长沙理工大学大学物理计算题题

1.题目：电荷。均匀分布在长为21的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为

a的。点的电势(设无穷远处为电势零点).

答案：解：设坐标原点位于杆中心。点，x轴沿杆的方向，如图所示.

细杆的电荷线密度2=0/(27),在*处取电荷元dg=/ldx=qdx/(27),它在

。点产生的电势为

■4n^(l-Fa-8*%^..一44分

整个杆上电荷在P点产生的电势

%=•日三=品i—T=备比乳分

2题目：圆形平行板电容器，从°=0开始充电，试画出充电过程中，极板间某

点。处电场强度的方向和磁场强度的方向.

答案：解:

见图.后，2分；X,2分

3题目：氢原子可以看成电子在平面内绕核作匀速圆周运动的带电系统.已知电

子电荷为e,质量为偏，圆周运动的速率为12,求圆心处的磁感强度的值6.

♦_92

答案：解：由械，“'r

有

r=

分

T«一2分

2分

4

5题目：一平面线圈由半径为0.2m的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以

电流2A,把它放在磁感强度为0.5T的均匀磁场中，求：

(1)线圈平面与磁场垂直时(如图)，圆弧以。段所受的磁力.

(2)线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩.

答案：解：(1)圆弧Be所受的磁力：在均匀磁场中左通电圆弧所受的磁力与

通有相同电流的4己直线所受的磁力相等，故有

〃△=/疝N3分

方向：与力。直线垂直，与少夹角45°,如图.1分

(2)磁力矩：线圈的磁矩为*・=N=hxl"首

本小问中设线圈平面与■成60°角，则％与■成30°角，有力矩

M=l.57X102N-m3分

方向：力矩麻将驱使线圈法线转向与方平行.1分

6题目：两根导线沿半径方向接到一半径R=9.00cm的导电圆环上.如图.圆

弧/龙是铝导线，铝线电阻率为0=2.50X10'Q.m,圆弧4%是铜导线，铜线

电阻率为用=L6OX1(T两种导线截面积相同，圆弧4位的弧长是圆周长

的1/兀直导线在很远处与电源相联，弧力％上的电流A=2.00A,求圆心。点

处磁感强度6的大小.(真空磁导率"=4兀X10"T.m/A)

答案：解：设弧力庞=乙，弧/%=5，两段弧上电流在圆心处产生的磁感强度

分别为

k4*与一41胪3分

■、■方向相反.

圆心处总磁感强度值为

内-田=等。一卷2分

，=丛位当

两段导线的电阻分别为$S1分

因并联//田2分

又A=M/«=M

,笔6?

...«■A=1.60X10'T2分

7题目：如图所示，一长为10cm的均匀带正电细杆，其电荷为1.5X10*3试

1

求在杆的延长线上距杆的端点5cm处的尸点的电场强度.(―=9X109

N•mVC2)

答案：解：设尸点在杆的右边，选取杆的左端为坐标原点。，x轴沿杆的方向,

如图，

并设杆的长度为L.。点离杆的端点距离为d.

在x处取一电荷元d(7=(Q/£)dx,它在尸点产生场强

韭=dff=1dx

一十一4~亿“一牙3分

产点处的总场强为

,axm、

亿—--y3分

代入题目所给数据，得

£1=1.8X10'N/m1分

■S的方向沿x轴正向.1分

11题目：半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各带电荷1.0X10",

两球相距很远.若用细导线将两球相连接.求（1）每个球所带电荷；（2）每球的

」-=9*10・际。7小

电势.（一）

答案：解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响.球上电荷均匀分布.设两球半径

分别为八和四，导线连接后的电荷分别为中和电而争+切=2g,则两球电势分别是

q=4^_二%

**Vi,分

两球相连后电势相等，0l=U2,则有

ft片

q9/F分

轨=至L=&S7xlOT*

由此得到勺/，C1分

ft=-^-=113x10*

4.〜C1分

两球电势V2分

1

13题目:

如图所示，两个点电荷和一3°,相距为d.试求：

(1)在它们的连线上电场强度左=。的点与电荷为+。的点电荷相距多远？

(2)若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势小0的点与电荷为+q的点

电荷相距多远？

r—r

答案：解：设点电荷＜?所在处为坐标原点。，X轴沿两点电荷的连线.

