湖北省高三下学期四月模拟考试数学试题

2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，，则（）A. B.0 C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.下面四个数中，最大的是（）A. B. C. D.4.数列的首项为1，前n项和为，若，（m，）则（）A.9 B.1 C.8 D.455.复数（，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228 B.210 C.240 D.2388.抛物线上有四点A，B，C，D，直线，交于点P，且，.过A，B分别作的切线交于点Q，若，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0 B.4 C.8 D.1610.已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（）A. B. C. D.11.如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______.14.双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列中，，，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，且满足，，求.16.（15分）已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，（1）证明：；（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值.参考公式：17.（15分）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，图1图2（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数.18.（17分）已知函数，，（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；（2）记，证明：.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），（1）求和；（2）现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；（3）设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为，所以，所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，则，则.……5分（2）由（1）问知，，则，又，则，两式相乘得，即，因此与同号，因为，所以当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，：当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，；综上，在时，；时，.……13分16.（15分）（1）证明：当时，的离心率，时，的离心率；因为，所以或，得，又，所以，且；由题意知，，即，则，，它们的斜率之积为，因此；……4分（2）解：由（1）问知，，联立与的方程，将y消去得：，解得，，又在曲线上，则，，联立与的方程，将y消去得：，解得，，又在曲线上，则，，……9分因此的中点，连，因为，即，所以，记，当最大时，也最大；可知，令得，解得，又，则，令得，因此在处取得最大值，且最大值为，……14分因此最大值为.……15分17.（15分）（1）解：设点C到平面的距离为h，作于点H，可知，设，，在中，由余弦定理可知：，由于直线m与n之间的夹角为，且它们交于点C，则，从而，又，则（时取等）；因为，所以，所以点C到平面的距离，其最值为；……5分（2）（i）证：如图，过点P作直线，由题知直线l与平面必相交于一点，设其为点D，连接，，则P，Q，D，B共面，又且，于是，又，则四边形为平行四边形，则，因为且，所以且，所以，又，所以平面，作于H，则，又，则，设，则P到平面的距离也为h，且直线m，n与平面的夹角分别为和；由于直线m与n之间的夹角为，则直线m与l之间的夹角也为，则，于是，即直线m，n与平面的夹角之和为定值；……11分（2）（ii）解：因为平面，所以，中，，则，又，由（1）问同法算得，即点P到平面距离h的最大值为，……15分18.（17分）（1）解：的定义域为，且；，因此；……1分i.时，，则此时令有，令有，则在上单调递增，上单调递减，又，于是，此时令，有，不符合题意；……3分ii.时，有零点0和，若，即，此时令有，在上单调递减，又，则，令，，有，不符合题意；……5分若，即，此时令有，在上单调递减，又，则，令，有，不符合题意；……7分若，即，此时，在上单调递增，又，则时，时；则时，也即对，，综上，.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，时，；且时，；……11分则时，，令，有，即，于是……将上述n个式子相加，；……14分欲证，只需证，只需证；因为，所以，得证：于是得证.……17分19.（17分）（1）解：中，与6互质的数有1和5，则；中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则8；……2分（2）证明：因为，p和q为素数，则对，仅当或时，x和n不互质，又，则，，…，或，，…时，x与n不互质，则，……4分设，，可知s，t不全为0，下证时，；由题知，，又，所以，同理有；于是记，，即，同理，记，于是，则，因为，所以，所以，即；……8分i.时，记，则，记，又，而，则，即，即；ii.若，不妨设，于是