专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲（讲义）（解析版）

专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】

考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【题型1：正多边形有关计算】【典例1】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（

）A．8 B． C． D．4【答案】B【分析】本题考查了正多边形的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；设正六边形的中心为O，连接，过A作于点G；由已知得，则，且，得是等边三角形，则得，，由勾股定理即可求得，即与之间的距离．【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G，∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，∴，∵多边形为正六边形，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，由勾股定理得，∵，∴，∴，∵，即与之间的距离为．故选：B．1．如图，正五边形内接于，是上一点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，，计算即可．【详解】连接∵正五边形内接于，是上一点，∴，∴，故选C．2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正八边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点M．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时、点H坐标为，则与0的关系是（

）

A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】先计算正八边形的中心角为，确定循环节为8，根据规律确定H的最终位置，连接，则，继而判定即判定即可．【详解】根据题意，得正八边形的中心角为，

第1次旋转点H与点G重合；第2次旋转点H与点F重合；第3次旋转点H与点E重合；第4次旋转点H与点D重合；第5次旋转点H与点C重合；第6次旋转点H与点B重合；第7次旋转点H与点A重合；第8次旋转点H与点H重合；故循环节为8，故第2023次旋转时，，∴H的最终位置与点A重合，位于第二象限，连接，根据题意，得，故即．故，故选C．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，数字的规律探解，熟练掌握数字规律探解是解题的关键．3．周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正六边形的边长为a，根据周长相等，计算正方形的边长，后计算面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a，如图1所示：四边形是正方形，∴，∴．如图2，过O作，G为垂足．∵六边形是正六边形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴∴．故选D．【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行求解即可．【题型2：正多边形与圆有关面积的计算】【典例2】如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式．先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为，∴每一个外角的度数为，∴正五边形的每个内角为，∵正五边形的边长为2，∴，故选：D．1．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积—________（结果保留）．【答案】【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：由题意得，，，，故答案为：．2．如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作交于，连接，，交于点，与相交于点，设，则，同时可说明为的中位线，得，，分别求出两个三角形的面积，可得答案．【详解】解：在正六边形中，设，作交于，连接，，交于点，与相交于点，

，，：：：，，，为的中位线，，，，，：的值为：，故选：D．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，表示出两个三角形的面积是解题的关键．3．如图，正方形的边长为，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，连接点O和的中点E，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】【分析】过点O作交于点F，由题意，结合图形特征，图中阴影部分的面积为，即可列式作答．【详解】解：过点O作交于点F，如图所示：

∵E是的中点，且四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是正方形，那么图中阴影部分的面积为：，故答案为：【点睛】本题考查了圆面积以及正方形面积内容，观察出阴影面积是是解题的关键．

【题型3：正多边形综合运用的计算】【典例3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为_______（结果保留根号）【答案】/【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．1．楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形，若已知正六边形内接于，的半径是，则正六边形的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形与圆，过点作于点，根据正六边形的性质求出，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可得到答案，掌握正六边形的中心角的求法、等边三角形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于点，∵六边形为正六边形，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴正六边形的面积为：，故选：．2．如图，等腰内接于，．(1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H．①弧的度数为：______；与的数量关系是：______．②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）；(2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．【答案】(1)①；②见解析(2)见解析【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识．（1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形；（2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求．【详解】（1）①连接

∵∵过圆心∴∵是等边三角形，∴∴∴．故答案为：；②如图，正六边形即为所作；

（2）如图，正五边形即为所求作．

1．如图，已知正五边形内接于，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可．【详解】解：∵正五边形内接于，∴正五边形的中心角．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键．2．如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（

）A．七 B．八 C．九 D．十【答案】C【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．【详解】解：正多边形的外接圆为，点为正边形的中心．，，，故选：C．3．半径为1的圆内接正六角形的边心距为________．【答案】/【分析】连接、，作，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，利用垂径定理及勾股定理即可求出边心距．【详解】解：如图，连接、，作，∵六边形是圆内接正六边形，∴又∵∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，垂径定理，勾股定理．解题中熟记正六边形的性质得到是解题的关键，由此即可证得是等边三角形，利用勾股定理解决问题．4．如图，正六边形，连接，则的度数为_________．

【答案】/90度【分析】本题考查正多边形求角度，涉及正六边形性质、三角形内角和定理、等腰三角形判定与性质等知识，熟练掌握正多边形内角与外角性质是解决问题的关键．【详解】解：在正六边形，各条边均相等、各个内角均相等，，，，，故答案为：．5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为______（结果保留根号）【答案】/【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．6．如图，正六边形的边长为1，以对角线为直径作圆，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．过点B作于点G，根据等腰三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，得出即可．【详解】解：过点B作于点G，如图所示：∵六边形为正六边形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．1．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（

）

【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．【详解】解：如图，正六边形的外接圆为，连，，，则点在上，

正六边形，，，，，在中，，，，即，故选：B．2．如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆内接多边形以及弧长公式，连接，，求出圆心角的度数，再根据弧长公式，即可解题．【详解】解：连接，，如图所示：多边形为正六边形，,,故答案为：A．3．如图，是正五边形外接圆的一条直径，则的度数是（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【答案】A【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可求出答案．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，能正确做出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图所示，连接，，∵是直径，∴，∵正五边形，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴．故选A．4．如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为若的半径为，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键；连接，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论．【详解】解：连接，过作于，平分，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，故选：A．5．如图，半径为1的是正方形，正六边形的外接圆，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，连接，根据题意得出，然后根据弧长公式，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，依题意，，，∴∴的长为，故选：B．6．如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据圆内接四边形的性质，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵五边形为的内接正五边形，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴．故选：B7．如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接是正方形和正五边形的外接圆，正方形内接于，，又正五边形内接于，，，故选：B．8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．(1)求正六边形ABCDEF的边长；(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算；（1）根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的性质进行计算即可；（2）由扇形面积、三角形面积公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．【详解】（1）解：如图，连接，则，正六边形内接于，是正三角形，，，，，即正六边形的边长为；（2）在中，，，，．9．如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；(2)若的半径为6，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．【答案】(1)直线与的位置关系是相切，见解析(2)【分析】（1）连接，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定推出即可；（2）求出，，求出，根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，分别求出后，相减即可．【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由：连接，

，，∴，，，为半径，直线是的切线，即直线与的位置关系是相切；（2）解：∵，，，是切线，，，，由勾股定理得：，阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，扇形的面积，三角形的面积，三角形的中位线等知识点的综合应用．10．四边形内接于，，是的直径，过点A作．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，当时，连接并延长，分别交于点E，F，交于点G．求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，求扇形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）由圆周角定理证明，再证明，推出是的垂直平分线，证明，即可证明是的切线；（2）证明是等边三角形，利用垂径定理求得，，利用直角三角形的性质求得，在中，求得，再利用即可求解．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴是的垂直平分线，∵，∴，∴是的切线；（2）解：∵，，∴是等边三角形，∵经过圆心O，∴，∴，，，∴，由勾股定理得，在中，，∴，，∴．1．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

∵矩形内接于，∴∴阴影部分的面积是，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（