则，即[(aM)IT=a""l^(m,n,p都是正整数).

【跟踪训练1](《名校课堂》14.1.2习题)计算：

⑴(10T；

解：原式=102=102

⑵(xT；

解：原式=X*2=X“.

(3)[(-a)3]5；

解：原式=(-a)3X5=(_a).-a?

(4)—(x2)°.

解：原式=-x2X"=-x2".

例3(教材补充例题)若92"=3'求n的值.

解：依题意,得92"=(3，'，即92"=9'.

•\2n=4.An=2.

【点拨】落的乘方法则的逆用：a-=(a")n=(a'y(m,n都是正整数).

【跟踪训练2】(《名校课堂》14.1.2习题)已知：10”=3,10"=2,求⑴10。⑵101⑶10巾"的值.

解：

(2)102n=(10")2=22=4.

(3)103m+2n=103mX102"=27X4=108.

巩固训练

1.计算(一a》的结果是(D)

A.-a,B.a°C.-aD.a6

2.下列运算正确的是(D)

A.a•a3=a3B.2(a—b)=2a—b

C.(a3)2=a°D.a2—2a2=-a2

3.计算6)2-a?的结果是(B)

A.a7B.a8C.a101).a11

4.计算：

(1)(—x2)3,xa；

(2)(/)2+(/)3-/.

解：(1)原式=-x”.

(2)原式=2y)

课堂小结

1.幕的乘方法则：(1)"=建加，n都是正整数)，即幕的乘方，底数不变，指数相乘.

2.拓展：

(1)推广：Ka・)T=ai(m,n,p都是正整数);

(2)逆用:2则=3)”=(£)/,11都是正整数).14.1.3积的乘方

教学目标

1.通过计算、观察，理解积的乘方的运算性质及其推导过程.

2.正确地运用积的乘方法则进行计算.

预习反馈

阅读教材P97〜98"探究及例3”，完成下列问题.

1.积的乘方，等于把积的每一个因式分别塞方，再把所得的舞相乘,即(ab)”=a功b功(n为正整数).

2.计算：

(1)(ab)*=(ab)•(ab)=a•a•b,b=a-b-；

(2)(3b)'=(3b)•(3b)•(3b)•(3b)=3X3X3X3•b•b•b•b=3"b"=81b'；

(3)(xy)5=x^y①；

(4)(gc)3=\

名校讲坛

例1(教材P97例3)计算：

(1)(2a)3；(2)(—5b)3；(3)(xy2)S(4)(—2x3),.

解:(1)(2a)3=23«a3=8a3.

(2)(-5b)3=(-5)3•b3=-125b3.

(3)(xyT=x*(yT=x『

(4)(-2XT=(-2)3(X3)4=16X12.

【点拨】积的乘方运算时的“三点注意”：

(1)当底数为多个因式时，易漏掉某些因式乘方；

(2)进行积的乘方时，易忽略系数因数的“一”号；

(3)进行积的乘方时，易将系数直接与幕指数相乘.

例2(教材P97例3的变式)计算：

(D<-3aV)4；

解：原式=(-3)3(一)"•(b3)4=81a8b,2.

【点拨】积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用，即(abc)"=a"b"c"(n是正整数).

⑵帝”喘)3

8为，99100、200100100100

解:原式=(丽又记)X语=1X函=,

【点拨】逆用积的乘方法则aV=(ab)n(n为正整数)可使计算简便.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.1.3习题)计算：

(l)(2ab)3；

解：原式=2,•a3•b：'=8a3b1

⑵(-3x)\

解：原式=(-3)3x"=81x’.

⑶(x"；

2

解：原式=(x")"(y")=xV.

(4)(-3X102)4.

解：原式=(-3)叹(102)4=81X10a=8.1X109.

巩固训练

1.计算：(abT=(C)

A.3ab2B.ab6C.a3b6D.a3b2

2.计算(一2a2b尸的结果是⑻

A.一6a6b-B.一8a6b3C.8a6b'D.-8a5b3

3.若x"=4,y"=9,则(xy)"=优.