(1)设左=。的点的坐标为V,则

2分

可得=Q

解出一曲’冲距q左边2分

另有一解rIT厂不符合题意，舍去.

(2)设坐标/处〃=0,则

2分

得正4x=0,x=距q右边2分

14题目:

一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为a,其上均匀分布有正电荷a，如图所

示.试以a,q,8表示出圆心。处的电场强度.

答案：解：取坐标也勿如图，由对称性可知：鼻=（、=°2分

“2分

E二一%.H分

15题目：有一电荷面密度为c的“无限大”均匀带电平面.若以该平面处为电势

零点，试求带电平面周围空间的电势分布.

答案：解：选坐标原点在带电平面所在处，X轴垂直于平面.由高斯定理可得场

强分布为后土（2瓦）2分

（式中“+”对x>0区域，“一”对xVO区域）.平面外任意点x处电势：

在xWO区域

U=ifdxs：I>—^dx=

*垦ZZ3分

在x2O区域

*X3分

：<r

r―，

16题目：如图所示，载有电流/和4的长直导线加和cd相互平行，相距为3八

今有载有电流入的导线物『=八水平放置，且其两端，则分别与小心的距离都

是r,ab、cd和肱V共面，求导线/MV所受的磁力大小和方向.

答案：解：载流导线也V上任一点处的磁感强度大小为:

■=黑一“2分

=&一z、------也_

jdx

,加上电流元7；dx所受磁力：Xr+42m-埼2分

=争4叶〃*3

笔GTJR分

若A>A,则,的方向向下，A<4,则，的方向向上2分

17题目：在真空中一长为7=10cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度4

=1.0X10°C/m.在杆的延长线上，距杆的一端距离d=10cm的一点上，有一

点电荷例=2.0X10'C,如图所示.试求该点电荷所受的电场力.（真空介电常

量&=8.85X1012C2-FT'•rtf?）

ft1

k*彳U

答案：解:

选杆的左端为坐标原点，X轴沿杆的方向.在x处取一电荷元/Idx,它在点电荷

所在处产生场强为：

码彳93分

整个杆上电荷在该点的场强为:

=_AHdx31

x一码山山-分

点电荷所受的电场力为：

P—

4"Wrf+,）=0.90N沿x轴负向3分

18题目：AA'和CC为两个正交地放置的圆形线圈，其圆心相重合.AA,线圈

半径为20.0cm,共10匝，通有电流10.0A；而CC线圈的半径为10.0cm,

共20匝，通有电流5.0A.求两线圈公共中心。点的磁感强度的大小和方向.

（伙=4兀X10rN-A2）

AA,线圈在。点所产生的磁感强度

7。（方向垂直A4'平面）3分

CC线圈在。点所产生的磁感强度

%（方向垂直CC'平面）3分

。点的合磁感强度,=。：**产=7皿、*12分

6的方向在和A4'、CC都垂直的平面内，和+'平面的夹角

2分

19题目：两个点电荷分别为s=+2X10"C和0=—2Xl(TC,相距S3m・求

1

距外为0.4m、距0为0.5m处尸点的电场强度.(3=9.OOX1()9Nm2/C2)

答案：解：如图所示,

P点场强为：豆=房送

建坐标系。灯，则易在x、y轴方向的分量为

_1蚓〜。

■__—

仁华M2分

一1北工间—

%=一彳I胃2分

可得%=0.432X10'N-C-1,E后0.549X10'N•C1

4

合场强大小鸟7酸+隔=0699X10N-C,2分

方向：务与x轴正向夹角A=E8(V©=51.8。2分

22题目：一边长a=10cm的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，*竖直向上，

且8=9.40X103丁，线圈中电流为/=10A.

