2020-2021学年眉山市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年眉山市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.抛物线y=-1/的焦点坐标及准线方程分别为（）

O

A.（0,-2）,x=2B.（0,-2）,y=2

C.（2,0）,尤=—2D.（2,0）,y=—2

2.已知高为3的直棱柱ZBCAB'C'的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则

三棱锥8N8C的体积为（）/\\

B-1

C.在

6

D.在

4

3.“aW1或力。2"是"a+bW3”的（）

A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件

C.充要条件D.充分不必要条件

4.若直线y=k%-2与直线y=3%垂直，则々=（）

A.3B.-C.—3D.--

2

5.在直角坐标系中，把双曲线G：］-y2=1绕原点逆时针旋转90。得到双曲线C2,给出下列说法:

①G与的离心率相同；②C1与C2的焦点坐标相同；③G与C2的渐近线方程相同；④Q与的实轴

长相等.

其中正确的说法有（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

6.命题“若a=p贝kcma=乎的逆否命题是（）

A.若aK3，则tana4在B.若a=g则tana4遗

3333

C.若tana。遗，则aHgD.若tana丰叵,则a=7

3333

7.已知椭圆喧+旨=1(a>6>0)的左、右焦点分别为6(—c,0),F(C,0),若椭圆上存在点P使

az2

nc

同总=击赤？则该椭圆的离心率的取值范围为()

A.(0,V2-l)B.(今1)C.(0,f)D.(V2-1,1)

8.UAB>0”是“方程0表示椭圆”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知平面a的一个法向量元=(2,2,-1),点4(0,1,-3)在平面a内，则点尸(2,-3,-2)到平面a的距

离为()

A.V3B.V17C.|D.

10.在正方体力BCD-々BiCiDi中，二面角A-BD-4的余弦值为()

A.-B.遮C.在D.更

2322

22

11.已知双曲线的离心率ei，抛物线的离心率e,椭圆|^+W=1的离心率02,若3、e、e2成等比数

歹！I，则双曲线的渐近线方程为()

34

A.y=±-xB.y=±-x

43

C.y=土江或y=±^xD.y=土自或y=±|x

12.在正六棱柱中，不同在任何侧面而且不同在任何底面的两顶点的连线称为对角线，那么一个正

六棱柱对角线的条数共有()

A.24B.18C.20D.32

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

%>0

13.若％,y满足约束条件%+3y>4,贝收=%-y的最大值是.

.3%+y<4

14.已知三棱锥。-ABC的四个顶点均在球。的球面上，△48C和所在的平面互相垂直，且

AB1AC,BC=CD=BD=2B，则球。的表面积为.

15.已知圆C：x2+y?—2,x—3=0,直线1：CLX+y—2a—1=0(a为参数)截圆C的弦长为2V^,

则Q=.

16.己知直线1：ax—3y+12=0(aeR)与圆M：%2+y2-4y=0相交于4、B两点，且乙4MB=1,

则实数a=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知抛物线W:y=a/经过点a(2,i),过4作倾斜角互补的两条不同直线几％.

(I)求抛物线勿的方程及准线方程；

(U)当直线人与抛物线勿相切时，求直线％与抛物线皿所围成封闭区域的面积；

(川)设直线口"分别交抛物线加于B,C两点(均不与4重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线

的准线相切，求直线BC的方程.

18.如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AC=BC,^LACB=90°,D是力

的中点

(1)求证：平面QDB1平面ABB141；

(2)若异面直线Aa和BG所成的角为60。，求平面C/B与平面A8C夹角的余

弦值.

19.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD1平面力BCD,PD=DC=2AD=2,4。1DC,乙BCD=45°.

(1)设「。的中点为用，求证：2M〃平面PBC；

(H)求「4与平面PBC所成角的正弦值；

(HI)求二面角B-PC-。的正弦值.

p

c

20.已知直线/：ax—2y+2=0(aGR)

(1)若与直线zn：汽+(a-3)y+1=0(a£R)平行，求a；

(2)若直线，始终平分圆C：(%-1尸+y2=2的周长，求心

21.如图所示的几何体中，面因费为正方形，面侧魏懑为等腰梯形，,圆轴蹦遨;，.通

激窗二做r，且平面包遨感乏_L平面,融函•

(1)求•的与平面庭统1所成角的正弦值；

(2)线段,蹈上是否存在点/，使平面盅巍：_L平面瞬窗？

证明你的结论.