4.计算：

(1)(—2x3y2z)3；

解：原式=-8x"y"z〔

(2)(3a2)3+(a2)2,a2；

解：原式=28ali.

(3)a•a3•a'+(—a2)'+(—2a4)2.

解：原式=6a*.

课堂小结

1.积的乘方法则：(ab)"=a"b"(n为正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

2.拓展：

(1)推广：(abc)"=a"b"c"(n是正整数)；

(2)逆用：a"b"=(ab)n(n为正整数).

14.1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式相乘

教学目标

1.理解单项式与单项式相乘的法则.

2.运用单项式与单项式的乘法法则进行计算.

预习反馈

阅读教材P98〜99”思考及例4”，完成下列问题.

1单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的

指数作为积的一个因式.

2.计算：

22

(l)2xy•3xyz=(2X3)•(x•x)(y•X)•z=6xyz;

(2)(2a)2,(—3a2b)—4a2,(—3a2b)=[4X(—3)][a'""a'"],b——12a'b；

(3)3x*y,(—2xy3)=-6xy'；

(4)(3x2y)',(—4x)=-108x'y'.

名校讲坛

例1(教材P98例4)计算：

⑴(一5a%)(—3a)；(2)(2x)3(—5xy2).

解：(1)(—5a2b)(—3a)=[(—5)X(—3)](a2•a),b=15a3b.

(2)(2x)3(-5xy2)=8x3•(-5xy2)=[8X(-5)](x3•x)•y2=-40xy2.

【点拨】单项式乘单项式的“三点注意”：

(1)在计算时，应先确定积的符号；

(2)按计算顺序进行；

(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母.

例2(教材补充例题)计算：

(1)3ab2c,(2a?b),(―abc2)'1；

解：原式=3ab2c•(2a?b)•(―aVc6)=-6abbfic7.

【点拨】在混合运算中：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有同类项的一定要合并同类型，使结果最简.

(2)—6x2y,(a—b)3,Jxy'♦(b—a)2.

o

【点拨】将(a-b)看作一个整体，一般情况选择偶数次幕变形符号简单一些.

解：原式=—6x?y•讲/•(a—b)3•(a—b)2

J

=-2x3y3(a-b)5.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.1.4第1课时习题)计算：

(l)2x2y,(―4xy3z)；

解：原式=[2X(-4)](x?•x)•(y•y3)•z=-8x3y4z.

(2)5a2•(3a3)2；

解：原式=5a?•9a6=45a8.

(3)(—-x\)3•3xy2•(2xy2)2.

1Q

解：原式=-gx"/•3xyJ•4x*y=-]xV.

巩固训练

1.计算3a•2b的结果是(D)

A.3abB.5abC.6aD.6ab

2.计算一3a2•a，的结果是(A)

A.-3a5B.3a6C.-3a6D.3a5

3.下列运算中，正确的是(C)

A.(—a)2•(a3)2=­a8B.(—a)(—a3)2=a7

C.(-2a2)3=-8a6D.(ab2)2(a2b)=a3b°

4计算:

(1)3a,a3—(2a2)2；

(2)2x6y2•x3y+(—25x8y2)(—xy)；

(3)(-2a2)•(-ab2)3•2a2b)

解：(1)原式=—八(2)原式=27xV.(3)原式=4ab.

课堂小结

单项式乘单项式的“三点规律”：

(1)利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幕与同底数基相乘的形式，单独一个字母照抄;

(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；

(3)单项式乘单项式的结果仍是单项式.

第2课时单项式与多项式相乘

教学目标

1.理解单项式与多项式相乘的法则.

2.运用单项式与多项式的乘法法则进行计算.

预习反馈

阅读教材P100“例5”，完成下列问题.

1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.计算：

(l)5a(a2—b)=5a•(瓮)+5a・(~b)=5a3~5ab：

(2)(—2x)(x2—3x)=(-2x)•(xj)+(—2x)•(—3x)=—Zx'+Gx*

(3)3a(a—1)=3a—3a：

⑷(一2a?)(3ab，—5ab'*)=—6a&+10ab.

