2024年江苏南京市高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，．若，则（

）A． B． C．3 D．62．“”是“过点有两条直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（

）A．16 B．12 C．10 D．85．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．在斜中，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．已知，互为共轭复数，则（

）A． B． C． D．10．已知函数满足，则（

）A． B． C．是偶函数 D．是奇函数11．已知平行六面体的棱长均为2，，点在内，则（

）A．平面 B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，则集合的元素个数为．13．在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为．14．已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．16．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．17．在五面体中，平面，平面．(1)求证：；(2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．18．已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围．19．已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【详解】由，知，解得.故选：C.2．B【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.【详解】由题意，点在圆外，则有，，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B3．A【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.【详解】，则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.4．C【分析】根据题意求得数列的前8项，通过观察找到规律，即可求解.【详解】因为，，，，所以，，，，，，…，可以看出数列的前20项为，故.故选：C.5．D【分析】首先由求出，再由条件概率公式计算可得.【详解】因为，，，所以，所以，则.故选：D6．C【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.【详解】令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C7．B【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解．【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则，故选：B．

.8．B【分析】由得出，由为斜三角形，得出，再根据诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式求解即可．【详解】因为，所以为锐角，，则，即，所以，即，所以，当时，即,所以，不合题意；当时，，所以，所以当且仅当，即时等号成立，故选：B．9．BCD【分析】由复数的四则运算和复数模长公式验证各选项即可.【详解】令，对A，，则不一定成立，故A选项错误；对B，，故B选项正确；对C，，故C选项正确；对D，，故D选项正确.故选：BCD10．AC【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。【详解】令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC11．ABD【分析】由面面平行的判定及性质即可判断A；以为基底，证明出平面，即可判断B；由即可判断出D；由正弦定理，勾股定理及函数单调性即可判断出C．【详解】对于A，连接，由平行六面体得，平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，同理可得，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；对于B，以为基底，则，，，因为平行六面体的棱长均为2，，所以，，所以，因为平面，且，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于D，，，即，所以，当点共线时等号成立，故D正确；对于C，因为平面，则交的外心，连接，则，在中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，设，在中，，在中，，则，所以，故C错误；故选：ABD．【点睛】方法点睛：在平行六面体中，已知棱长均为2，，处理该几何体中的位置关系及数量关系时，以为基底，利用向量解决问题．12．2【分析】利用列举法求解集合，即可求解.【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故答案为：213．【分析】设，，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出、，最后根据计算可得.【详解】连接，依题意，设，，则，又，即，即，即，显然，则，即，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以.故答案为：14．【分析】令得，四边形为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求的值.【详解】函数，，若，恒成立，在上单调递增，不合题意，时，，得，则，，四边形为菱形，则，，故，，，则，，由，化简得，令，则，即，解得，故，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求的值.15．(1)X的分布列见解析，期望(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3，，，的分布列为：123数学期望．（2），，，．关于的线性回归方程为；在中，取，得．预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．16．(1)(2)【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．【详解】（1）当时，，则，，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即．（2），令，解得或，当时，时，，则在上单调递减，所以，则，符合题意；当时，时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增，所以，则，不合题意；当时，时，，则在上单调递减，所以，不合题意；综上，．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案．（2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以．（2）由于平面，，所以平面，平面，故,又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面由于，则,故,故为等腰直角三角形，所以,如图以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建系，设，则，故由于，所以，故，设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，因为，，所以，即令，则，因为，，所以，即令，则，设成的角为，由图可知为钝角，所以，故，18．(1)(2)【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围．【详解】（1）抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，设双曲线E的焦距为，则有，又，则.由，得，所以E的渐近线的方程为（2）设，，1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，由，解得，，.设，由，消去得，则有，，由，，有，即，由，有，所以.

【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．(1)不是“X数列”(2)证明见解析；，(3)证明见解析【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可.（2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可.（3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出.【详解】（1）由题，所以有，，故根据“X数列”的定义不是“X数列”.（2）因为，所以当时，；当时，；则不满足，所以，令，即，则当时，有，；当时，有；故即