22.已知椭圆C：《+?=l(a>2)的离心率为弓.

(/)求a的值；

(口)已知点力(0,4),若斜率不为0的直线I交椭圆C于点M,N,且满足NM4。=NAM。(其中。是坐标

原点)，求证：直线MN过定点.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：,•・抛物线y=化为：抛物线％2=-8y中，2p=8,解得p=4,

O

.•・抛物线/=-8y的焦点坐标为(0,-2),

准线方程为：y=2.

故选:B.

求出抛物线的标准方程，利用久2=—2py(p>0)的焦点坐标为(0,-准线方程为：y=l，求解判

断即可.

本题考查抛物线的焦点坐标的求法，直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线

的简单性质的灵活运用.

2.答案：D

解析：解：•••高为3的直棱柱ABC-AB'C'的底面是边长为1的正三角形，

•••SMBC=工x1x1xsin60°=―,

24

・•・三棱锥夕一的体积：

'=耳xS^ABCx3=f,

故选：D.

由已知得SAABC=|x1x1xsin60°=争由此能求出三棱锥B'-ABC的体积.

本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题.

3.答案：A

解析:

本题考查充分条件、必要条件的判断，属于中档题.

解：因为a=1且b=2=>a+b—3,

a+b=3冷a=1且b=2,

则“a=1且6=2”是“a+6=3”的充分不必要条件，

故“a丰1或6丰2”是“a+6力3”的必要不充分条件.

故选：A.

4.答案:D

解析：

本题考查了相互垂直与斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题.

根据相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.

解：•直线y=kx-2与直线y=3x垂直，

3k=-1,解得k=

故答案选：D.

5.答案：C

解析：解：旋转后，双曲线C2的实轴在y轴上，焦点也在y轴上，

其方程为=a=迎,b=1,c=Va2+b2-V2+1—V3-

考虑①、®：因为a，b,c未变，所以离心率e=（不变，实轴长2a不变.

考虑②：因为焦点的位置改变，所以G与C2的焦点坐标不同.

考虑③：在的方程■——=1中，令/=0,得渐近线方程为y=

在C］：y2=］中，令^y2=0,得渐近线方程为y=±jx,

所以渐近线方程不同.

所以正确的选项是①④.

故选C.

22

把双曲线=1绕原点逆时针旋转90。后，只需将原方程中x,y互换即可得到。2与--=1.

对于①，由a,b的值，可知离心率改变与否；

对于②，由于双曲线的位置改变，可知焦点位置改变；

对于③，在C2：1-久2=1中，令?一久2=o,即得渐近线方程；

对于④，由于双曲线的形状未变，可知实轴长未变.

本题考查了双曲线的方程及双曲线的焦点、离心率、实轴、渐近线等几何性质，关键是知道双曲线

的方程与双曲线的焦点、离心率、实轴、渐近线的关系.

6.答案：C

解析：解：命题“若a=g则=立”的逆否命题是

33

“若tana4遗，则aK?'.

33

故选：c.

根据命题“若p,贝叼”的逆否命题是“若飞,则「P”，写出即可.

本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题.

7.答案：D

nr

解析：试题分析：由“昕航=击万航”的结构特征，联想到在中运用由正弦定理得:

而条忘=悬标两者结合起来，可得到低=金，再由焦点半径公式，代入可得到：a(a+ex0)=

0(。-6久0)解出久0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.

PF2

在APFiF2中，由正弦定理得:

sinz.PF1F2sinzPF2F1

则由已知得：£=最,

即：aPF]=CPF2

设点POo，M))由焦点半径公式,

得：PF】=a+ex0,PF2—a—ex0

贝!]a(a+ex0)=c(a—ex0)

的徂-a(c-a)_gl)

解得:Xr°~e(c+a)-e(e+l)

由椭圆的几何性质知…〉一训号>-。，

整理得+2e—1>0,解得：e<—V2—1或e>企—1,又e£(0,1),

故椭圆的离心率：eE(或一1,1),

故选D

8.答案：A

解析：试题分析：因为由“ab>。”，不能判断“方程a/+by2=1表示椭圆”，例如a<0,b<0

时，“方程a/+6y2=1不表示椭圆”；“方程a/+by2=1表示椭圆”今“ab>0”，；.“ab>0”

是“方程a/+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选艮

考点：本题考查椭圆的标准方程。

点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用.