名校讲坛

例1(教材P100例5)计算：

⑴(一4x‘)(3x+l)；

21

(2)(~ab2—2ab)•5ab.

【点拨】把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题.

解：(1)(—4xJ)(3x+l)=(―4x2)(3x)+(-4x2)X1=(—4X3)(x2•x)+(-4x2)=-12x'一4x’.

(2)(^ab~—2ab)•)ab=£ab。•Jab+(—2ab)•^ab=^a2b/，—a2b2.

【方法归纳】单项式与多项式相乘：理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项

数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的

符号.

例2(教材补充例题)先化简，再求值：X2(3-X)+X(X2-2X)+1,其中X=3.

解：原式=3x"—x'+x"—2x~+1=x?+1.

当x=3时，原式=32+1=10.

【点拨】所谓的化简即去括号，合并同类项.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.1.4第2课时习题)计算：

(1)(2xy2—3xy)•2xy；

解：原式=2xy'•2xy—3xy,2xy=4x2y3—6x2yJ.

(2)—x(2x+3x2—2)；

解:原式=-x•2x+(—x)・3x'+(—x)•(―2)=—2x'—3x'+2x.

(3)—2ab(ab—3ab2—1).

解：原式=-2ab•ab+(—2ab)•(—3ab2)+(-2ab)•(—1)=—2ab+6a廿+2ab.

巩固训练

1.计算2a(a?—1)的结果是(A)

A.2a!—2aB.2a"+a

C.2a+2a1).a+2a

2.计算(-40?)•(3m+2)的结果是(C)

A.-12m'+8m/B.12m3—8m~

C.-12m3—8mzD.12m3+8m2

3.一个三角形的底边为4m,高为m+4n,它的面积为(C)

A.m2+4mnB.4m2+8mn

C.2m2+8mnD.8m2+4mn

4.先化简，再求值:3a(2a2—4a+3)—2a2(3a+4),其中a=-2.

解：原式=-20a2+9a.

把a=-2代入上式，得原式=-20X4+9X(-2)=—98.

课堂小结

单项式与多项式相乘的理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中

多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号.

第3课时多项式与多项式相乘

教学目标

1.理解多项式与多项式相乘的法则.

2.运用多项式与多项式的乘法法则进行计算.

预习反馈

阅读教材P100〜101”问题3和例6”，完成下列问题.

1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.计算：

(1)(a—4)(a+10)=a•a+a•10+(—4)•a+(-4)•10—a2+6a—40；

(2)(x—1)(x—2)=x•x+x•(~2)+(—1)•x+(—1)*(12)=x'—3x+2；

(3)(xy+1)(xy-1)=xy•xy+xy•(—1)+1•xy+1•(-1)=x，'一1；

(4)(2a+l)(2a+l)=2a•2a+2a*1+1•2a+l•l=4a、+4a+l.

名校讲坛

例1(教材P101例6)计算：

(1)(3x+l)(x+2)；(2)(x-8y)(x—y)；

(3)(x+y)(x'—xy+y").

解：⑴(3x+l)(x+2)=(3x)•x+(3x)X2+1•X+1X2=3X2+6X+X+2=3X2+7X+2.

(2)(x-8y)(x—y)=x2—xy—8xy+8yJ=x"—9xy+8y".

(3)(x+y)(x2—xy+y2)=x'一x'+xy'+x、-xy2+y'=x'+y''.

【点拨】多项式与多项式相乘需注意：

(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数之积；

(3)相乘后，若有同类项，则合并同类项.

例2(教材补充例题)先化简，再求值：(x—2y)(x+3y)—(2x—y)(x—4y),其中x=-1,y=2.

解：原式=x°+3xy—2xy—6y‘一(2x2—8xy—xy+4y2)

=x"+3xy—2xy—6y2—2x"+8xy+xy—4y'

———x'+10xy—10yJ.

