4.3.2对数的运算(1)课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数4.3

对数4.3.2对数的运算(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.掌握对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法.2.弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题.活动方案我们已知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？活动一对数运算性质思考1►►►指数幂运算有哪些性质？【解析】

am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；(ab)t＝atbt.思考2►►►指数式与对数式的互化公式是怎样的？【解析】

ax＝N⇔logaN＝x思考3►►►根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？(1)设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值；【解析】

由loga2＝m，得am＝2，由loga3＝n，得an＝3，所以am＋n＝am·an＝2×3＝6.(2)设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N)．【解析】

由logaM＝m，得am＝M，由logaN＝n，得an＝N，所以M·N＝am·an＝am＋n，所以loga(M·N)＝m＋n.在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN.当n≠0时，令logaM＝p，由对数定义可得M＝ap，所以Mn＝(ap)n＝anp，所以logaMn＝np，将logaM＝p代入，即证得logaMn＝nlogaM.当n＝0时，显然成立，所以logaMn＝nlogaM.上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg5＋lg2＝lg10＝1.例

1求下列各式的值：(1)log2(23×45)；【解析】log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.(2)log5125.【解析】log5125＝log553＝3log55＝3.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.(2)log2(47×25)．【解析】log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.例

3已知lg2＝a，lg3＝b，求下列各式的值：(1)lg12；活动二对数运算性质的应用【解析】lg12＝lg(22×3)＝lg22＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b.将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质的灵活运用．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：(1)lg18；【解析】lg18＝lg(2×32)＝lg2＋lg32＝lg2＋2lg3≈0.3010＋2×0.4771＝1.2552.例

4计算或化简下列各式：(1)(lg2)2＋lg2×lg5＋lg50；活动三利用对数运算性质求值或化简【解析】

原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg(5×10)＝lg2×lg10＋lg5＋lg10＝lg2＋lg5＋1＝1＋1＝2.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；(3)逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解析】

原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.检测反馈245131.(2022·汉中高一期末)已知5a＝2，b＝log53，则log512等于(

)A.a＋3b B.2a＋b

C.a＋2b D.3a＋b【解析】

由5a＝2，得a＝log52，又b＝log53，所以log512＝log5(3×22)＝log53＋2log52＝b＋2a.【答案】B245132.(2022·汉中高一联考)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.25，则其视力的五分记录法的数据约为(lg2≈0.3)(

)A.4.4 B.4.7C.4.9 D.5.2【解析】

根据表达式L＝5＋lgV，代入V＝0.25，得L