二次函数难题1

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线2014-2015学年度?学校10月月考卷试卷副标题学校:_姓名：_班级：_考号：_评卷人得分一、选择题（题型注释）1如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OAADDC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度设E运动秒x时，EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）【答案】C【解析】解：D（5，4），AD=2OC=5，CD=4 OA=5运动x秒（x5）时，OE=OF=x，作EHOC于H，AG

2、OC于点G，EHAGEHOAGO即：EH=xSEOF=OFEH=×x×x=x2，故AB选项错误；当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，EOF的面积不变，点在DC上运动时，如图，EF=11x，OC=5SEOF=OCCE=×（11x）×5=x+是一次函数，故C正确，故选C第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）2一条抛物线具有下列特征：（1）经过点A(0,3)；（2）在x轴左侧的部分是上升的，在x轴右侧的部分是下降的，试写出一条满足这两条特征的抛物线的表达式： 【答案】y=-x2 +3

3、【解析】试题分析：由题意可知，该条抛物线开口向下，才符合在轴左侧的部分是上升的，在y轴右侧的部分是下降的，因为该条抛物线经过点A(0,3)，所以符合题意的抛物线有很多，就是其中一个考点：抛物线的性质点评：本题属于对抛物线的基本性质和抛物线的定理的知识的熟练把握3记抛物线的图象与正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1， P2，P2011，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，的面积分别为S1，S2，这样就记W=S12+S22+S32+·····+S20112

4、，W的值为xyOAP1P2Q2Q1【答案】505766.5.【解析】解：P1， P2，P2011将线段OA分成2012等份，OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P2010P2011=1，过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，-x2+2012=1，解得x2=2011，S12=同理可得=505766.5.4如图，在中，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）如果、分别从、同时出发，那么经过_秒，四 边形的面积最小【答案】3【解析】考点：二次函数的应用分析：根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关

5、系求最小值解答：解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，则有：S=SABC-SPBQ=×12×24-×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4（t-3）2+10840当t=3s时，S取得最小值故答案为：3评卷人得分三、计算题（题型注释）评卷人得分四、解答题（题型注释）5如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PMOB交第一象限内

6、的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，过点P作PFMC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当SACN=SPMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QRMN交ON于点R，连接MQ、BR，当MQRBRN=45°时，求点R的坐标【答案】（1）a=1，b=4；（2）d=3t+t=4t；（3）R（，）【解析】试题分析：（1）由已知可得出A，B点坐标，从而根据待定系数法得出a，b的值；（2）由已知可得出AD=BD，从而BAD=ABD=45°，进而可得出tanBOD=tanMPF，故=

7、3，MF=3PF=3t，即可得出d与t的函数关系；（3）由SACN=SPMN，则可得AC2=2t2，从而得出AC=2t，CN=2t，则M（42t，6t），求出t的值，进而得出PMQNBR，求出R点坐标试题解析：（1）y=x+4与x轴交于点A，A（4，0），点B的横坐标为1，且直线y=x+4经过点B，B（1，3），抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），解得：，a=1，b=4；（2）如图，作BDx轴于点D，延长MP交x轴于点E，B（1，3），A（4，0），OD=1，BD=3，OA=4，AD=3，AD=BD，BDA=90°，BAD=ABD=45°，MCx轴，ANC

8、=BAD=45°，PNF=ANC=45°，PFMC，FPN=PNF=45°，NF=PF=t，DFM=ECM=90°，PFEC，MPF=MEC，MEOB，MEC=BOD，MPF=BOD，tanBOD=tanMPF，=3，MF=3PF=3t，MN=MF+FN，d=3t+t=4t；（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，SPMN=MN×PF=×4t×t=2t2，CAN=ANC，CN=AC，SACN=AC2，SACN=SPMN，AC2=2t2，AC=2t，CN=2t，MC=MN+CN=6t，OC=OAAC=42t，M（42

