易错突围：第十七章 勾股定理（解析版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）第十七章勾股定理易错导航勾勾股定理勾股定理及其逆定理易错点1勾股定理及其逆定理勾股定理与面积问题易错点2勾股定理与面积问题勾股定理中折叠问题易错点3勾股定理中折叠问题勾股定理中最短路径问题易错点4勾股定理中最短路径问题易错训练【易错点1勾股定理及其逆定理】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．【答案】（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．【分析】（1）先找出勾股数组中间数的规律，然后观察数组中两端数组相差2，利用方程求出第一个数，可得第六组勾股数为（48，14，50）（2）先找出勾股数中中间数的规律，然后利用方程求出勾股数中的一个数与第三个数规律：第n组勾股数为第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，可得(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．【详解】（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2则（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）设第一个数为x，第三个数为x+2则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．【点睛】本题考查勾股数，方程，平方差公式，关键在于找出式子变化的规律．【变式训练】选择题1．下列各组数中，是勾股数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可．【详解】根据勾股数的定义可得，，故选：B．【点睛】本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键．2．设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（）A．a＝12，b＝16 B．a＝11，b＝17 C．a＝10，b＝18 D．a＝9，b＝19【答案】A【分析】根据勾股定理分别求出c的值，再和20比较即可．【详解】解：A.a＝12，b＝16，根据勾股定理斜边c=20；B.a＝11，b＝17，斜边c=＞20；C.a＝10，b＝18，斜边c=＞20；D.a＝9，b＝19，斜边c=＞20；∵最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，∴a=12，b=16，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．如图，中，于点D，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据勾股定理计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵AD=1，∴AC=2AD=2，∴AB=2AC=3，∴BC==，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．4．满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n2﹣1，2n，n2+1；④，，6．其中能组成直角三角形的是（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】A【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为；则有，为直角三角形；②三个内角度数之比为，则各角度数分别为，，，不是直角三角形；③，是直角三角形；④，构不成三角形．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠EFC及AG的值，进而可判定CF=CE．设CF=EG=EC=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：∵CD⊥AB于D，∴EG∥CD，∴∠GEB＝∠EFC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴EC⊥CB，又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∴EG＝EC．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5．在Rt△EBC和Rt△EBG中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL），∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4，∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，∴CF＝CE．设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝∴CF的长是．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．二、填空题6．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足_______时，∠B=90°．【答案】a2+c2=b2【分析】根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案．【详解】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，

∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．

故答案为：a2+c2=b2．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，则点C到边AB的距离为__．【答案】1【分析】如图（见解析），先利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作于点，∵，∴，∵，∴，解得，即点到边的距离为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．8．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．【答案】【分析】连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．【详解】解：连接BD，∵点E为AB的中点，于点E，，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．【答案】9．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．10．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．【答案】或54或10【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得：t=10．故答案为：或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．三、解答题11．已知：如图，在中，，；在中，为边上的高，，的面积．求四边形的面积．【答案】114cm2【分析】根据三角形面积公式，求出AB的长，由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，于是得到△ABC的面积，即可得到结论．【详解】解：在△ABE中，DE为AB边上的高，，的面积．∵，∴AB=15cm，在中，，，AB=15cm，∴，∴△ABC是直角三角形，∴，∴四边形的面积=．【点睛】本题考查了三角形面积公式和勾股定理的逆定理，掌握这些知识点是解题的关键．12．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【答案】7200元【分析】连接，利用勾股定理解出，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，最后根据解得四边形的面积，再乘以200元，即可解题．【详解】解：连接，∠B=90°，在中，为直角三角形（元）答：学校需要投入7200元买草皮．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．综合与探究问题情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．探究发现（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；探究拓广（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．【详解】（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°∵∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE∴AD=AE又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∴∠ECD=90°，BD⊥CE．（2）由（1）得：△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∵，BD＝2DC，即,∴，∵AD=AE∴∴∠B=∠ACB=45°∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°∴CD2+CE2=DE2，即，∴；（3）如图，过点作交于点∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∴∴，∵∴∴．【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．【易错点2勾股定理与面积问题】（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵AB=13,BC=5，；（2）∵CD=15,AD=9,AC=12，，∴△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积为，，即四边形ABCD的面积为84．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．【变式训练】一、选择题1．（2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．514 B．8 C．16 D．64【答案】D【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A．8 B．12 C．18 D．20【答案】D【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2【答案】B【点睛】在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.4．（2020·宁夏盐池）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A．48B．60C．76D．80【答案】C【点睛】勾股定理.5．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则（）A．86 B．64 C．54 D．48【答案】C【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6．（2019·广东潮阳?初三零模）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【点睛】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．二、填空题7．（2020·河北侯口中学初二月考）已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____。【答案】4.8cm.【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.8．（2019·北京市第四十三中学初二期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________