9.答案:C

解析:解:•••点4(0,1,—3)在a内，P(2,—3,—2),

••・布=(2,—4,1),

•••向量元=(2,2,—1)为平面a的法向量,

P(2,-3,-2)到a的距离d=喘J=j.

故选：C.

求出4P=(2,—4,1),由此能求出P(2,—3,—2)到a的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思

想、函数与方程思想，是中档题.

10.答案:B

解析：解：在正方体中，连接ZC,BD交点为0,连----------

,几何体是正方体，二BD1BD1AA±,；.8。1平面力。A］，可知

BD1ArO,..3二

乙404是二面角的平面角，A"一

设正方体的棱长为2,贝必。=a,ArO=V2T4=V6>

二面角A-BD—Ai的余弦值为：得=*

故选：B.

画出直观图，作出二面角的平面角，然后求解三角形推出结果即可.

本题考查二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

1L答案：C

解析：

本题主要考查双曲线的离心率的求法，同时椭圆和抛物线的离心率，考查等比数列的性质，属于基

础题.

分别求出椭圆和抛物线的离心率，再由等比数列的性质，可得双曲线的离心率，再由双曲线的a,b,

c的关系，结合双曲线的渐近线方程，即可得到.

解：抛物线的离心率e=l,

椭圆过+肥=1的离心率e2=逐三=士，

259255

若。1、e、?2成等比数列，则出?2=”=1,

则有e1=

即有£=9，由于。2=。2+62,即*口2=。2+万2,

a416

解得,b=\a.

若双曲线焦点在X轴上，则有渐近线方程为y=尤，即为y=±：x；

若双曲线焦点在y轴上，则有渐近线方程为y=±*x,即为y=±：久.

故选：C.

12.答案：B

解析：解：••・空间对角线的投影就是正六边形的对角线2倍.

多边形的对角线臂里.

那么多边形空间对角线的投影就是多边形的对角线2倍.即公式是"几-3)

所以：正六棱柱的对角线是：6X(6—3)=18

故选：B

正六棱柱的空间对角线，投影就是正六边形的对角线.正六棱柱的空间对角线有两条件对角线投影

相同.正六棱柱的空间对角线就是正六边形的对角线2倍.

本题考查了空间对角线的条数问题，记住公式：7i(n-3)即可.属于基础题.

13.答案：。

解析：解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分).

由z=x—y得y=x—z,平移直线y=x—z,

由平移可知当直线y=x-z经过点B时，

直线y=x-z的截距最小，此时z取得最大值，

由解得CM，

即B(1,1)代入z=x—y得z=1—1=0,

即2=x-y的最大值是0,

故答案为：0.

根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由2=%-丫得？=x-z,利

用平移求出z的最大值即可.

本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解

决线性规划问题的基本方法.

14.答案：16兀

解析：解：取BC中点E,连接4E,DE,

因为AB14C,

B

所以△ABC的外心E为BC的中点，

因为BC=CD=BD=2V3,

所以△BCD为等边三角形，故。E1BC,

因为△48。和4DBC所在的平面互相垂直，

所以DE1平面ABC,则球心。在DE上，

因为△BCD中，BC=CD=BD=2百，

-1

所以DE=3,OE^-DE=1,

因为4E=3BC=遮，

贝哝2=0A2=0E2+AE2=1+3=4,

故R—2,S=4?rx4=167r.

故答案为：16兀.

由己知先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可

求解.

本题考查球。的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键.

15.答案：1

解析：解：由/+y2-2%-3=0,得(x-1)2+y2=4,

则圆心坐标为C(l,0),半径r=2.

又直线［截圆C所得弦长为2虎，可得圆心到直线珀勺距离d=V4^2=V2,

•••姆等=/，解得a=l.

Va2+1

故答案为：1.

由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由弦长可得圆心到直线的距离，进一步由点到直线的距离公式

列式求解.

