函数的应用(一)5种常见考法归类（原卷版）

3.4函数的应用（一）5种常见考法归类1、常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……，,fnx，x∈Dn))幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)2、一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．注：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域．3、利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．4、幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．5、应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．6、解决“对勾”函数应用题的关键解决“对勾”函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值．考点一一次函数模型的应用考点二二次函数模型的应用考点三幂函数模型的应用考点四分段函数模型的应用考点五对勾函数模型考点一一次函数模型的应用1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2023年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）由于受到更新换代的影响，某店经销的Iphone6二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.(1)一月Iphone6每台售价为多少元?(2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种共20台，请问有几种进货方案?(3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值?3．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．(1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？4．（2023秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元．(1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式(2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．5．（2023·全国·高一假期作业）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：(1)A，型号电脑每台进价各是多少元？(2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．考点二二次函数模型的应用6．（2023秋·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）.(1)该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出.试问哪一种方案较为合算？请说明理由.参考数据：，，.7．（2023秋·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考阶段练习）（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.(1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益成本）(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？8．（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）.(1)试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式；(2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值.9．（2023·全国·高一随堂练习）某商店进了一匹服装，每件进价为60元．每件售价为90元，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．请写出每天的利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大．10．（2023秋·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.11．（2023·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少考点三幂函数模型的应用12．（2023·全国·高一专题练习）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？13．（2023·全国·高一专题练习），两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大?（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入发耗费资金)14．（2023·全国·高一专题练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？15．（2023·全国·高一专题练习）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？考点四分段函数模型的应用16．（2023秋·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？17．（2023秋·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？18．（2023秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）年，月日，华为年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新，通过市场分析，生产此款全年需投入固定成本万，每生产千部，需另投入成本万元，且由市场调研知此款售价万元，且每年内生产的当年能全部销售完.(1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式(2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少19．（2023秋·山东·高一校联考阶段练习）今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2023年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.(1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）(2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？20．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:;当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.考点五对勾函数模型21．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.(1)若，问学校该怎样选择；(2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.22．（2023秋·江苏南京·高一校联考阶段练习）在国庆假期期间，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为（单位：m），租赁铁栏杆的总费用为（单位：元）.(1)将表示为的函数，并求租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的值.(2)