9、t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=x2+4x，将M（42t，6t）代入y=x2+4x得：（42t）2+4（42t）=6t，解得：t1=0（舍），t2=，PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，AB=3，BN=2，作NHRQ于点H，QRMN，MNH=RHN=90°，RQN=QNM=45°，MNH=NCO，NHOC，HNR=NOC，tanHNR=tanNOC，设RH=n，则HN=3n，RN=n，QN=3n，PQ=QNPN=3n，ON=，OB=，OB=ON，OBN=BNO，PMOB，OBN=MPB，MPB=BNO，MQRBRN=45

10、76;，MQR=MQP+RQN=MQP+45°，BRN=MQP，PMQNBR，解得：n=，R的横坐标为：3，R的纵坐标为：1=，R（，）考点：1、待定系数法；2、二次函数；3、相似三角形的判定与性质；4、勾股定理6如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DEx轴于E，连接CD，以OE为直径作M，如图（2），试求当CD与M相切时D点的坐标；点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请

11、说明理由【答案】（1）；（2）（，）；存在，（4，3）或（）或（）.【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解.（2）连接MC、MD，证明COMMED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.分四种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解试题解析：解：（1）点A（2，0）在抛物线上，解得c=3.抛物线的解析式是：.（2）令D（x，y）,（x0，y0），则E（x，0），M（，0），由（1）知C（0，3），如答图1，连接MC、MDDE、CD与O相切，CMD=90°.COMMED. ，即.又，解得x=.又x0，x=，.

12、D点的坐标是：（，）.假设存在满足条件的点G（a，b）.若构成的四边形是ACGF，（答图2）则G与C关于直线x=2对称，G点的坐标是：（4，3）.若构成的四边形是ACFG，（答图3，4）则由平行四边形的性质有b=，又，解得a=，此时G点的坐标是：（）.若构成的四边形是AGCF，（答图5）则CGFA，G点的坐标是：（4，3）.显而易见，AFCG不能构成平行四边形.综上所述，在抛物线上存在点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为（4，3）或（）或（）.考点：1.单动点问题；2.二次函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直线与圆相切的性质；5.相似三角形的判定和性

13、质；6. 平行四边形的性质；7.分类思想的应用7如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，与y轴交于C(0，3)，顶点为D(1,4)，对称轴为DE. （1）抛物线的解析式是 ；（2）如图（2），点P是AD上的一个动点，是P关于DE的对称点，连结PE，过作FPE交x轴于F. 设，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2），当x=2时，y的最大值是4；（3）存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（-2，-5）.【解析】试题分析：（1）抛物线

14、的顶点为D(1,4)，可设抛物线解析式为.抛物线与y轴交于C(0，3)，解得.抛物线的解析式为，即.（2）令PP交DE于G，由DPPDAB列式表示出，从而由求得y关于x的函数关系式，化为顶点式即可求得y的最大值.（3）分QCB=90°和QBC=90°两种情况讨论即可.试题解析：解：（1）.（2）如答图1，令PP交DE于G，PPAF，PEFP, 四边形FEPP是平行四边形.PP= EF，DPPDAB.又A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=xAB=4，DE=4 ，PP=x, . .y关于x的函数关系式为.，当x=2时，y的最大值是4.（3）假设存在满足条件的点Q（

15、x，y）， 如答图2，过点O作OHBC于H，RtBCQ中BC是直角边，RtBCQ的另一直角边与OH平行.又OC=OB，COOB，OB=3，OC=3，RtBCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向下平移3个单位得到. 由已知得直线OH的解析式是y=x, RtBCQ的另一直角边所在的直线解析式是：y=x+3或 y=x3.由解得或（舍去）；由解得或（舍去）.存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（-2，-5）.考点：1.二次函数综合题；2.单动点和轴对称问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.平行四边形的判定和性质；7.相似三角形的判定和性质；8

16、.由实际问题列函数关系式；9.直角三角形的判定；10.分类思想的应用.8综合与探究：如图，抛物线y=x2-x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A，B，C的坐标（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说

