高中数学第五章三角函数56函数Y=ASINωXφ一课件新

5.6函数y=Asin(ωx+φ)(一)【情境探究】问题1.φ对y=sin(x+φ)(x∈R)的图象的影响观察如图所示的图象,思考下面的问题:必备知识生成(1)比较函数y=sin与函数y=sinx的图象的形状和位置,你有什么发现?提示:两图象形状完全相同,只是位置不同,函数y=sin,x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到.

(2)同样比较函数y=sin与函数y=sinx的图象,你有什么发现呢?提示:函数y=sin的图象可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移个单位长度而得到.

(3)推广到一般,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的?提示:y=sin(x+φ)的图象可以由y=sinx的图象通过左右平移得到.问题2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响观察下面的图象,思考下面的问题:(1)比较函数y=sin与y=sin的图象的形状和位置,你有什么发现?提示:函数y=sin的图象是由函数y=的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变而得到的.

(2)同样比较函数y=sin与y=sin的图象的形状和位置,你有什么发现?提示:函数y=sin的图象是由函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到的.

(3)推广到一般,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的图象是由y=sin(x+φ)的图象经过怎样的变换得到的?提示:y=sin(ωx+φ)的图象可以由y=sin(x+φ)的图象通过左右伸缩得到.问题3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响观察下面函数的图象,思考下面的问题:(1)比较函数y=sin与y=3sin的图象的形状和位置,你有什么发现?提示:函数y=3sin的图象是由y=sin的图象上各点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变得到的.

(2)同样比较函数y=与y=sin的图象的形状和位置,你有什么发现?提示:函数y=的图象是由y=sin的图象上各点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变得到的.

(3)推广到一般,函数y=Asin(ωx+φ)的图象是由y=sin(ωx+φ)的图象经过怎样的变换得到的?提示:y=Asin(ωx+φ)的图象可以由y=sin(ωx+φ)的图象通过上下伸缩得到.【知识生成】1.平移变换函数y=sinx

2.横向伸缩变换(周期变换)y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)的图象.3.纵向伸缩变换(振幅变换)函数y=sin(ωx+φ)关键能力探究探究点一三角函数图象的左右平移【典例1】(1)将函数y=sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度,得到函数的解析式为 (

)A.y=sinx B.y=-sinxC.y=cosx D.y=-cosx(2)要得到正弦曲线,只要将余弦曲线 (

)A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移π个单位长度【思维导引】利用三角函数图象左右平移的规律以及三角函数诱导公式判断.【解析】(1)选B.将函数y=sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度,得到函数的解析式为y=sin(x-π)=-sinx.(2)选A.因为sinx=cos,所以要得到正弦曲线,只要将余弦曲线向右平移个单位.

【类题通法】三角函数图象的平移变换左右平移:已知φ>0,平移规律为“左加右减”,即:(1)若将函数y=sinx的图象沿x轴向右平移φ个单位长度,得到函数的解析式为y=sin(x-φ).(2)若将函数y=sinx的图象沿x轴向左平移φ个单位长度,得到函数的解析式为y=sin(x+φ).【定向训练】1.要得到函数y=cos的图象,可由函数y=sin2x (

)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.函数y=sin2x,即y=

函数y=cos,即y=cos所以函数y=sin2x向左平移个单位长度可得y=cos2.若将函数f(x)=sin(0<ω<7)的图象向右平移个单位长度后恰与f(x)的图象重合,则ω的值是________.

【解题指南】将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象,由已知条件只需满足=2kπ,k∈Z,从而得到ω值.【解析】将函数f(x)=sin(ω>0,x∈R)的图象向右平移个单位长度后,可得y=sin的图象.根据所得的图象与原函数图象重合,所以

=2kπ,k∈Z,即ω=6k,k∈Z,又0<ω<7,则ω=6.答案:6探究点二三角函数图象的伸缩变换【典例2】(1)将函数y=sinx的图象的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的三倍,得到函数图象的解析式为 (

)A.y=3sin2x B.y=2sin3xC.y=3sinx D.y=sinx(2)将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,所得到的图象的函数解析式为________.

【思维导引】利用三角函数图象的横坐标和纵坐标的伸缩变换规律求解.【解析】(1)选C.将函数y=f(x)=sinx的图象的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sinx,纵坐标伸长到原来的三倍,得到y=3sinx.(2)将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,所得到图象的函数的最小正周期是原来的一半,所以ω扩大到原来的2倍,所以所得函数解析式为y=sin2x.答案:y=sin2x

【类题通法】三角函数图象的伸缩变换(1)横向伸缩:已知ω>0,横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”,即:若将函数y=sinx的图象的横坐标伸长(或缩短)到原来的ω倍,得到函数的解析式为y=sinx.(2)纵向伸缩:已知A>0,纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”,即:若将函数y=sinx的图象的纵坐标伸长(或缩短)到原来的A倍,得到函数的解析式为y=Asinx.【定向训练】把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,则所得函数的解析式为 (

)A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin

【解析】选D.把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,即函数解析式为y=sin再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,可得y=sin的图象.【补偿训练】如何由y=sinx的图象得到函数y=3sin的图象?【解析】

探究点三三角函数图象的画法与应用【典例3】已知函数y=3sin+3(x∈R),用“五点法”画出它在一个周期内的图象.【思维导引】画图时把看成一个整体,分别取0,,π,,2π,画出相应点的坐标.【解析】令=Z,则函数y=3sin+3化为y=3sinZ+3,列表:描点画图:【延伸探究】在本例中,如何求函数y=3sin+3,x∈R的零点?【解析】方法一:由函数y=3sin+3的图象可知,函数图象的最低点的横坐标为函数的零点,即x=4kπ+,k∈Z为所求.方法二:由函数y=3sin+3=0,得sin=-1,由=2kπ+,k∈Z,解得x=4kπ+,k∈Z.所以函数的零点为x=4kπ+,k∈Z.

【类题通法】1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤第一步:列表.第二步:在同一坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.提醒:三角函数图象的变换规律,体现了函数图象的内在联系,作为画三角函数的图象的方法并不简便,画三角函数图象的一般方法,还是运用“五点画图法”.【定向训练】设函数f(x)=sinx+sin,不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到.【解析】f(x)=sinx+sinxcos+cosxsin=sinx+sinx+cosx=

sinx+

cosx

y=sinx横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得y=sinx;然后y=sinx向左平移个单位长度,得f(x)=sin【课堂小结】课堂素养达标1.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象 (

)A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选B.y=sin3x+cos3x=可以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位长度即可.2.函数y=sin的图象可由y=cos的图象如何得到 (

)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选D.y=sin

即