同济大学高等数学《导数及其应用》教案

第9次课2学时

第二章导数与微分

上次课复习：

本次课题（回力教材章节题目）：第二章导数与微分

第一节导数的概念

教学要求：理解导数的定义，理解导数的几何意义，掌握函数在一点可导与连续的区别，会

利用导数的定义求一些简单函数的导数

重点：导数的定义，可导与连续的联系和区别

难点：导数的定义及不同形式的掌握

教学手段及教具：板演式，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

引例15分钟

导数的定义25分钟

倒数的几何意义10分钟

连续与可导的关系15分钟

求导举例35分钟

习题2—1345(57)91112131518

课后作业

参考资料高等数学同步精讲一书

导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对

于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上

反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的

介绍它们的用途。

§2、1导数的概念

一、引例

1、切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线

相切。准确地说，曲线在其上某点尸的切线是割线PQ当。沿该曲线无限地接近于尸点的极限位置。

设曲线方程为y=/(%),设P点的坐标为POO，%)，动点。的坐标为Q(x,y),要求出曲线

在尸点的切线，只须求出尸点切线的斜率左。由上知，左恰好为割线PQ的斜率的极限。我们不难求

得尸。的斜率为：/⑴一小。)；因此，当PFQ时，其极限存在的话，其值就是左，即

x-x0

XTX。X-xo

若设a为切线的倾角，则有左=tanc。

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为s=s«)(/表示时刻)，又设当t为％时刻时，

位置在s=s(fo)处，问：质点在f=4时刻的瞬时速度是多少？

为此，可取。近邻的时刻t,t>t0,也可取在由"到/这一段时间内，质点的平均速度

为,显然当/与越近,用代替'的瞬时速度的效果越佳,特别地，当

tT。t—t。

ff玲时，S⑺T&)T某常值V。，那么Vfl必为。点的瞬时速度，此时，

tTo

二、导数的定义

综合上两个问题，它们均归纳为这一极限lim—/(x。)(其中X-与为自变量X在X。的

XTXoX-xo

增量，/(X)-/(/)为相应的因变量的增量)，若该极限存在，它就是所要讲的导数。

定义：设函数y=/(x)在/点的某邻域内有定义，且当自变量在/点有一增量AX(%+―仍

在该邻域中)时，函数相应地有增量Ay,若增量比极限：lim包即lim〃“)一八"°)存在,就称

“一。Ax%-%。x-x0

函数y=/(x)在x。处可导，并称这个极限值为y=/(x)在x=x0点的导数，记为广(为)，

如。或黑『。

即/'(/)=lim/(x)―/(x。)等等,这时，也称y=/(x)在x=X0点可导或有导数，导数存在。

%-%oX-XQ

注1：导数的常见形式还有：/(Xo)=lim/(/+―/Go)；

-Ax

［(X。)；

7/5)h

/(Xo)=lim一丸)；(h即自变量的增量Ax)

°Dh

2：”反映的是曲线在［/，x］上的平均变化率，而/■'(%)=电|\：是在点与的变化率，它反映了

Axdx''0

函数y=/(x)随x->/而变化的快慢程度。

3：这里，与与|>而中的牛与，是一个整体记号，而不能视为分子办或疗与分母dx,待

到后面再讨论。

4：若极限lim包即lim"x)-"x。)不存在,就称y=/(x)在x=x0点不可导。特别地，若

^^-0AxX7X。x-x0

lim—=00,也可称y=/(x)在x=%的导数为oo,因为此时y=/(x)在/点的切线存在，它

A10A%

是垂直于X轴的直线X=X。o

若y=/(x)在开区间/内的每一点处均可导，就称y=/(x)在/内可导，且对X/xw/,均有

一导数值/''(X),这时就构造了一新的函数，称之为y=/(x)在/内的导函数，记为y=/'(x),或

y,电，df(X)等。

'dxdx

,f(x+Ax)-y(%),f(x+/i)-y(x)

事实上，y'=rhm-------------匕—或y'=hm-----------幺雪

Ax->0AxhfOh

注5：上两式中，X为/内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而Ax与〃是变量。但在导

函数中，%是变量。

6：y=/(x)在x=x0的导数广(工0)就是导函数y=/'。)在x=Xo点的值，不要认为是

7：为方便起见，导函数就称为导数，而/'(4)是在/点的导数。

【例1】设/'(0)=0,证明欲=那么A=/'(0)。

0%

证明：因为――~)―――—~=――~lim~)―――———A

x-0%%—0x-0

所以A=/(0)。

若/(X)在X。点可导，问：于(x0+h)—于(x°-h)

【例2】

h

f(x0+h)-f(xQ-h)/(x0+/i)-/(x0)/(x0)-/(x0-h)