(1)今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？

(2)假若线圈能以某一条水平边为固定轴自由摆动，问线圈平衡时，线圈平面与

竖直面夹角为多少？(已知铜线横截面积S=2.00mu?,铜的密度夕=8.90g/cin')

答案:解:

=9.40X104N-m2分

(2)设线圈绕/〃边转动，并且线圈稳定时，线圈平面与竖直平面夹角为。，则

磁场对线圈的力矩为

昨尻喇=”吟包~12分

重力矩：”碗.典分

■,=科〃“=里7122分

于是0=15°

24题目：电荷以相同的面密度cr分布在半径为n=10cm和n=20cm的两个同

心球面上.设无限远处电势为零，球心处的电势为4=300V.

(1)求电荷面密度5

(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷?

[&=8,85X1012C2/(N«m2)]

答案：解：(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠

加，即

-1/丐J—I玲8J

3分

、♦々=8.85X109C/n?2分

(2)设外球面上放电后电荷面密度为一，则应有

+厂9)

■=0

即弓2分

外球面上应变成带负电，共应放掉电荷

=*^)==6.67XICTC3分

26题目：一半径7?=1.0cm的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通有电流/=

10.0A的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点尸的磁

感强度.

答案：解：取山段，其中电流为

lai2HM2Td0

«Lf=-----=---------=--------

u-重

22分

一=.、=&一2£刀=&^(1&

在2点2d2>f*«*/2分

选坐标如图

d>-"3"d>

*El,fX最

3亲4叽追分

'一d2分

%1近_

,=史,.步=_^-=]8义]0丁

方向・a=.//=1,。=225°,a为*与x轴正向的夹角.2分

28题目：图所示为两条穿过y轴且垂直于才一了平面的平行长直导线的正视图，

两条导线皆通有电流/,但方向相反，它们到*轴的距离皆为a.

(1)推导出x轴上P点处的磁感强度取用的表达式.

(2)求夕点在x轴上何处时，该点的8取得最大值.

答案:解：(1)利用安培环路定理可求得1导线在。点产生的磁感强度的大小为:

_3=酗1

育元&★力、分

2导线在P点产生的磁感强度的大小为:

鼠士=纪____

■（？+1的-％分

耳、区的方向如图所示.

月点总场

■=A♦J^=，con0，\ciiB3

勺=3%=°

3=

3分

—<ur—CO=0c--5-i=<o„

⑵当dx,di时，以力最大.

由此可得：x=0处，6有最大值.3分

29题目：一根同轴线由半径为A的长导线和套在它外面的内半径为尼、外半径

为兄的同轴导体圆筒组成.中间充满磁导率为〃的各向同性均匀非铁磁绝缘材料,

如图.传导电流/沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是

均匀分布的.求同轴线内外的磁感强度大小8的分布.

答案：解：由安培环路定理：P'df=Z/i

0<r（用区域：=

T,'受3分

8<r〈尼区域：H

H=——'噂3分

2»,

2*ff=I

R《r〈尼区域:0-地

H♦-看

.="=黑Q一*多3分

r>兄区域：4=0,8=03分

30题目:

图中所示，从8为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，4面上电荷面

密度5=-17.7Xl（rc•m?,6面的电荷面密度5=35.4X108C•m2.试计算

两平面之间和两平面外的电场强度.（真空介电常量a=8.85X1012C2-N-'•m2）

答案：解：两带电平面各自产生的场强分别为:

号=匕|3）方向如图示1分

方向如图示1分

靠,

*M番

——!-----!~>

由叠加原理两面间电场强度为

=3X104N/C方向沿x轴负方向2分

两面外左侧尾=/-与=a+』-)

=1X10'N/C方向沿x轴负方向2分

两面外右侧£*=1X10'N/C方向沿x轴正方向2分

31题目：电荷线密度为几的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状.若半圆弧

四的半径为此试求圆心。点的场强.

答案：解：以。点作坐标原点，建立坐标如图所示.

