专题10 平行四边形的存在性问题（解析版）

专题10平行四边形的存在性问题一、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：，可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：，可以理解为AC的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，→．当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．二、典例精析平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．三定一动已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC为对角线时，，可得；（2）AC为对角线时，，解得；（3）AB为对角线时，，解得．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）两定两动已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．【分析】设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．三、中考真题演练1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴①，将点代入得，∴②，联立①②得，，∴解析式为；（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，则，∴解得：或（舍去），（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，∵，∴，由对称性可知，，∴，∴解得：∴点的坐标为或如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，∴，∴，解得：或，∴点的坐标为或综上所述，点的坐标为或或或．2．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．(1)若，求n的值；(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．①m为何值时，点E到达最高处；②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)的值为1；(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．【详解】（1）解：把代入得；故的值为1；（2）解：①在中，令，则，解得或，，，点在函数的图象上，，令，得，即当，且，则，解得：（正值已舍去），即时，点到达最高处；②假设存在，理由：对于，当时，，即点，由①得，，，，对称轴为直线，由点、的坐标知，，作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，则，则直线的表达式为：．当时，，则点的坐标为．由垂径定理知，点在的中垂线上，则．四边形为平行四边形，则，解得：，即，且，则，∴顶点E的坐标为，或．3．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，∴点，点，设抛物线的解析式为，把点，点代入可得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：由题意，，∴，当四边形是平行四边形时，，∴，∴，，设直线的解析式为，把代入可得，解得，∴直线的解析式为，又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，∴∴，解得（不合题意，舍去），；4．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；【详解】（1）将，代入，得，解得∴抛物线解析式为：（2）二次函数，当时，∴点设点，点，当为边，为对角线时，∵四边形为平行四边形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或点Q坐标；当为边，为对角线时，同理得，解得，或，∴∴点Q坐标或综上，点Q坐标，或或；5．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，∴，解得：，∴；（3）解：存在；∵，∴对称轴为直线，设，，当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：①为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；②当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；③当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，∴，∴；（2）四边形是平行四边形．理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．∵点在上，∴，，连接，∵，∴，∵，∴，∴，当时，，∴，∵，∴，∴，∵轴，轴，∴，∴四边形是平行四边形；7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时．【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为对称轴为与x轴另一交点为

∴设抛物线为∴抛物线的表达式为（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为由（2）知设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．

①当以为对角线时，平行四边形对角线互相平分，即在抛物线上的坐标为

②当以为对角线时同理可得，即则的坐标为

③当以为对角线时，即则的坐标为综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，四边形是平行四边形，，，解得：，，；②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，四边形是平行四边形，，在和中，，