数学（选修22）课件622间接证明反证法

第六章推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.2间接证明：反证法1.反证法的定义(1)先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与__________________相矛盾，或与命题中的__________相矛盾，或与_______相矛盾，从而说明命题的结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作_________.(2)反证法是一种_______证明的方法.定义、公理、定理已知条件假定反证法间接温馨提示：一般地，由证明p⇒q转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真的方法，叫作反证法.关于反证法，法国数学家阿达玛曾说过：“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的精辟的概括.2.反证法的证明步骤(1)反设：假设所要证明的结论________，而设结论的______成立；(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与___________，____________，_______，_______，______及________________或____________；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的______，既结论的_______不成立从而肯定了__________.不成立反面已知条件已知的公理定义定理反设明显的事实矛盾自相矛盾谬误反面结论成立温馨提示：(1)反证法推证问题模式框图(2)适合反证法的类型题.①问题共有n种情形，现在要证其中一种情形成立时，可利用反证法把其余的(n－1)种情形排除，从而确定这种情形成立.②命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x＋1＝0的根，可用反证法证明.假设2是方程2x＋1＝0的根，推导出矛盾，从而确定2不是方程的根.③命题用“至少”“至多”等叙述时，可用反证法证明.④命题成立非常明显，而要直接证明，所能用的理论太少，且不容易说明白，可用反证法证明.(3)应用反证法时，推出的矛盾常有如下情形：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；②与临时假设矛盾；③与公认的事实或自相矛盾等.

设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，求证：数列{an＋1}不是等比数列.用反证法证明否定性命题【点评】

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.(2)用反证法证明数学命题的步骤：用反证法证明“至多、至少”类问题【点评】应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下表：2.已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b,得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0.∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.

求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明：∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根.下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.∴假设不成立，从而原命题得证.用反证法证明唯一性命题【点评】用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.3.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根.由α≠β，不妨设α＜β，又∵函数f(x)在[a，b]上是增函数，∴f(α)＜f(β).这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，∴方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.(