D3-4凹凸性与曲率

第四节主要内容:二、弧微分三、曲率及其计算公式函数的凹凸性与平面曲线的曲率

第三章一、曲线的凹凸性与拐点定义.

设函数在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.一、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.拐点定理.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸对应例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸二、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:三、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率注意:

直线上任意点处的曲率为0!转角为例4.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则例5.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例5.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解:显然例6.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K

最大最小求驻点:设从而

K

取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K

最大最小四、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M

处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G

称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G

的渐伸线

.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例7.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3(仍为摆线)例8.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得渐屈线方程摆线摆线摆线摆线半径为a

的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点

M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停内容小结1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点曲线在I

上是凹的曲线在I

上是凸的2.弧长微分或3.曲率公式4.曲率圆曲率半径曲率中心

.1.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节思考与练习2.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:

有公切线;凹向一致;曲率相同.3.求双曲线的曲率半径

R,并分析何