第08讲圆锥曲线中的焦点弦焦半径及定比分点问题（高阶拓展）（学生版）

第08讲圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新Ⅱ卷，第10题,5分抛物线焦点弦有关的几何性质抛物线定义的理解根据焦点或准线写出抛物线的标准方程求直线与抛物线的交点坐标2020年新I卷，第13题,5分求抛物线焦点弦长无2020年新Ⅱ卷，第14题,5分求抛物线焦点弦长无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦及其相关计算2.理解、掌握圆锥曲线的焦半径及其相关计算3.理解、掌握圆锥曲线的定比分点及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆的斜率式焦点弦长公式(1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则(2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则双曲线的斜率式焦点弦长公式(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2(2)A，B在异支弦，AB=

(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2

(2)A，B在异支弦，AB=2a椭圆的倾斜角式焦点弦长公式

(1)F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−双曲线的倾斜角式焦点弦长公式

(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式

(1)焦点在x轴上,AB=2psin2椭圆的角度式焦半径公式设P是椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点，F为它的一个焦点，双曲线的角度式焦半径公式设P是双曲线x2a2−y2

式中“的记忆规律:同正异负.即当P与F位于y轴的同侧时取正，否则取负.

取∠PFO抛物线的角度式焦半径公式已知A是抛物线C:y2=2pxp定比分点的定义若AP=λPB,则称点P为线段AB的定比分点,λ为点P一般地,设点Ax1,y1,B考点一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题1．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（

）A． B．3 C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（

）A．8 B．8或24 C．12 D．12或244．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．或1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为．2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝．3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为．4．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（

）A． B． C． D．考点二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三对口高考）已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则．4．（2023·全国·高三对口高考）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则___1．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为．2．（2022秋·四川乐山·高三期末）设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为.4．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则下列结论错误的是（

）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为2C．若AB⊥AF2，则 D．λ的取值范围是考点三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．2．（2021·全国·高三专题练习）分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（

）A．2 B． C．4 D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（

）A． B． C． D．4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（

）A． B．C． D．1．（2022·全国·高三专题练习）已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为．2．（2022·全国·高三专题练习）若分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，的周长是20，则m=．3．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（

）A．B．的最小值为C．若，则D．若、同在的左支上，则直线的斜率考点四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题1．（全国·高考真题）已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=A． B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形3．（山东·统考高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．4．（重庆·高考真题）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=．5．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（

）．A． B．C． D．1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（

）A． B．或3 C．或2 D．32．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线AB过焦点F时，最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D．4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则．5．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线与圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，则最小值是.考点五、定比分点问题1已知过定点P0,3的直线与椭圆x29+y2解:设点Ax1,y1又已知点P0,3由点A,B在脒圆上得两式作差得x1+λ于是,将(1)代入(2)化简得y1−λ由y1+λy2解得λ∈−1．（浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆(m>1)上两点A，B满足，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．【能力提升】一、单选题1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的通径长为（

）A．8 B．4 C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（

）A． B． C．30 D．156．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2023春·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知抛物线直线与交于，两点，直线与交于，两点，则||+2||的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（

）A．1 B． C．3 D．49．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（

）A． B．或3 C．或2 D．310．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（

）A．4 B．6 C．8 D．1011．（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．12．（2023·陕西·校联考三模）已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则(

)A．4 B．6 C．8 D．1013．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（

）A．， B．， C．， D．，二、多选题14．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为5C．以线段为直径的圆与直线相切D．若，则直线的斜率为15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（

）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]三、填空题16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为.17．