半无限长直线/8在〃点产生的场强

半无限长直线88在。点产生的场强M,

生金H乜分

半圆弧线段在。点产生的场强房,

宿72分

由场强叠加原理，。点合场强为

4=/"!■玛4•玛=。2分

32题目：在真空中有两根相互平行的无限长直导线乙和〃相距10cm,通有方

向相反的电流，1=20A,卜=10A,试求与两根导线在同一平面内且在导线晨

两侧并与导线心的距离均为5.0cm的两点的磁感强度的大小.(〃=4KX107

H•m')

答案：解：(1)心中电流在两导线间的方点所产生的磁感强度

T2分

、=^^=4J0x*

4中电流在a点所产生的磁感强度fT1分

由于的方向相同，所以a点的合磁感强度的大小

.==L2X1(T*T2分

(2)L中电流在两导线外侧b点所产生的磁感强度

0=鲁区=17x1。

2azT2分

A=2-&=4JDxMT«

心中电流在8点所产生的磁感强度力1方T1分

由于和耳和区的方向相反，所以力点的合磁感强度的大小

■4%-»卜口K1.12分

33题目：一无限长圆柱形铜导体(磁导率")，半径为R,通有均匀分布的电流I.今

取一矩形平面S(长为1m,宽为2而，位置如右图中画斜线部分所示，求通过

该矩形平面的磁通量.

答案：解：由安培环路定律，圆柱体内部与中心轴线相距为r处的磁感强度的大

小为

*=黑…巴分

因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通山为

•=j3="T等“岑3分

1=笈①川

圆形导体外与中心轴线相距r处的磁感强度大小为A"'2分

因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通内为

■中e招击=爵4分

穿过整个矩形平面的磁通量.二电♦吗4Kh1分

35题目：如图所示，一根长为/的金属细杆a力绕竖直轴Q"以角速度g在水平

面内旋转.。“在离细杆a端£/5处.若已知地磁场在竖直方向的分量为斤.求

助两端间的电势差％一

sa

答案：解：温间的动生电动势：

4£fS4US

4=体毋J-"士

・•2，，04分

。点电势高于。点.

市间的动生电动势：

S__5

.=Jc滴•"=J*.=lflB^.Qa=A^£2

••2，SO4分

a点电势高于。点.

f505030102分

36题目：已知均匀磁场，其磁感强度3=2.0Wb.m",方向沿x轴正向，如图

所示.试求：

(1)通过图中abOc面的磁通量；

(2)通过图中历切面的磁通量；

(3)通过图中ac曲面的磁通量.

答案:解:

匀强磁场不对平面3的磁通量为:

设各面向外的法线方向为正

⑴=旭——=3*Wb2分

(2)4^=心・《»<(皿20=。1分

⑶J3-3二5帏2分

39题目：用两根彼此平行的半无限长直导线乙、〃把半径为广的均匀导体圆环

联到电源上，如图所示.已知直导线中的电流为/.求圆环中心。点的磁感强度.

答案：解：设心中电流在。点产生的磁感强度为凡由于与。点在一条直线

上，由毕奥一萨伐定律可求出4=02分

设心中电流在。点产生的磁感强度为反乙为半无限长直电流，它在。处产生的

场是无限长直电流的一半，由安培环路定律和叠加原理有

马=空-工=空

r2mZ411t

方向垂直图面向外.3分

以下求圆环中电流在。点产生的磁感强度.电流由乙经a点分两路流入圆环,

一路由a点经1/4圆弧流至b,称此回路为L、.另一路由a点经3/4圆弧流至b,

称此段回路为乙.由于圆环为均匀导体，若心的电路电阻为凡则乙的电阻必为

37?.因此电流在乙、乙上的分配情况为心中电流为3774,心中电流为//4.£八

乙中电流在。点产生的磁感强度的大小相等，方向相反，总值为0.即

》离=0

同平植植I卜碧

故〃点的磁感强度:

方向垂直图面向外.3分

40题目：一无限长竖直导线上通有稳定电流/,电流方向向上.导线旁有一与导

线共面、长度为工的金属棒，绕其一端。在该平面内顺时针匀速转动，如图所示.转

动角速度为。，〃点到导线的垂直距离为To(zo>Z).试求金属棒转到与水平面

成嘶时，棒内感应电动势的大小和方向.

棒上线元di中的动生电动势为:

〃=g通•"="原索3分

金属棒中总的感生电动势为

A=J〃

12XCD03殖）"co■历

1分

JXKOBVCDBff44分

方向由。指向另一端.2分

41题目：在两根平行放置相距2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线

圈，线圈边长分别为7和28,且/边与长直导线平行.两根长直导线中通有等

值同向稳恒电流/，线圈以恒定速度斤垂直直导线向右运动（如图所示）.求：线

圈运动到两导线的中心位置（即线圈的中心线与两根导线距离均为a）时，线圈

中的感应电动势.