17、明理由【答案】（1）点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）点C的坐标为（0，-4）（2）4.平行四边形，理由见解析；（3）Q1（-2，0）；Q2（6，-4）【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；（3）分DQBD，BQBD两种情况讨论可求点Q的坐标试题解析：（1）当y=0时，x2-x-4=0，解得x1=-2，x2=8，点B在点A的右侧，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）当x=

18、0时，y=-4，点C的坐标为（0，-4）（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=-，b=4直线BD的解析式为y=-x+4lx轴，点M的坐标为（m，-m+4），点Q的坐标为（m，m2-m-4）如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，（-m+4）-（m2-m-4）=4-（-4）化简得：m2-4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4当m=4时，四边形CQMD是平行四边形此时，四边形CQBM是平行四边形m=4，点P是OB的中点lx轴，ly轴，BPMBOD，BM=DM，四边形CQMD是平行四边形，DMCQ，DM=CQBMCQ，BM=

19、CQ，四边形CQBM是平行四边形（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）若BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如图2所示：以点Q为直角顶点此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点P在线段EB上运动，-8xQ8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在以点D为直角顶点连接AD，OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=2，BD=4，AD2+BD2=AB2，ABD为直角三角形，即点A为所求的点QQ1（-2，0）；以点B为直角顶点如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2Kx轴于点K，则Q2K=-y，OK=

20、x，BK=8-x易证Q2KBBOD，即，整理得：y=2x-16点Q在抛物线上，y=x2-x-4x2-x-4=2x-16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；当x=6时，y=-4，Q2（6，-4）考点：二次函数综合题9如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PDAC交AC于点D，将APD沿PD翻折得到APD，以AP和PB为邻边作APBE，AE交射线BC于点F，交射线PQ于点G设APBE与四边形PDCQ重叠部分

21、图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts（1）当t为何值时，点A与点C重合；（2）用含t的代数式表示QF的长；（3）求S与t的函数关系式；（4）请直接写出当射线PQ将APBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值【答案】（1）t=1（2）当0t时，QF=69t；当t2时，QF=9t6当0t时，S=12t2；当t1时，S=42t2+72t24：当1t2时，S=6t224t+24 t的值为秒或秒【解析】试题分析：（1）易证ADPACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA=2AD=8t，由点A与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在

22、CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题（4）可分SAPG：S四边形PBEG=1：3，如图7，SBPN：S四边形PNEA=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题试题解析：（1）如图1，由题可得：PA=PA=5t，CQ=3t，AD=ADACB=90°，AC=8，AB=10，BC=6ADP=ACB=90°，PDBCADPACB=AD=4t，PD=3tAA=2AD=8t当点A与点C重合时，AA=AC8t=8t=1（2）

23、当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，则有CQCFCB四边形APBE是平行四边形，AEBPCAFCAB=CF=66t3t66t60t此时QF=CFCQ=66t3t=69t当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，则有0CFCQCF=66t，CQ=3t，066t3tt1此时QF=CQCF=3t（66t）=9t6当点F在线段BC的延长线上时，如图3，则有AAAC，且APAB8t8，且5t101t2同理可得：CF=6t6此时QF=QC+CF=3t+6t6=9t6综上所述：当0t时，QF=69t；当t2时，QF=9t6（3）当0t时，过点 A作AMPG，垂足为M，如图4，则有AM=CQ=3t=

24、，=，=，PBQ=ABC，BPQBACBQP=BCAPQACAPAG四边形APGA是平行四边形PG=AA=8tS=SAPG=PGAM=×8t×3t=12t2当t1时，过点 A作AMPG，垂足为M，如图5，则有AM=QC=3t，PQ=DC=84t，PG=AA=8t，QG=PGPQ=12t8，QF=9t6S=SAPGSGQF=PGAMQGQF=×8t×3t×（12t8）×（9t6）=42t2+72t24当1t2时，如图6，PQAC，PA=PABPQ=PAA，QPA=PAA，PAA=PAABPQ=QPAPQB=PQS=90°，PB