当x=-l,y=2时，原式=-(-l)2+10X(—1)X2-10X22=-61.

【点拨】第二个多项式与多项式相乘的结果先用括号括起来，再去括号，这样避免出现符号问题，乘完要合

并同类项.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.1.4第3课时习题)计算：

(1)(m+1)(2m—1)；

解：原式=2n?—m+2m—1=2m"+m—1.

(2)(2a-3b)(3a+2b)；

解：原式=6a2+4ab—9ab—6b?=6a2—5ab—6bl

(3)(2x—3y)(4x2+6xy+9y2)；

解：原式=8x'+12x?y+18xy?—12x2y—18xy2—27y3=8x；—27y3.

(4)-(2x—y)(x+y)；

解：原式=g(2x2+xy—/)=x2+/xy-

(5)a(a—3)+(2—a)(2+a).

解：原式=a，—3a+4+2a—2a—a2=—3a+4.

巩固训练

1.计算：(x+1)(X—2)=(A)

A.x2—x—2B.x2+x-2

C.x2—x+2D.x*+x+2

2.若(a+3)(2a-5)=2a2+ma-15,则m的值是(C)

A.-2B.2

C.1D.-1

3.若多项式乘法(mx+8)(2—3x)的展开式中不含x项，则m的值为(C)

A.-12B.3C.12D.24

4.计算：

(1)(2a-3b)(a+2b)—a(2a—b)；

(2)(x+7)(x+5)—(x+1)(x+5).

解：(1)原式=2ab—6b；

(2)原式=6x+30.

课堂小结

多项式与多项式相乘时，必须做到不重不漏，并注意合并同类项.

第4课时整式的除法

教学目标

1.掌握同底数基的除法运算法则及应用，了解零指数黑的意义.

2.掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用.

3.掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用.

预习反馈

阅读教材P102~103“例7”“例8”,完成下列问题.

1.同底数基相除，底数不变,指数相减,即a.+a"=ag(a#O,m,n都是正整数，并且m>n).

2.任何不等于0的数的0次幕都等于1，即a°=J(aWO).

3.单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作

为商的一个因式.

4.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

5.计算：

(l)ab4-a=a^；

(2)(-1)°=1；

(3)8a34-2a=(84-2)•a(3-1)=4a^；

(4)12a2x54-3ax2=4ax3；

(5)(6x'y+2xy2)4~2xy=6x'y4~2xy+2xy“4~2xy=3x2+y.

(6)(a'+ab)+a=a+b.

名校讲坛

例1(教材P103例7)计算：

(l)x8-rx2；(2)(ab)s4-(ab)2.

解：⑴xyx'xFxT

(2)(ab)5-r(ab)=(ab)…=(ab)3=a3b3.

【点拨】运用同底数事的除法法则需注意：

(1)被除式与除式的底数必须相同，且不为0;

(2)指数相减不要错用为用除；

(3)有些题目从表面看不能用同底数幕的除法法则，但通过适当变形可化为同底数鼎相除的形式；

(4)注意法则的逆运用，即a'Ln=a“+a”,当事指数是差的形式时可考虑化为同底数的落相除.

【跟踪训练1】(《名校课堂》14.1.4第4课时习题)计算：

(1)(-a)”+(-a)~；

解：原式=(-a)"=a'.

(2)(―ab)5-r(―ab)3；

解：原式=(-ab)2=a2b)

(3)(x—y)5-r(y—x)2.

解：原式=(x—y)°+(x—y)2=(x—y)l

例2(教材补充例题)

(1)计算：(3.14—”)°=L

(2)当(2x-4)°=l时，x的取值范围是x#2.

【点拨】正整数指数幕与零指数幕的“两个区别”：

(1)二者的来源不同：正整数指数嘉是由相同因数的积得来的，零指数嘉是由同底数基的除法得来的;

(2)二者底数的条件不同：正整数指数基的底数可以是任何实数，而零指数基的底数不能为0.

