最大值与最小值(2)课件高二上学期数学选择性

第5章导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.3最大值与最小值(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用．2.利用导数证明不等式、解决不等式恒成立或有解问题．3.利用导数解决函数的零点问题和极值点偏移问题．活动方案例1将边长为60cm的正方形铁皮的四个角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱．当箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？活动一掌握导数在几何问题中的应用解得x1＝0(舍去)，x2＝40.当x∈(0,40)时，V′(x)>0；当x∈(40,60)时，V′(x)<0，所以函数V(x)在x＝40处取得极大值，且是最大值，最大值为V(40)＝16000，故当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大为16000cm3.思考►►►利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？【解析】①分析实际问题中各量之间的关系，建立数学模型，写出函数表达式y＝f(x)，注意定义域；②求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值大小；④回归实际问题作答．例2某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的底面半径和高，才能使它的用料最省？【解析】设圆柱的高为h，底面半径为R，则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2.故当h＝2R时，S(R)取得极小值，且是最小值，故当罐高与底面直径相等时，用料最省．(1)g(x)≥1；活动二利用导数解决不等式问题即g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1.即f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，又由(1)知x－lnx≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在区间[a，b]上单调递增，则①对任意x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②对任意x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．对于单调递减的函数有类似结论．(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对任意x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．

设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(0,1)上单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0，例4函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．活动三利用导数研究函数的零点【解析】(1)函数f(x)＝ax＋xlnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋lnx＋1.因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.当a＝－1时，f(x)＝－x＋xlnx，则f′(x)＝lnx.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1.由题意，得m＋1>－1，即m>－2.①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1.②由①②可得－2<m<－1，所以实数m的取值范围是(－2，－1)．与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．检测反馈245131.(2023长沙麓山国际实验学校月考)若函数f(x)＝lnx＋x2－bx在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数b的最大值是(

)【答案】A245132.(2023遂宁射洪中学月考)已知一长方体纸箱(有盖)，底面为边长为a的正方形，高为b，表面积为12.当该纸箱的体积最大时，其底面边长为(

)C.2 D.324513【答案】B2453A.f(x)的单调增区间为(e，＋∞)1C.f(x)有两个不同零点

D.f(2)<f(π)<f(3)2453【答案】BD12453124535.(2023宜春丰城中学期中)已知函数f(x)＝ex－1－asinx.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x，求实数a的值；(2)当a＝2时，f(x)≥2c－1(c∈Z)在x∈[0，π]上恒成立，求实数c的最大值．1【解析】(1)由f(x)＝ex－1－asinx，得f′(x)＝ex－acosx.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x，所以f′(0)＝1－a＝－1，解得a＝2.24531当a＝2时，f(x)＝ex－1－2sinx，则f′(x)＝ex－2cosx.记g(x)＝ex－2cosx，x∈[0，π]，则g′(x)＝ex＋2sinx>0，所以g(x)在