高三数学一轮复习专讲专练12命题充分条件与必要条件

[知识能否忆起]

一、命题的概念可以

、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为

的语句叫真命题，判断为

的语句叫假命题．

判断真假假真二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系：2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

．三、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的

，q是p的

．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的

．相同没有关系充分条件必要条件充要条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(

)答案：A答案：B3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的 (

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.

解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”成立的充要条件．答案：②③1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．[答案]

C

在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．

A．①②③④

B．①③④C．②③④ D．①④[自主解答]

①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案]

BA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)·(a－2)＝0”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件[答案]

(1)B

(2)A充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.[例3]

方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 (

)A．0<a≤1

B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0

法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.[答案]

C3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ()[答案]

D[典例]

(2012·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[常规解法]

“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0<a<1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a>0，即a<2.又因为a>0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0<a<2且a≠1.显然p⇒q，但q

p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．[答案]

A1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[巧思妙解]

p：“函数f(x)＝ax在R上是减函数”等价于0<a<1.q：“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”等价于2－a>0，即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集．故答案为充分不必要.答案：B

教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝ (

)A．1 B．2C．3 D．4解题训练要高效见“课时跟踪检测（二）”解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p