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是

基础题.

16.答案：+V3

解析：

本题考查直线与圆位置关系的应用，是中档题.

化圆的方程为标准方程，作出图形，可得圆心到直线/的距离，结合点到直线的距离公式列式求解.

解：如图，

V

化圆M：%2+y2-4y=0为x2+(y—2)2=4,

可得圆M的圆心为M(0,2),半径为2,

直线ax-3y+12=0过定点A(0,4),

由乙4MB=p可得M至"的距离A。=V3,

由点到直线的距离公式可得：匕黑尹=百，

Va2+9

解得Q=+V3.

故答案为：土

17.答案：解：(1)由于4(2,1)在抛物线丫=。/上，所以l=4a,即a="

4

故所求抛物线的方程为y=*,其准线方程为y=-1；

4

(口)当直线4与抛物线相切时，由y'|x=2=L可知直线4的斜率为1，其倾斜角为45。,

所以直线6的倾斜角为135。，故直线%的斜率为-1，所以%的方程为丫=-久+3,

将其代入抛物线的方程y=那,得/+4x-12=。今X1=2,%2=

4

—6,

所以直线G与抛物线所围成封闭区域的面积为：

S=£(一久+3_*)dx=(一#+3x_"尤3)怛6=

64

3

(川)不妨设直线48的方程为y—1=kQ—2)(k>0),

fy-l-fc(x-2)

由，12

[y=4x

得/—4kx+8/c—4=0,

易知该方程有一个根为2,所以另一个根为4k-2,

所以点B的坐标为(4k一2,41一4左+1),

同理可得C点坐标为(-4k-2,4k2+4k+1).

所以|BC|=7t(4fc-2)-(-4fc-2)]2+t(4fc2-4/c+1)-(4fc2+4/c+l)]2=

V(8/c)2+(-8fc)2=8V2fc,

线段BC的中点为(—2,4^2+1),因为以BC为直径的圆与准线y=—1相切，

所以4k2+1—(—1)=4V2k,由于k>0,解得k=串

此时，点B的坐标为(2/-2,3-2&),点C的坐标为(一2/-2,3+2V2),

直线BC的斜率为号算得专2=-1,

(—2y2—2)—(2V2—2)

所以BC的方程为y—(3—2或)=—[x—(2/7—2)],

即x+y—1=0.

解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，同时考查导数的几何意义.直线与圆锥曲线的位置关系,

考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

(I)把点力的坐标代入抛物线方程求得p,则抛物线方程可得.进而根据抛物线的性质求得准线方程;

(n)当直线k与抛物线相切时，对抛物线方程求导，把％=2代入即可求得直线匕的斜率，进而可知

其倾斜角，推断出直线"的倾斜角，则直线％的斜率求得，进而根据点斜式求得直线方程，再利用定

积分可求出围成封闭区域的面积；

(m)设出直线4B的方程，与抛物线方程联立消去y,可求得方程的两个根，进而可推断出B,。点的

坐标，根据两点间的距离公式求得BC的表达式，根据以BC为直径的圆与准线y=-1相切，可知4k2+

1-(-1)=4求得k,则B,。点的坐标可求，进而求得8c的斜率，最后根据点斜式求得直线

方程.

18.答案:证明：(1)在直三棱柱4BC-力i&G中,AC=BC,

乙4cB=90°,D是4/1的中点，

•••QD1A1B1,CrD1AA1,

■■■A1B1nAA1=QD1平面力BB1&,

•••CrDu平面GOB,平面QDB_L平面力

解：(2)••・异面直线A4和BQ所成的角为60。，BCr=AC1,

•••AC=BC="i，

以C为原点，CA,CB,CG所在直线分别为X，y，Z轴，

建立空间直角坐标系,

设AC=8C=CC1=1,则4(1,0,1),81(0,1,1),

呜：,1),5(0,1,0),G(0,0,1).4(1,0,0)，

BQ=(0,-1,1),AB=(-1,1,0),巩=(0,0,1),

设平面C1DB的法向量元=(%,y,z),

n•BC1=—y+z=0

则取y=l,得元=(—1,1,1),

n-BD=j%-jy+z=0

平面力BC的法向量记=(0,0,1),

设平面GOB与平面力BC夹角为仇

贝口s"舒=亲=F

平面QOB与平面ABC夹角的余弦值为日.

