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文档简介

主要内容实对称矩阵的性质实对称矩阵相似对角化的步骤5.3实对称矩阵的正交相似对角化举例12024/5/13而有的就不能找到n

个线性无关的特征向量.上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件:n

阶方阵A

能对角化的充要条件是A有n

个线性无关的特征向量.通过前面的学习我们知道,有的n

阶方阵能找到n

个线性无关的特征向量,一、问题的提出因此，并不是所有的矩阵一定可对角化.然而实对称矩阵是必可对角化的一类矩阵，而且一定能找到一个正交矩阵Q，使

Q-1AQ=

.22024/5/13性质1

对称矩阵的特征值为实数.二、实对称矩阵的性质正交.性质2

设

1,

2

是对称矩阵A

的两个特征值

p1,p2

是对应的特征向量,若

1

2,则p1,p2

32024/5/13定理设A

为n

阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q，

使Q-1AQ=

,其中

是以A

的n

个特征值为对角元素的对角矩阵.性质3

设A

为

n

阶对称矩阵,

是A

的特征方程的

k

重根,则方程组(

A

-

E)x=0有k

个基础解系，即矩阵A

-

E的秩R(A

-

E)=n-k.42024/5/13n1+n2+···+

ns=

n.步骤1

：求出矩阵A

的所有特征值，设A有s

个不同的特征值

1,

2,···,

s

，它们的重数分别为n1,n2,···,ns

,

三、对称矩阵对角化的步骤52024/5/13步骤2:

对A

的每个特征值

i,求(A

-

iE)x=0的基础解系,设为(

i=1,2,···,s).以这些向量为列构并把它们正交化、单位化，记为造正交矩阵Q，即且Q-1AQ=

其中(A

的特征值)之间的对应关系.要注意矩阵Q的列与对角矩阵

主对角线上的元素62024/5/13

例1

设求正交矩阵

Q,使Q-1AQ

为对角矩阵.四、举例72024/5/13第一步求

A

的特征值82024/5/13解之得基础解系将

1

,

2正交化：令将

1

,

2单位化得：第三步将特征向量正交化第四步再单位化92024/5/13求得基础解系将

3

单位化得则有第五步构造正交矩阵Q，并写出对角阵

102024/5/13解例2

求出正交矩阵，使为对角阵.112024/5/13解之得基础解系解之得基础解系122024/5/13解之得基础解系132024/5/13142024/5/13

例3

设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,且特征值1对应的一个特征向量为（1）求特征值2对应的特征向量（2）求矩阵A152024/5/13

例4

求一个三阶实对称矩阵A,它的特征且特征值6对应的

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