抽象函数的对称性奇偶性与周期性常用结论-高三数学一轮复习

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设=1\*GB3①若=2\*GB3②若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：=1\*GB3①点=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤（2）轴对称：对称轴方程为：。=1\*GB3①关于直线=2\*GB3②函数关于直线成轴对称。=3\*GB3③关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|6、函数对称性的应用（1）若,即（2）例题1、;2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。3、若的图像关于直线对称。设.（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、()的周期为，()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、若11、有两条对称轴和周期推论：偶函数满足周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满足周期13、有一条对称轴和一个对称中心的三角函数公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到πα与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2πα与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k±α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α），k＝4为偶数，所以取sinα。当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）＜0，符号为“－”。所以sin（2π－α）＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），α、180°±α，360°α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin^2（α）＋cos^2（α）＝11＋tan^2（α）＝sec^2（α）1＋cot^2（α）＝csc^2（α）同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1tanαtanβ）tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα）另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）万能公式sin