例3(教材P103例8)计算：

(l)28x'y'-?7x3y；

(2)-5a5b3c-M5a'b：

(3)(12a3-6a2+3a)4-3a.

解：(l)28x'y24-7x3y=(284-7)•x'-3•y2-1=4xy.

(2)—Sa,b3c4-15a*b=[(—5)4-15]a3'b3^ab2c.

(3)(12a1—6a-+3a)4_3a=12a'+3a—6a~+3a+3a+3a=4a，—2a+1.

【点拨】单项式除以单项式需注意：

(1)系数相除作为商的系数，系数包括符号，应先确定商的符号；

(2)含有相同字母的部分按同底数基的除法法则进行运算，即底数不变，指数相减；

(3)单独在被除式中出现的字母不能漏掉，要连同它的指数直接作为商的一个因式.

多项式除以单项式需注意：

(1)多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；

(2)多项式是几项，所得的商就有几项；

(3)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除，注意符号的变化;

(4)注意运算符号.

【跟踪训练2](《名校课堂》14.L4第4课时习题)计算：

⑴2x2y：=(­3xy)；

2

解：原式=一§xy2.

(2)10x2y3-?2x2y；

解：原式=5y：

2

(3)(x'V—2xy2+3x3y5)4-(―-xy)；

9993Q

解：原式=x,y3+(--xy)—2xy24-(—-xy)+3x3y°4-(—-xy)=--xly2+3x3y--xY.

(4)(6x3y4z_4x2y3z+2xy3)4-2xy3.

解：原式=6xVz+2xy、'-4x'y''z4~2xy3+2xy3+2xy''=3x'yz—2xz+1.

巩固训练

1.计算8a=(—2a)的结果是(D)

A.4aB.-4aC.4a2D.—4a2

2,计算a甘+(知)2的结果是(B)

A.a3B.a1C.a3bD.a'b

3.下面计算正确的是(C)

A.X64-X2=X3

B.(—x)6-r(—x)4=­X2

C.36aV4-9a2b=4ab3

D.(2x3—3x2—x)4-(—x)——2x~+3x

4.若(a-2)°=l,则a的取值范围是aW2.

5.计算：

(1)(xy+6x3y2—x2y3)-F3x2y；

(2)[a(a+l)+(a—1)(a—1)—1]4-(—a).

解：(1)原式=*+2xy—

(2)原式=(a'+a+a?—2a+1—1)4-(—a)=(2a2—a)4-(—a)=—2a+1.

课堂小结

学生尝试总结：这节课你学到了什么？

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

教学目标

1.通过探索、归纳特殊形式的多项式乘法的过程，能推导出平方差公式，并会运用平方差公式进行计算.

2.通过具体操作、归纳、推理，理解平方差公式的几何背景.

预习反馈

阅读教材P107〜108内容，完成下列问题.

1.平方差公式：(a+b)(a—b)=a?—b?,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的壬方.

2.计算下列各式：

(1)(x+1)(X—1)=X2—1；

(2)(m+2)(m—2)=(m)2—(2)~=m~—4；

(3)(2x+l)(2x-l)-(2x)2-(1)2=4X2-1；

(4)(x+5y)(x—5y)=(x)~—(5y)j=x~-25y~.

3.由图1到图2,根据面积关系，可以得到(a+b)(a—b)=£—b、

图1图2

名校讲坛

例1(教材P108例1)运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x—2)；(2)(—x+2y)(—x—2y).

【点拨】在(1)中，可以把3x看成a,2看成b,即

(3x+2)(3X-2)=(3X)2-22.

tttttt

(a+b)(a—b)——a2—b".

在⑵中，可以把一x看成a,2y看成b,即

(―x+2y)(―x—2y)=(―x)2—(2y)2.

Jttttt

(a+b)(a—b)=a2—b'

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9X-4.

(2)(—x+2y)(—x—2y)=(—x)'—(2y)2—x2—4y2.

