D5-1 数学模型(泛定方程)的建立

第二篇数学物理方程IsaacNewton（英，1643-1727)任何事物都是越简单越好，但是太简单也不好AlbertEinstein（美，1879-1955)想要探索自然界的奥秘就得解微分方程2024/5/131第五章数学物理方程和定解条件的导出在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。———拉普拉斯2024/5/132一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示

物理现象物理量u

在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言描述泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。2024/5/133三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程2024/5/13451边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题

在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。二、定解条件2024/5/1356具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须的已知条件．3、求解方法——

行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法2024/5/1365.1数学模型（泛定方程）的建立建模步骤：（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。2024/5/137

(一）均匀弦横振动方程

现象描述（如图）

：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动

目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程

设定:

(1)弦不振动时静止于x轴;

(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况弦的横振动2024/5/138

选取不包括端点的一微元[x,x+dx]弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：假设与近似：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,

张力与水平方向的夹角

1和

2

很小，仅考虑

1和

2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度

，u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxFB2024/5/139B段弦的原长近似为dx.振动拉伸后：u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBFB段的质量：弦长dx

，质量线密度

，则B段质量

m=

dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：2024/5/1310①沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBF（1）（2）2024/5/1311波动方程：波速a受迫振动方程单位质量弦所受外力，线力密度令………一维波动方程2024/5/1312………一维波动方程------非齐次方程------齐次方程忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF沿x-方向，不出现平移沿垂直于x-轴方向（1）（2）因为：所以有：讨论：2024/5/1313电磁波传播方程

(1)通过任一闭合曲面的电场强度等于这一闭合曲面所包围的电荷量的代数和的（M1）（2）通过任何一闭合曲面S的磁通量为零.(M2)(3)电场强度沿任一闭合曲线l的积分等于以该曲线为边界的任意曲面S的

磁通量对时间变化率的负值（M3）2024/5/1314（4）磁感应强度沿任一闭合曲线l的积分等于穿过以此曲线为边界的曲面S的全电流,(M4)(M1)-(M4)真空中麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式.2024/5/1315电磁波传播方程

2024/5/1316（二）输动问题--扩散问题扩散现象：系统的浓度

不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程

物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。

2024/5/1317浓度不均匀:用浓度梯度

表示；扩散流强弱（强度）：用单位时间通过单位面积的物质的量表示；扩散（裴克）实验定律：扩散系数设定：处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。

扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定律确定体元Ｖ内粒子数：2024/5/1318考察沿x-方向扩散流情况：单位时间沿x-方向净流入量同理沿y和沿z方向净流入量由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向V的净流入量下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。单位时间内V内粒子数的增加量2024/5/1319如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有代入扩散定律三维扩散方程

如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为讨论：2024/5/1320密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程稳定状态：密度u不随时间变化，则泊松方程无扩散源：

F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题2024/5/1321静电场电势问题。介质方程:其中:高斯定理:环路定理:

物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度ρ(x,y,z)的关系。由电场的高斯定理

物理问题：在介电常数为ε的介质空间，存在电荷分布ρ(x,y,z)⇒