专题09 全等三角形综合检测过关卷（解析版）

专题09全等三角形综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质得到，因此，由垂直的定义得到，求出即可得到．【详解】解：，，，，，，，．故选：C．2．已知：如图，，若，，则（

）．A．3 B．4 C．5 D．8【答案】A【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出的对应边是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：∵，，∴∴，又，∴．故选：A．3．如图，，线段的延长线过点，与线段交于点，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，根得，，可得，根据得，则，根据三角形内角和定理即可得，掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等是解得的关键．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．4．如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出，根据邻补角即可求解．【详解】，，，，，．故选：D．5．如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（

）A．0.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．倍长，构造，推出，再利用三角形三边关系求解即可．【详解】解：如图，延长至E，使，连接，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，∴，观察四个选项，B选项符合题意，故选：B．6．如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解．【详解】解：延长至，使，连接．在与中，，，．在中，，即，．故选：A．7．已知在中，，中线，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，作倍长中线法，证明，得，，结合三角形三边关系，即可作答．【详解】解：依题意，延长至点E，使得，连接，如图所示：因为中线所以因为，所以则，在中，即那么故选：D8．如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系；先延长到，使，连接，根据，，，可证，于是，再利用三角形三边之间的关系可得，即．【详解】解：如图所示，延长到，连接，

在与中，，∴，∴，在中，有，即，即，∴．故选：D．9．如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】作，证、即可求解．【详解】解：作，如图：

∵∵，①无法推出，故①错误；②正确；③∵且∴故③正确；④∵为中线∴故④正确；⑤故⑤正确；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键．10．老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，则的长不可能是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案．【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，∵D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∴，∴B，C，D不符合题意，A符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共16小题，每题2分，共32分）11．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝.【答案】70°【详解】∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∴∠BAE=∠BAC=145°，∠DAC=∠BAC=145°，∠E=∠ACD=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC+∠BAE+∠DAC-360°=145°+145°+145°-360°=75°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=145°-75°=70°，∵∠E+∠α+∠EMD=180°，∠EAC+∠AMC+∠ACD=180°，∠EMD=∠AMC，∴∠α=∠EAC=70°，故答案为70°.【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的内角和是180度等，掌握翻折前后的两个三角形是全等的，对应角是相等的是解题的关键．12．如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是，对应边是，，.【答案】∠ADB和∠AECAB和ACAD和AEBD和CE【分析】根据全等三角形的概念，对应角，对应边，直接求解即可．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边.故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是利用全等三角形的性质写出对应边和对应角，特别注意要应用好“对应关系”.13．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是，它们之间的关系是，其中BD=．【答案】△ACE全等CE【详解】解：△ABD绕A逆时针旋转42°后得到的图形是△ACE，它们是全等三角形，其中BD=CE，故答案为∶△ACE，全等，CE．14．如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．【答案】0或4或8或12【分析】本题考查三角形全等的判定方法．此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在射线上，再分别分两种情况或进行计算即可．【详解】解：①当P在线段上，时，与全等，∵，∴，∴，∴点P的运动时间为（秒）；②当P在线段上，时，与全等，这时，，因此时间为秒；③当P在射线上，时，与全等，∵，∴，∴，∴点P的运动时间为（秒）；④当P在射线上，时，与全等，∵，∴，∴，点P的运动时间为（秒），故答案为：0或4或8或12．15．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是．【答案】【分析】延长至，使，连接，证明，进而根据三角形三边关系即可求解．【详解】解：如图，延长至，使，连接，为边上的中线，，在和中，，，，，，，的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长厘米．【答案】4【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长．【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上，∴∠ADE＝∠GDF，∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠FDB＝90°，∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°，∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米），故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF组成一个直角三角形．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为．【答案】【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案．【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H，∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°，∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°，∴∠HB'A＝∠CAB，在△ACB和△B'HA中，，∴△ACB≌△B'HA（AAS），∴AC＝B'H，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴AC＝B'H＝4，∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键．18．如图，四边形中，，则四边形的面积为．【答案】【分析】如图所示，将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，先证明∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°，然后证明A、B、E三点共线，即可得到，由此进行求解即可；【详解】解：∵CD=CB，∠DAB=∠BCD=90°，∴将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，由旋转的性质可得∴,，，，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠D+∠ABC=180°，∠DCA+∠ACB=90°∴∠CBE+∠ABC=180°，∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°∴A、B、E三点共线，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，四边形内角和，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于．【答案】1【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，∴D、E、F三点共线，又∵AD=AD，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴，∵AB=CD=AE=BC+DE，，∴DF=CD=1，∵，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝．

【答案】3【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．【详解】解：如图，连接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．如图，将绕顺时针旋转60°得到，交于点，则度．【答案】120【分析】利用旋转的性质得到∠DAP=60，∠D=∠B，再利用∠DPA=∠FPB，三角形内角和，求出∠PFB=∠DAP=60，再利用平角的性质即可求得度数．【详解】解:设DF与AB交于点P．∵将绕顺时针旋转60得到．∴∠DAP=60，∠D=∠B．∵∠DPA=∠FPB（对顶角相等），∠DAP=180-∠D-∠DPA，∠PFB=180-∠B-∠FPB．∴∠PFB=∠DAP=60．∴∠EFC=180-∠PFB=180-60=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了旋转的性质、对顶角相等以及三角形内角和性质,掌握旋转包含的条件是解答此题的关键．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABC的三个顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离是1，l2，l3之间的距离是2，则BC的长度为．【答案】2．【分析】过点B作BE⊥l1于点E，过点C作CF⊥l1于点F，由余角的性质可得∠CAF＝∠BAE，由“AAS”可证△ABE≌△CAF，可得AE＝CF＝1，由勾股定理可求AB的长，BC的长．【详解】解：如图，过点B作BE⊥l1于点E，过点C作CF⊥l1于点F，∵l1，l2之间的距离是1，l2，l3之间的距离是2，∴BE＝3，CF＝1，∵∠BAC＝90°，BE⊥AF∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△CAF（AAS）∴AE＝CF＝1，∴在Rt△ABE中，AB＝＝∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴BC＝AB＝2故答案为2【点睛】此题重点考查学生对三角形全等和勾股定理的应用，掌握两三角形全等的证明方法是解题的关键.23．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°．设BE＝a，DC＝b，那么AB＝（用含a、b的式子表示AB）．【答案】【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．证明△FAE≌△DAE，得出EF＝ED，∠ABF＝∠C＝45°，由∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°，得出，根据即可解决问题.【详解】如图，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．证明：∵△DAC≌△FAB，∴AD＝AF，∠DAC＝∠FAB，∴∠FAD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAC+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝∠FAE＝45°，在△FAE和△DAE中，，∴△FAE≌△DAE，∴EF＝ED，∠ABF＝∠C＝45°，∵∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考点涉及全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题关键.24．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为．【答案】1【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解．【详解】解：延长交于，∵平分，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，，∴阴影部分的面积；故答案为：1．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．25．如图，是的角平分线，延长至点，使，若，，则．【答案】102°【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案为：102°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．26．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是．【答案】20°【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．【详解】解：如图，延长至点E使，连接．∴，∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，则．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．三、解答题（本题共3小题，共38分）27（12分）．如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接．(1)请写出与的数量关系，并说明理由．(2)延长交于点F，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键．（1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论；（2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）解：，理由如下：如图，延长至E，使，连接∵点D是的中点，∴，∵∴∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴．（2）解：延长交于点F，∵，∴，∵，∴，∴，∴．28（12分）．如图，在中．是边上的中线，交于点．(1)如下图，延长到点，使，连接．求证：．