【方法归纳】运用平方差公式计算时，要确定式子中的“a,b”，a是两个二项式中相同的项，b是两个二项式中

相反的项，结果是相同项的平方减去相反项的平方.

例2(教材P108例2)计算：

(1)(y+2)(y—2)—(y—1)(y+5)；

(2)102X98.

解：(1)(y+2)(y—2)—(y—1)(y+5)—y2—2~—(y2+4y—5)=y°—4—y°—4y+5=—4y+1.

(2)102X98=(100+2)(100-2)=1002-2z=10000-4=9996.

【方法归纳】利用平方差公式计算两个绝对值较大的数相乘时，关键是将已知数写成两数和与两数差的积的形式.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.2.1习题)运用平方差公式计算：

(1)(m+2n)(m—2n)；

(2)(-4a+3)(-4a-3)；

(3)1007X993；

(4)(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x).

解：(1)原式=0?—4n：

(2)原式=(-4a)2-3?=16a2-9.

(3)原式=(1000+7)X(1000-7)=1000打72=999951.

(4)原式=4x‘一y'一(4y'—x2)=4x"—y?—4y'+x?=5x"-5y\

巩固训练

1.下列能用平方差公式计算的是(B)

A.(―x+y)(x—y)B.(x—1)(—1—x)

C.(2x+y)(2y—x)D.(x—2)(x+1)

2.计算(2+x)(x—2)的结果是(D)

A.2-x2B.2+x2C.4+x2I).x2-4

3.若三角形的底边长为2a+l,底边上的高为2a-l,则此三角形的面积为(D)

A.4a2-1B.4a-4a+l

C.4a2+4a+lD.2a

4.当x=3,y=l时，代数式(x+y)(x—y)+y°的值是土

5.计算:

(1)(3a+2b)(3a-2b)；

(2)(—2xy+3y)(—2xy—3y).

解：(1)原式=9a2—4b：

(2)原式=4x32—9亡

课堂小结

利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘，速度快、准确率高，但必须注意平方差公式的结构特征.

14.2.2完全平方公式

第1课时完全平方公式

教学目标

1.类比平方差公式的推导过程，能利用乘方的意义与多项式的乘法法则推导出完全平方公式，并会运用完全平

方公式进行计算.

2.通过具体操作、比较，理解完全平方公式的儿何背景.

预习反馈

阅读教材P109〜110内容，完成下列问题.

222222

1.完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b,即两个数的和(或差)的平方，等于它们的土

方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

2.计算下列各式：

(1)(a+1)2=a?+2a+1；

(2)(m—3>=n［一6【n+9.

3.用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和.

(a+b)2=a'+2ab+b~.

名校讲坛

题型1运用完全平方公式计算

例1(教材P110例3)运用完全平方公式计算:

⑴(4m+n)':⑵(y—：)2.

解：(1)(4m+n)-=(4m)'+2,(4m)•n+n'=16m'+8mn+n：

(2)(y-1)2=y2—2•y•(1)2=y2-y+1.

【方法归纳】记忆完全平方公式的口诀：“首(a)平方，尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍在中央

【跟踪训练1](《名校课堂》14.2.2第1课时习题)直接运用公式计算：

(l)(3+5p)2；(2)(7x—2尸；(3)(—2a—5产；(4)(-2x+3y)2.

解：(1)原式=9+30p+25P)

(2)原式=49x?—28x+4.

(3)原式=4a2+20a+25.

(4)原式=4x°—12xy+9y2.

【点拨】(3)(4)两小题在计算中容易出现符号错误，类似(一a—b)z,(-a+b)2可作如下变形：(-a—b)2=(a+

b):(-a+b)2=(b—a)2.

例2(教材P110例4)运用完全平方公式计算：

(D1022；(2)992.

解：(l)1022=(100+2)2=1002+2X100X2+22=10000+400+4=10404.

(2)992=(1OO-1)2=1OO2-2X1OOX1+12=1O000-200+1=9801.

【方法归纳】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把底数拆成两数和或两数差的形式.