.【答案】13【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键.9．（2019·河北保定十三中初二期中）如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．【答案】2【点睛】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键.10．（2020·南昌民德学校初二期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．【答案】11．（2019·全国初二单元测试）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为__________.【答案】4.512．（2021·山西晋城市·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．【答案】19【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积．三、解答题13．（2021·全国八年级）在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【答案】【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD==15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84．∴△ABC的面积为84．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．14．（2018·内蒙古杭锦后旗?初二期中）某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，求这块地的面积.【答案】解：连接AC∵∴在中，根据勾股定理在中，∵是直角三角形∴.【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．15．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．【答案】如图，连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2．∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理．利用勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形是解答本题的关键．16．（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．（1）求∠ADC的度数；（2）求出四边形ABCD的面积．【答案】解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵AB=20，BC=15，∴由勾股定理可得：AC=；∵在△ADC中，CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）由（2）知，∠ADC=90°，∴四边形ABCD的面积=．答：四边形ABCD的面积为．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【易错点3勾股定理中折叠问题】（2020·吉林长春市·八年级期末）已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．【答案】（1）△BEF是等腰三角形，理由如下：四边形ABCD是长方形，，，由折叠的性质得：，，∴△BEF是等腰三角形；（2）四边形ABCD是长方形，，由折叠的性质得：BE=DE，设BE=DE=x，则AE=AD-DE=8-x，在中，，即，解得x=5，即BE的长为5．【点睛】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．【变式训练】一、选择题1．（2020·甘南县八一学校初二期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B【点睛】本题考主要查了勾股定理，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2020·河北省临西县第一中学初二期末）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．3【答案】B【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．4．（2019·中山大学附属中学初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（）A． B． C．4 D．5【答案】C【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．5．（2021·河南南阳市·九年级期末）如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图②方式折叠，使点A与点CB重合，折痕为，则与的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】D【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度．6．（2019·河南伊川?初二期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4 B．3 C．4.5 D．5【答案】A【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．二、填空题7．（2021·全国八年级）如上图，在中，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，若AC=6，BC=8，则线段CD的长为______．【答案】【点睛】本题考查勾股定理，涉及折叠的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2020·甘州区思源实验学校八年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，则BE的长为_____．【答案】5【点睛】本题考查了翻折的性质及勾股定理求解边长，熟练运用勾股定理建立方程求解是解题关键．9．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在直角三角形中，，，，点D是边上一点，将沿折叠，使点C落在边的E点，那么的长度是________．【答案】3【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．10．（2020·安徽省庐江第三中学初二期中）如图，在长方形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为_______.【答案】【点睛】本题考查了翻折变换的知识，注意掌握勾股定理的表达式．11．（2021·北京门头沟区·八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为________．【答案】3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．12．（2021·全国八年级）如图，在直角三角形中，，，点在边上，将沿着直线对折，使得点刚好落在直线上的点处，则__．【答案】【点睛】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题13．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？【答案】设CD=xcm则AD=（8-x)cm∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm∴AB==10cm∵△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点∴，CD=设CD==x根据勾股定理：∴∴x=3∴．【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、轴对称、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，由折叠可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，设EF＝xcm，则DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5即：EF的长为5cm．【点睛】本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是熟练掌握勾股定理，运用方程求解．15．（2021·全国八年级）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．（1）直接写出AB的长是________；（2）求CD的长．【答案】解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，故答案为：10；（2）由折叠的性质可知，AC＝AE=6，DC＝DE，∠AED=∠C=90°，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，则CD的长是3．【点睛】本题考查勾股定理、折叠性质、解一元一次方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解答的关键．【易错点4勾股定理中最短路径问题】（2020·泾阳味经中学八年级月考）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？【答案】解：由题意分三种情况：①如图展开，连接DC，则DC的长就是从点D爬到C处的最短路程，在Rt△ADC中，AD=12+8=20cm，cm，∴由勾股定理得：cm，②如图所示：在Rt△DFC中，DF=12cm，FC=8+15=23cm，∴根据勾股定理得：，因为长方体盒子是无盖的，所以这种情况不符合题意；③把长方体盒子按照正面、底面、背面进行展开，如图所示：∴DF=12cm，FC=30+8+15=53cm，∴在Rt△DFC中，，综上所述：从点D爬到C处的最段路程是25cm．【点睛】本题主要考查几何图形的展开图及勾股定理，熟练掌握几何图形的展开图及勾股定理是解题的关键．【变式训练】一、选择题1．（2021·广东佛山市·）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（）A．9 B．13 C．14 D．25【答案】B【点睛】此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．2．（2020·辽宁营口?初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】D【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．3．（2021·河南周口市·八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.4．（2019·沙坪坝重庆八中初二月考）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要()A．12cmB．11cmC．10cmD．9cm【答案】C【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．5．（2021·江苏苏州市·八年级期末）如图，有一长方体容器，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行距离是（）A． B． C． D．【答案】B【点睛】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．6．（2021·河南新乡市·八年级期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．7．（2021·全国九年级）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）．A． B． C． D．【答案】B【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．二、填空题8．（2021·贵州毕节市·八年级期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为分别是两底面的直径，是母线．若一只蚂蚁从点出发，从侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）【答案】【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．9．（2019·全国初二课时练习）如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是________cm.【答案】6【点睛】此题考