专题07 等腰三角形存在性问题（解析版）

专题07等腰三角形存在性问题一、知识导航等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．二、典例精析如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）；（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，，故、．③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．设，，∴，解得：m=1．故．综上所述，P点坐标为、、、、．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．三、中考真题演练1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，∴解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令，∴，由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，∴；当以点为顶点时，，是等腰中线，∴，∴；当以点为顶点时，∴点D的纵坐标为或，∴综上所述，点D的坐标为或或或．2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴；（3）解：设，，∵，∴，由得，∴，∴．3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：将、代入抛物线中，可得：，解得：，即：，；（2）②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由题意可知抛物线的对称轴为直线，∵轴，∴，，则，当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合题意，舍去）此时，即点；当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合题意，舍去）此时：，即点；综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．4．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；【详解】（1）解：由题意可得：，解得：，所以抛物线的函数表达式为；当时，，则顶点M的坐标为．（2）解：如图：过点M作交于D设点，则,∴，∵是等边三角形,∴,∴,即，解得：或（舍去）∴，，∴该三角形的边长．5．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；【详解】（1）解：抛物线过点，，抛物线的表达式为，将点代入上式，得，．抛物线的表达式为，即．设直线的表达式为，将点，代入上式，得，解得．直线的表达式为．（2）解：点在直线上，且，点的坐标为．，，．当为等腰三角形时，①若，则，即，解得．②若，则，即，解得或（舍去）．③若，则，即，解得（舍去）或．综上，或或．6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：设，根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：当时，点B和点P关于y轴对称，

∵，∴；当时，则，∴，整理，得，解得，，当时，，则，当时，，则，综上，满足题意的点B的坐标为或或；7．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．【答案】(1)(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，∴抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于点，与直线交于点∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；②设直线与x轴交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如图3-1所示，当时，过点C作于G，则∴点G为的中点，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，∴，即，∴点E的纵坐标为5，∴，解得或（舍去），∴如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴综上所述，点E的坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．8．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．

(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】(1)(2)取得最大值为，(3)点的坐标为或或．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．【详解】（1）解：将点，．代入得，解得：，∴抛物线解析式为：，（2）∵与轴交于点，，当时，解得：，∴,∵．设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，

设，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值为，，∴；（3）∵抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，∴,∴∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则点的横坐标为，设，∴，，当时，，解得：或，当时，，解得：综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【答案】(1)(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（3）解：如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），∴，∴，，∴点M的坐标为（1-m，m-2），∵点M在抛物线上，∴，

∴，∴，解得或（舍去），∴点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），同理可证△PEB≌△BFM（AAS），∴，∴点M的坐标为（3-m，-2），∵点M在抛物线上，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴点M的坐标为（，-2）；如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，同理可以求得点M的坐标为（，2）；综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．10．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，抛物线顶点(3)【分析】