【跟踪训练2】(《名校课堂》14.2.2第1课时习题)运用完全平方公式计算：

(1)2012；(2)99.82.

解：(1)原式=(200+1)2=20()2+2X200X1+12

=40000+400+1

=40401.

(2)原式=(100—0.2)2

=1002-2X100X0.2+0.22

=10000-40+0.04

=9960.04.

题型2完全平方公式的变形计算

例3(教材补充例题)已知a,b都是正数，a—b=l,ab=2,则a+b=(B)

A.-3B.3C.±3D.9

【方法归纳】常见的完全平方公式的变形有：

完全平方公式变形

0a2+b2=(a+b)=2ab

(a+b)—a+2ab+b

②2ab=(a+b)2—(a2+b2)

(a—b)2=aJ—2ab+b\

(Da2+b2=(a—b)2+2ab

②2ab=(a2+b2)—(a—b)J

③(a—b)2=(a+b)2—4ab

④(a+b)2=(a—b)：+4ab

9

【跟踪训练3】己知(x+y¥=25,(x-y)2=16,则xy的值为彳.

巩固训练

1.(《名校课堂》14.2.2第1课时习题)下列计算正确的是(C)

A.(x+y)2=x2+y2

B.(x—y)'=x2-2xy—/

C.(x+1)(x—1)=x'—1

I).(x-l)2=x2-l

2.计算(2乂-1)(1-2*)结果正确的是(。

A.4X2-1B.1-4X2C.-4X2+4X-1D.4X2-4X+1

3.计算：gy-x)'=%"-xy+xJ

4.已知片+卜'=5,ab=l,则(a+b)2=?.

5.计算：(x+2)2—(x+1)(x—1).

解：原式=4x+5.

课堂小结

利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘，速度快，准确率高，但必须注意完全平方公式的结构特征.

第2课时添括号法则

教学目标

通过类比去括号法则，理解并掌握添括号法则，并会用该法则进行相关计算.

预习反馈

阅读教材PU1“例5”内容，完成下列问题.

1.添括号法则：a+b+c=a+(b+c)；a—b—c=a—(b+c).

即：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都丕变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各

项都改变符号.

2.在括号里填上适当的项：

(l)a+2b—c=a+(2b—c)；

(2)a—b—c+d=a—(b+c-d)；

(3)a-2b+c+d=a-(2b—c—d)；

(4)2x2+2y-2x+l=2x2+(2y~2x+l)；

(5)2x+3y-4z+5t=—(—2x—3y+4z-5t)=+(2x+3y-4z+5t)=2x-(—3y+4z-5t)=2x+3y-(4z—

5t).

名校讲坛

例(教材Pill例5)运用乘法公式计算：

(1)(x+2y—3)(x—2y+3)；(2)(a+b+c)2.

解：(1)(x+2y—3)(x—2y+3)

=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2-(2y-3)2

=x~—(4y2—12y+9)

=x‘一4y'+12y—9.

(2)(a+b+c)'

=[(a+b)+c]2

=(a+b)J+2(a+b)c+c2

=a'+2ab+b"+2ac+2bc+c-

—a-+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

【方法归纳】(1)当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，

一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式.

(2)一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体，可利用完全平方公式.

【跟踪训练】(《名校课堂》14.2.2第2课时习题)运用乘法公式计算：

(1)(a+b—c)2；(2)(3a+b—2)(3a—b+2).

解：(1)原式=a2+2a(b—c)+(b—c)-=a'+2ab—2ac+bJ—2bc+c2.

(2)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a-b2+4b-4.

巩固训练

1.(《名校课堂》14.2.2第2课时习题)为了应用平方差公式计算(a—b+c)(a+b—c),必须先适当变形，下列各

变形中，正确的是(D)

A.[(a+c)—b][(a—c)+b]B.[(a—b)+c][(a+b)—c]

C.[(b+c)—a][(b—c)+a]D.[a-(b-c)][a+(b-c)]

2.添括号：x—y+5=x—(y—5).

