苏科版常州市溧阳市八级上期中数学试卷及答案解析

2014-2015学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共18分）1．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高是()A．3.5 B．2.4 C．1.2 D．52．等腰三角形腰长10cm，底边16cm，则面积为()A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．32cm23．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的()A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于()A．44° B．68° C．46° D．22°5．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE()A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF6．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BACC．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A． B． C．4 D．58．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是()A．70° B．65° C．60° D．55°9．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为()A．10° B．20° C．7.5° D．15°二、填空题（每题2分，共18分）10．三角形三边分别为5，12，13，那么最长边上的高为__________．11．已知△ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为__________三角形．12．三角形三边分别为7，24，25，那么这个三角形的面积为__________．13．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=__________cm．15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是__________．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为__________．17．如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为__________．18．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为__________．三、解答题（每小题6分，共18分）19．已知：在△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，且c=，求a、b．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=20cm，AD是角平分线，且BD：CD=2：3，求点D到AC边上的距离．21．长方形的一条对角线长为10cm，一边长为6cm，求这个长方形的面积．四、解答题（每小题7分，共14分）22．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：DC∥AB．23．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．五、解答题（每小题7分，共14分）24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，CD恰好与AB垂直，求∠A的度数．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．六、解答题（每小题6分，共18分）26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中常见的是“面积法”，当两个全等的直角三角形如图摆放时（其中∠DAB=90°），就可以用“面积法”来证明勾股定理，即证明a2+b2=c2，请你写出勾股定理的证明过程．27．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为__________；②线段AD，BE之间的数量关系为__________．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．28．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据__________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若__________，则△ABC≌△DEF．2014-2015学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共18分）1．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高是()A．3.5 B．2.4 C．1.2 D．5【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】依题意作图，如下图所示：根据题意可证△BDC∽△BCA，所以=，由于AC、BC的值已知，所以只需求出AB的值即可求出斜边上的高CD的值，在直角△ABC，可求出斜边AB的值，进而求出CD的值．【解答】解：如下图所示：△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===5，∵∠C=∠CDB=90°，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA，∴=即：CD=×AC=×4=2.4．所以，本题应选择B．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，关键考查了勾股定理，解题中间运用了相似三角形的判定和性质．2．等腰三角形腰长10cm，底边16cm，则面积为()A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．32cm2【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形ABC，AB=AC，要求三角形的面积，可以先作出BC边上的高AD，则在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD，就可以求出三角形的面积．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=BC=8cm，∴AD==6cm，∴=48cm2，故选B．【点评】本题主要运用了等腰三角形的性质：三线合一的性质，勾股定理．3．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的()A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于()A．44° B．68° C．46° D．22°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数．【解答】解：∵∠A=44°，AB=AC∴∠B=∠C=68°∵∠BDC=90°∴∠DCB=22°．故本题选D．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．5．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE()A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，BE=CF，具备了两条边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【解答】解：可添加AC=DF，或AB∥DE或∠B=∠DEF，证明添加AC=DF后成立，∵BE=CF，∴BC=EF，又AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．6．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BACC．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC【考点】全等三角形的判定．【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论．【解答】解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意一对角．7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A． B． C．4 D．5【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是()A．70° B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．9．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为()A．10° B．20° C．