25、Q=PSQPB=PSBQ=SQSQ=63tS=SPQS=PQQS=×（84t）×（63t）=6t224t+24综上所述：当0t时，S=12t2；当t1时，S=42t2+72t24：当1t2时，S=6t224t+24（4）若SAPG：S四边形PBEG=1：3，过点A作AMPG，垂足为M，过点A作ATPB，垂足为T，如图7，则有AM=PD=QC=3t，PG=AA=8tSAPG=×8t×3t=12t2SAPA=APAT=AAPD，AT=tSPBEA=PBAT=（105t）×t=24t（2t）SAPG：S四边形PBEG=1：3，SAPG=×S

26、PBEA12t2=×24t（2t）t0，t=若SBPN：S四边形PNEA=1：3，如图8，同理可得：BPQ=APQ，BQ=63t，PQ=84t，SPBEA=24t（2t）四边形PBEA是平行四边形，BEPABNP=NPABPN=BNPBP=BNBQP=BQN=90°，PQ=NQSBPN=PNBQ=PQBQ=（84t）×（63t）SBPN：S四边形PNEA=1：3，SBPN=×SPBEA（84t）×（63t）=×24t（2t）t2，t=综上所述：当射线PQ将APBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为秒或秒考点：相似形综合题；

27、解一元一次不等式组；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有10如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx（b2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PNx轴于点N，交抛物线于点B点B关于抛物线对称轴的对称点为C连结CB，CP（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CACP；（3）当b=6时，如图2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到CBP，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段BP（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围【答案】（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-EM3【解析】

28、试题分析：（1）利用抛物线y=-x2+4x，求出点A的坐标及BC的长，（2）过点C作CDx轴于点D，利用CBPCDA，求出b的值（3）利用抛物线y=-x2+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况当BC在CP上时，且M点与B点重合时线段EM最短，当BC在PC延长线上时，且M点与P点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围试题解析：（1）b=4，抛物线y=-x2+4x，在y=-x2+4中，令y=0，得-x2+4x=0，x1=0，x2=4A（4，0）令x=1，得y=3B（1，3）对称轴x=-=2C（3，3）BC=2（2）如图1，过点C作CDx轴于点D，BCP+PCD=90°，D

29、CA+PCD=90°，BCP=DCA，又CBP=CDA=90°CBPCDA在y=-x2+bx中，令x=1，则y=b-1B（1，b-1）又对称轴x=-，BC=2（-1）=b-2，C（b-1，b-1），CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，b=3（3）b=6，抛物线y=-x2+6x在y=-x2+6x中，令x=1，得y=5B（1，5）对称轴x=C（5，5）BC=4，P（1，），P（1，3），BP=5-3=2，PC=CP与抛物线对称轴的交点为E，EP=EC=PC=，如图2，当BC在CP上时，且M点与B点重合时线段EM最短，EM=EP-（PC-BC）=-（

30、2-4）=4-如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P点重合时线段EM最长，EM=EC+PC=+2=34-EM3考点：二次函数综合题11如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当PQB为等腰三角形时，求m的值【答案】（1）该抛物线的解析式为y=x（x5）=x2+5x；（2）M（2，6）；（3）当PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或【解析】试题分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点

31、已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：当0x4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示；当4x5时，点M在抛物线AB段上时，图略（3）PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：若点B为顶点，即BP=BQ，如答图21所示；若点P为顶点，即PQ=PB，如答图22所示；若点P为顶点，即PQ=QB，如答图23所示试题解析：（1）该抛物线经过点A（5，0），O

32、（0，0），该抛物线的解析式可设为y=a（x0）（x5）=ax（x5）点B（4，4）在该抛物线上，a×4×（45）=4a=1该抛物线的解析式为y=x（x5）=x2+5x；（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大当0x4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示B（4，4），易知直线OB的解析式为：y=x设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交OB于点E，则E（x，x），ME=（x2+5x）x=x2+4xSOBM=SMEO+SMEB=ME（xE0）+ME（xBxE）=MExB=ME×4=2ME，S