解析：(1)推导出6。l&Bi，QD1441，从而，平面ABB14,由此能证明平面QDB1平面

ABBrAr.

(2)由异面直线A/1和BQ所成的角为60。，推导出4C=BC=CC「以C为原点，C4,CB,CC1所在

直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面GDB与平面ABC夹角的余弦

值.

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

19.答案:(I)证明：建立如图所示空间直角坐标系，设BC=<2a,p，

又PD=CD=2AD=2,/

则4(1,0,0),B(a,2-a,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,0,l).:

PB=(a,2-a,-2)>PC=(0,2,-2)，//：\

设平面PBC的一个法向量为元=Q,y,z),I；....

则口野ax+(2-a)y-2z=。，令，=匕得元=(川)，

尻・PC=2y-2z=0x

而俞=(-1,0,1),.•.宿•元=0，即宿1元，

又4M仁平面PBC,

故4M〃平面PBC；

(口)解：•••~PA=(1,0,-2)，设P4与平面PBC所成角为a,

由直线与平面所成角的向量公式有sMa=|cos<PA,n>|=I《逢I=普；

(皿)解：平面PBC的一个法向量为元=(1,1,1),

由题意可知，平面PCD的一个法向量为记=(1,0,0),

,—>一、mn1V3

,-.cos<m,n>=^=^=T.

可得二面角8-PC-。的正弦值为渔.

3

解析：(I)建立空间直角坐标系，设BC=/a,结合已知求出平面P8C的一个法向量元，再求出加7，

由前•n=0即可证明力M〃平面PBC；

(II)求出超，利用向量夹角公式，即可求得P4与平面PBC所成角的正弦值；

(HI)由(I)中求得的平面PBC的一个法向量，再由平面PDC的法向量为(1,0,0),利用向量夹角公式,

即可求二面角B-PC-D的正弦值.

本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定

平面的法向量，属于中档题.

20.答案：解：(1)由?=—9得a=l或2,

v2a—3

当a=l时，两条直线方程分别为：x—2y+2=0,x-2y+1=0满足平行；

当a=2时，两条直线方程均为：x-y+1=0,它们重合，

故a=1;

(2)直线Z通过圆C的圆心(1,0),即a+2=0,a=—2

解析：(1)利用两条直线平行的结论，即可求a；

(2)若直线汝台终平分圆C：(x—l)2+y2=2的周长，则直线I通过圆C的圆心，即可求a.

本题考查用两条直线平行，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.

21.答案：(1)如5,(2)详见解析.

卷

解析:试题分析：(1)利用空间向量求线面角，关键求出面的一个法向量.先由面面垂直得到线面垂直，

即由平面，£3庭您面,彦意勤，得,雨_L平面,&£翦,建立空间直角坐标系，表示各点坐标，得

0>=觌1题:，设平面感缠Z的法向量为需=场廉区:，则有？,一所以

M1„向

——■——哼#N=飒

怎"■雷-取z=：l，得制=：聊其力：.根据嬲窗与平面庭阖所成的角正弦值等于嬲窗与平

।冷蔚=(虬

Vi

面窟阖法向量夹角余弦值的绝对值，得到嬲窗与平面窟阖所成角的正弦值为逑.(2)假设线段

卷

幽上存在点软设锻造二播财觥制，可求出平面源的一个法向量嬲=(-*弧>要

使平面富阖_L平面感蟀，只需瞬.瞬=斛，即-力靛斓#般感#：1取1=斛，此方程无解，所以线段

,跟上不存在点鬻，使平面盅箍：11平面瞬窗.

(1)因为,魂餐"SS殿，山的=做矿，

在△,融窗中，由余弦定理可得/容=血筋,

所以滴容1啰窗.又因为,初1,⑨窗

平面鱼虾11面,触图，所以,初_L平面,触图.

所以僦脚乳匐激两两互相垂直,

卜解cis置=(虹

设平面巡婚的法向量为颍=翻躺喇，则有!一

所以,！怎计?』鼠取H”得"亚

设嬲窗与平面座阖所成的角为箴，则端媪篇=1蹦