7.5° D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．二、填空题（每题2分，共18分）10．三角形三边分别为5，12，13，那么最长边上的高为．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：∵52+122=132，∴三角形是直角三角形，设最长边上的高为h，由三角形面积公式得：×5×12=×13×h，解得：h=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积公式和勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能推出三角形是直角三角形，难度适中．11．已知△ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，可得此三角形是直角三角形．【解答】解：∵BC=41，AC=40，AB=9，且92+402=412，即：AB2+AC2=BC2∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．12．三角形三边分别为7，24，25，那么这个三角形的面积为84．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，∴其面积=×7×24=84．故答案为：84．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力，难度适中．13．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．【解答】解：BC==4，由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．17．如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为4．【考点】等腰直角三角形．【专题】规律型．【分析】根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍分别求解即可．【解答】解：由等腰直角三角形的性质得，OA1=OA=，OA2=OA1=•=2，OA3=OA2=2，OA4=OA3=2•=4．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形斜边等于直角边的倍是解题的关键．18．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为2．【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【专题】动点型．【分析】过P作PE⊥OM于E，根据垂线段最短，得出当Q与E重合时，PQ最小，根据角平分线性质求出PE=PA，即可求出答案．【解答】解：过P作PE⊥OM于E，当Q与E重合时，PQ最小，∵PE⊥OM，PA⊥ON，OP平分∠MON，∴PE=PA=2，即PQ的最小值是2，故答案为：2．【点评】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质的应用，能根据题意得出PQ最小时Q的位置是解此题的关键，此题主要培养学生的理解能力．三、解答题（每小题6分，共18分）19．已知：在△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，且c=，求a、b．【考点】勾股定理．【分析】先根据a：b=3：4，c=，设a=3x，b=4x，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵a：b=3：4，c=，∴设a=3x，b=4x．∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，即（3x）2+（4x）2=（）2，解得x=，∴a=3x=2，b=4x=．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=20cm，AD是角平分线，且BD：CD=2：3，求点D到AC边上的距离．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AC于点E，根据BC=20cm，BD：CD=2：3求出BD的长，再由角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵BC=20cm，BD：CD=2：3，∴BD=BC=8．∵AD是角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，∴DE=BD=8．答：点D到AC边上的距离是8cm．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．21．长方形的一条对角线长为10cm，一边长为6cm，求这个长方形的面积．【考点】勾股定理；矩形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB2+CB2=AC2，∵AB=6，AC=10，∴BC2=AC2﹣AB2=102﹣62=64，∴BC=8，S=AB•BC=6×8=48cm2．【点评】本题考查了勾股定理，找到合适的直角三角形是解题的关键．四、解答题（每小题7分，共14分）22．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：DC∥AB．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【专题】证明题．【分析】根据边角边定理求证△ODC≌△OBA，可得∠C=∠A（或者∠D=∠B），即可证明DC∥AB．【解答】证明：∵在△ODC和△OBA中，∵，∴△ODC≌△OBA（SAS），∴∠C=∠A（或者∠D=∠B）（全等三角形对应角相等），∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和平行线的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用边角边定理求证△ODC≌△OBA．23．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=36°，∴∠A=90°﹣36°=54°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣54°）=63°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣36°=54°，∴∠BAC=180°﹣54°=126°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣126°）=27°；综上所述：等腰三角形底角的度数为63°或27°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．五、解答题（每小题7分，共14分）24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，CD恰好与AB垂直，求∠A的度数．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，首先证明∠A=∠MCA（设为α）；其次证明∠DCM=∠MCA=α；运用直角三角形的两锐角互余，列出关于α的方程，求出α即可解决问题．【解答】解：如图，∵CM是斜边AB上的中线，∴CM=AM=AB，∴∠A=∠MCA（设为α）；由翻折变换的性质得：∠DCM=∠MCA=α；∵CD⊥AB，∴∠DCA+∠A=90°，即3α=90°，∴∠A=α=30°．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握翻折变换的性质等几何知识点，并能灵活运用、解题．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．【考点】作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据AE为网格正方形的对角线，作出点B关于AE的对称点F，然后连接AF、EF即可；（2）根据图形，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解．【解答】解：（1）△AEF如图所示；（2）重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2=8﹣2=6．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并观察出AE为网格正方形的对角线是解题的关键．六、解答题（每小题6分，共18分）26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中常见的是“面积法”，当两个全等的直角三角形如图摆放时（其中∠DAB=90°），就可以用“面积法”来证明勾股定理，即证明a2+b2=c2，请你写出勾股定理的证明过程．【考点】勾股定理的证明．【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a．∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．【点评】此题主要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．27．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点评】本题考查了全