33、OBM=2x2+8x=2（x2）2+8当x=2时，SOBM最大值为8，即四边形的面积最大当4x5时，点M在抛物线AB段上时，可求得直线AB解析式为：y=4x+20设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交AB于点E，则E（x，4x+20），ME=（x2+5x）（4x+20）=x2+9x20SABM=SMEB+SMEA=ME（xExB）+ME（xAxE）=ME（xAxB）=ME×1=ME，SABM=x2+x10=（x）2+当x=时，SABM最大值为，即四边形的面积最大比较可知，当x=2时，四边形面积最大当x=2时，y=x2+5x=6，M（2，6）；（3）由题意可知，点P在线段OB上方

34、的抛物线上设P（m，m2+5m），则Q（m，m）当PQB为等腰三角形时，若点B为顶点，即BP=BQ，如答图21所示过点B作BEPQ于点E，则点E为线段PQ中点，E（m，）BEx轴，B（4，4），=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）m=2；若点P为顶点，即PQ=PB，如答图22所示易知BOA=45°，PQB=45°，则PQB为等腰直角三角形PBx轴，m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）m=1；若点P为顶点，即PQ=QB，如答图23所示P（m，m2+5m），Q（m，m），PQ=m2+4m又QB=（xBxQ）=（4m），m2+4m=（4m），解得：m

35、=或m=4（与点B重合，舍去），m=综上所述，当PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或考点：二次函数综合题12如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MNAC，交OC于点N，将OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O落在第一象限内，设OM=t，OMN与梯形AMNC重合部分面积为S（1）求抛物线的解析式；（2）当点O落在AC上时，请直接写出此时t的值；求S与t的函数关系式；（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值【答案】（

36、1）y=-x2+x+2；（2）2，S=t2；（3），【解析】试题分析：（1）应用待定系数法即可求得解析式（2）根据平行线的性质及轴对称的性质求得AOM=OAM，从而求得OM=AM=，进而求得t的值；根据平行线分线段成比例定理求得ON=，即可求得三角形的面积S=t2；（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO的解析式y=2x，设O（m，2m），根据ON=t先求得m与t的关系式，然后根据OC=OB即可求得试题解析：（1）抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），解得，抛物线的解析式：y=-x2+x+2；（2）如图1，MNAC，OMN=OAM，OMN=AOMOMN=OMN，AO

37、M=OAM，OM=AM，OM=OM，OM=AM=t，t=；由抛物线的解析式：y=-x2+x+2可知C（0，2）A（4，0）、C（0，2），OA=4，OC=2，MNAC，ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，ON=OM=t，S=（3）如图2，B（-1，0），C（0，2），直线BC的斜率为2，OOBC，直线OO的解析式为y=2x，设O（m，2m），ON=ON=t，ON2=m2+（2m-t）2=（）2，t=m，OC2=m2+（2-2m）2，OB=OC，m2+（2-2m）2=（-1）2，解得m1=1，m2=，O（1，2）或（，），C（0，2），当O（1，2）时，以O、B、C、O为顶点的四边形是平行四

38、边形，此时t=，当O（，）时，以O、B、C、O为顶点的四边形是梯形，此时t=考点：二次函数综合题13如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），写出C点的坐标：C（ ， ）（坐标用含有t的代数式表示）；若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值【答案

39、】（1）；（2，4）；（2）正确，理由见解析；（3）-4t+2，4+t；.【解析】试题分析：（1）把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程，根据根与系数的关系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式.（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点（3）根据三角形相似即可求得C的坐标：如答图，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CNMN于N，.易得APMPCN，.AM=2-1=1，PM=4，PN=t，CN=4t.MN=4+t.C（-4t+2，4+t）

40、，由（1）可知，旋转后的新抛物线是，新抛物线是过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值试题解析：解：（1）抛物线过点P，P点的纵坐标为4，即.PQ=4，即，即.，解得：n=4.抛物线的函数关系式为：.由解得x=2或x=6.P（2，4）（2）正确，理由如下：P（2，4），PQ=4，Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q（-2，4）.P与Q正好关于y轴对称.所得新抛物线的对称轴是y轴，抛物线，抛物线的顶点M（4，8）.顶点M到直线PQ的距离为4.所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4.所得新抛物线顶点应为坐标原点（3）-4t+2，4+t.由（1）可知