3.已知a—3b=3,则代数式8—a+3b的值是g.

4计算:

(1)(x—y-z)2；

解：原式=[x—(y+z)了

=x2-2•x•(y+z)+(y+z)2

=x-2xy-2xz+y'+2yz+z'

=x'+y'+z'-2xy+2yz-2xz.

(2)(2a+b+l)(2a+b—1).

解：原式=(2a+b)“-1=4aJ+4ab+b2—1.

课堂小结

学生试述：这节课你学到了些什么？

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

教学目标

1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.

2.能正确找出多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.

3.通过类比、归纳，能利用因式分解的思想简化计算.

预习反馈

阅读教材P114〜115内容，完成下列问题.

知识点1因式分解的定义

1.利用整式的乘法计算：

(l)x(x+l)=x"+x；(2)(x+1)(x—1)=x~—1；(3)m(a+b+c)=ma+mb+mc.

2.把下列多项式写成整式的积的形式：

(l)x'+x=x(x+l)；(2)x~'-1=(x+1)(x—1)；(3)ma+mb+mc=m(a+b+c).

3.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).

【点拨】整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形，整式乘法的结果是和差，因式分解的结果是积.

知识点2公因式

各项都含有的一个公基的因式叫做这个多项式各项的公因式.如：

(1)多项式2X?+6X3中各项的公因式是2?；

(2)多项式x(a-3)+v(a-3)z中各项的公因式是a—3.

知识点3运用提公因式法分解因式

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积

的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：把多项式才一4a分解因式，结果是a(a—4).

名校讲坛

例1(教材补充例题)下列各式从左到右的变形是因式分解的是(0

A.a2—~=a(a—A)

aa

B.(a—3)(a+1)=a2—2a—3

C.a2-ab=a(a—b)

D.6a2b=3ab,2a

【方法归纳】判断因式分解注意：(1)必须是整式；(2)等号右边必须是乘积的形式；(3)必须是恒等式.

例2(教材P115例1、例2变式)把下列各式分解因式：

(1)-3ax3+12ax2—15ax；

(2)2m(m—n)3+6(n—m)2.

【点拨】(1)各项系数的最大公约数为3,相同字母为a,x,最低次数均为1,由于首项一3aY的系数为-3,一般

取公因式-3ax；(2)含有多项式m—n与n—m的乘方，由于(n—m)2=(m—n))所以把m—n看成一个整体，得到各

项的公因式为2(m—n)2.

解：(1)原式=-3ax(x?—4x+5).

(2)原式=2m(m—n)?，+6(m—n)2

=2(m—n)2[m(m—n)+3]

=2(m—n)2(m2—mn+3).

【方法归纳】用提公因式法分解因式的“四步法”：

(1)确定公因式；

(2)把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式；

(3)把公因式提到括号前，把每一项除以公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项；

(4)检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，是否存在漏项的情况.

【跟踪训练11把下列各式分解因式：

(l)xy3—xy2；(2)(x+y)2—3(x+y).

解：(1)原式=xy2(y-l).

(2)原式=(x+y)(x+y—3).

例3(教材“练习”第3题变式)计算：21X3.14+62X3.14+1.7X31.4.

【点拨】1.7X31.4转化成17X3.14,这样每一项都含有3.14,把3.14作为公因式提出.

解:原式=21X3.14+62X3.14+17X3.14

=3.14X(21+62+17)

=3.14X100

=314.

【方法归纳】在计算求值时，若式子各项含有公因数，提取公因数的方法使运算更简捷.

【跟踪训练2】16.9X：+15.IX：能被4整除吗？

OO

解：因为16.9X1+15.1X1=〈X(16.9+15.1)=4X32=4.

oooo

所以16.9X：+15.ixj能被4整除.

oo

巩固训练

1.(《名校课堂》14.3.1习题)(自贡中考)多项式整一4a分解因式，结果正确的是(A)

A.a(a—4)B.(a+2)(a—2)

C.a(a+2)(a—2)