答案：解：取顺时针方向回路正向.

,=丑一汨2分

■岑心.击）2分

uj11

%=2—xCa—+A-----)=-FA分

43题目：载有电流/的平面闭合回路由半径为用及兄（宿＞兄）的两个同心半

圆弧和两个直导线段组成.已知两个直导线段在半圆弧中心。点产生的磁感强度

均为零.若闭合回路在。点产生的总的磁感强度6大于半径为此的半圆弧在0

点产生的磁感强度区，

（1）画出载流回路的形状;

（2）求出。点的总磁感强度A

答案：解：⑴,可知”=2分

故闭合回路形状如图所示.3分

⑵鸟=鼻阳”82分

—4N

■=/41分

题目：实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度至垂直于地面向下，

大小约为100N/C；在离地面1.5km高的地方，直也是垂直于地面向下的，大

小约为25N/C.

(1)假设地面上各处京都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷

的平均体密度；

(2)假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在

地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度.(已知：真空介电常量.=8.85X

1012C2•N1.m2)

答案：解：(1)设电荷的平均体密度为夕，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底

面，底面AS平行地面)上下底面处的场强分别为右和扁则通过高斯面的电场强

度通量为：9卮•国=E2sE\&S=3㈤AS2分

高斯面S包围的电荷£心=%甑》1分

由高斯定理(£—E)AS=7?△”/1分

*=4.43X10*C/n?2分

(2)设地面面电荷密度为g由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于

地面，取高斯面如图(2)1分

P)

由高斯定理浜・庠。*

--CT4S

-E^S=与1分

.,.b=—£。4—8.9X10"°C/m32分

45题目：如图所示，真空中一矩形线圈宽和长分别为2a和8,通有电流人可

绕其中心对称轴00,转动.与轴平行且相距为/a处有一固定不动的长直电流

/，开始时矩形线圈与长直电流在同一平面内，求：

(1)在图示位置时，上产生的磁场通过线圈平面的磁通量；

(2)线圈与直线电流间的互感系数.

(3)保持/、入不变，使线圈绕轴仞'转过90°外力要做多少功？

答案：解：(1)按题意是指图示位置时的0.

・=T纤格竿分

⑵2分

⑶喈-等2分

47题目：两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b

的金属杆切与两导线共面且垂直，相对位置如图.⑦杆以速度,平行直线电流

运动，求切杆中的感应电动势，并判断C、〃两端哪端电势较高？

答案：解：建立坐标（如图）

则：*=*+*>

■喧，3

2«工一42分

2千。hr,方方向。1分

分

电什域

2a+B2分

感应电动势方向为G-。，〃端电势较高.1分

48题目：两根平行无限长直导线相距为&载有大小相等方向相反的电流/,电

流变化率d//dZ=a>0.一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导

线相距d,如图所示.求线圈中的感应电动势E,并说明线圈中的感应电流是顺

时针还是逆时针方向.

答案：解：（1）载流为/的无限长直导线在与其相距为r处产生的磁感强度为：

以顺时针绕向为线圈回路的正方向，与线圈相距较远的导线在线圈中产生的磁通

量为:

与线圈相距较近的导线对线圈的磁通量为:

■=k桨八-竽3

总磁通量•=.'.=一婴分

而一吧="43也=旦&£

感应电动势为：打X丁也X02分

由E>0和回路正方向为顺时针，所以E的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电

流

亦是顺时针方向.2分

49题目：如图所示，一内半径为a、外半径为。的金属球壳，带有电荷0,在球

壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点，试求：

(1)球壳内外表面上的电荷.

(2)球心〃点处，由球壳内表面上电荷产生的电势.

(3)球心。点处的总电势.

答案：解：

(1)由静电感应，金属球壳的内表面上感生电荷p,外表面上电荷尹02分

(2)球壳内表面上任电荷元离0点的距离都是a,由这些电荷在。点产生的电势为

2分

(3)分布在球壳内外表面上的甩荷和点电荷g在。点产生的电势代数和为

分

--5-+e±f=-*-(