41、，旋转后的新抛物线是，新抛物线过P（2，4），4=4a，解得a=1.旋转后的新抛物线是.C（-4t+2，4+t）在抛物线上，解得：t=0（舍去）或t=.t=.考点：1.二次函数综合题；2.线动旋转问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.一元二次方程根与系数的关系；5.二次函数的性质；6. 旋转和轴对称的性质；7.方程思想的应用.14如图，二次函数y=ax2+bx（a0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为1，AC：BC=3：1（1）求点A的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D

42、和点E，若FCD与AED相似，求此二次函数的关系式【答案】（1）（4，0）；（2）y=x24x【解析】试题分析：（1）过点C作CMOA交y轴于M，则BCMBAO，根据相似三角形对应边成比例得出，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（4，0）.（2）先将A（4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（2，4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（2，2k），C（1，3k）由C（1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a4a，化简得到k=a再由FCD与直

43、角AED相似，则FCD是直角三角形，又FDC=ADE90°，CFD90°，得出FCD=90°，FCDAED再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2，得出FCD是等腰直角三角形，则AED也是等腰直角三角形，所以DAE=45°，由三角形内角和定理求出OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=1，进而得到此二次函数的关系式为y=x24x试题解析：解：（1）如答图，过点C作CMOA交y轴于MAC：BC=3：1，CMOA，BCMBAO.C点的横坐标为1，CM=1.OA=4CM=4.点A的坐标为（4，0）.（2）二次函数y

44、=ax2+bx（a0）的图象过A点（4，0），16a4b=0.b=4a.y=ax2+4ax，对称轴为直线x=2，F点坐标为（2，4a）设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（4，0）代入，得4k+n=0，n=4k.直线AB的解析式为y=kx+4k.B点坐标为（0，4k），D点坐标为（2，2k），C点坐标为（1，3k）C（1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，3k=a4a，k=aAED中，AED=90°，若FCD与AED相似，则FCD是直角三角形.FDC=ADE90°，CFD90°，FCD=90°.FCDAEDF（2，4a），C（1，3k），D（2，2k

45、），k=a，FC2=（1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（2+1）2+（2k3k）2=1+a2.FC=CD.FCD是等腰直角三角形.AED是等腰直角三角形.DAE=45°.OBA=45°.OB=OA=4.4k=4.k=1.a=1.此二次函数的关系式为y=x24x考点：1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.相似三角形的判定和性质；6.等腰直角三角形的判定和性质15如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，3)，

46、点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CDA

47、B，求点D的坐标，由ADMAEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得ADGFAE=345，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N. 由解得x1=m，x2=3mA

48、(m，0)，B(3m，0).CDAB，点D的坐标为（2m，3）AB平分DAEDAM=EANDMA=ENA=900，ADMAEN, .设点E的坐标为（x, ）,x=4m.为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中, tanCGO, tanFGH, =OG=3m, 由勾股定理得，GF=，AD=.由（2）得，ADGFAE=345以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；

49、3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.16在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E.（1）写出点A,点B的坐标；（2）若，以DE为直径作Q，当Q与轴相切时，求的值； （3）直线上是否存在一点F，使得ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（4，0）和（1，0）；（2）；（3）存在，m=或或3或.【解析】试题分析：（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求

50、解即可（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m（3）使得ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形求解时利用全等三角形知识易得m的值试题解析：解：（1）当y=0时，有，解之得：，A、B两点的坐标分别为（4，0）和（1，0）.（2）Q与轴相切，且与交于D、E两点，圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且Q的半径为H点的纵坐标（）.抛物线的对称轴为，D、E两点的坐标分别为：且均在二次函数的图像上.，解得或（不合题意，舍去）.（3）存在.当ACF=90°，AC=FC时，如答图1，过点F作FGy轴于G，AOC=CGF=90°.ACO+FCG=90°，GFC+FCG=90°，ACO=CFG.ACOCFG，CG=AO=4.CO=2，或=OG=2+4=