斛：--------------------=-------------------1---------------------------------

hhh

―广(%)+/(%)=2/(X。)。

反过来，亦证明：/(/+")一一上一"；小)。

2h

三、求导数举例

【例1】求函数y(x)=c(。为常数)的导数。

解：7•'(x)=lim/(X+乙—八必=二=0即(C)，=0

小。hh

注：这里是指/(九)=。在任一点的导数均为0,即导函数为0。

［例2］求f(x)=xnCn为正整数)在x=〃点的导数。

解：/'(a)=lim-...-=lim(xn-1+axn~2+....+an~2x+an~x)-nan~x即/'(〃)=nan~l,

x—>aJQ—ax—>a

亦即(龙")'|『="尸，若将。视为任一点，并用工代换，即得尸(X)=(X")'=WC〃T

注：更一般地，/(x)=x"(〃为常数)的导数为尸(x)=/"T,由此可见，

(V^)'=彳―,(一)'=(XH0)。

27xxx

【例3】求/(%)=sinx在％=a点的导数。

切a，、rsin%-sin。nnz.

解：f(a)=hm----------=cosa,即(sinx)x=a=cosa

i%一Q

同理：若视a为任意值，并用x代换，使得/'(x)=cosx,即(sin%)'=cos%。

r

注：同理可证：(cosx)=-sinxo

【例4】求/(%)=优(〃>0,〃w1)的导数。

解：尸（x）=lim/（X+/?）-/（也=11mg"'_优=4.lim

力90h0—°h2°h

xx

所以（ay=ainao

注：特别地，(/)'=©"

【例5】求/(x)=bg°x(a>0,awl)的导数。

解：/•,/)=lim2+0T(x)=描bga(x+。T%x==叫"。+?

/ifohA—>ohA—>oh

r11k：11

=hm--log(l+-)/,=-loge=——。

「。冗flxxflxlna

注1：等最后讲到反函数求导时，可将log/作为优的反函数来求导；

2：一般地说，求导有四步：

一、给出Ax；

-算出Ay；

三、求增量比空；

Ax

四、求极限。

3、(In%)'——o

x

【例6】讨论/(X)=W在X=0处的导数。

解：考虑lim，(0+7)一^21=Jim—=limsgn/z,由§1.4例4知limsgn/z不存在，故国在

oh力.。h入.o11

x=0点不可导。

然而，limsgn/z=一1及limsgn/z=1,这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若

0-0/z->0+0

lim/(—(X。),即11m—)[11m/(—。)即

/if0+0h%f%o+OX—XQ九一0-0h

lim/(x—(x。)]存在，就称其值为/(x)在x=x0点的右(左)导数，并记为

X-Xo

/+(%0)，%)),即以小二艘J-2一"/)=叫

/z-0+0h%->%o+OX—XQ

[f.(%)L吗1c""———=lim—]o

无fo—oh%f%o—ox-x0

定理1：/(%)在%=/点可导0/(%)在％=/点的左导数和右导数均存在且相等，即

/.(Xo)=/+(x0)o

注1：［例6］/(x)的左导数为-1,右导数为1。因为一1W1,所以在x=0点不可导；

2：［例6］也说明左可导又右可导，也不能保证可导；

3：左、右导数统称为单侧导数；

4：若了(%)在(。力)内可导，且在x=a点右可导，在x=6点左可导，即7+(a),£(A)存在，就

称/(x)在［a,切上可导。

四、导数的几何意义

由前面的讨论知：：函数y=/(x)在x=/的导数/'(与)就是该曲线在x=/点处

的切线斜率左，即左=/'(x()),或/'(x())=tana,a为切线的倾角。从而，得切线方程为

JT7T

y-X)=/(％0)(》一叫))。若/(%)=co,na=e或一Q=＞切线方程为：x=x()。

过切点「(叫)，儿)，且与尸点切线垂直的直线称为y=/(x)在此点的法线。如果

r(/)#0,法线的斜率为———，此时，法线的方程为：

/(%)

1,、

y-y=--^—(x-x).

0/(%)0

如果/'Oo)=0,法线方程为X=Xo。

【例7】求曲线y=/在点尸(飞,如)处的切线与法线方程。

解：由于(尤3)［『=3司-=302,所以＞=/在Pao，%)处的切线方程为：

当X。N0时，法线方程为：y—X)=-----(%-/)

..3/2

当％)=0时，法线方程为：x=0o

【例8】求等边双曲线y=!在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

K=?匕由于旷=〔［=一《，于是

吊=—z-=-4从而所求的切线方程为

九」

y-2=-4（x一〈）即4%+y一4二0

所求的法线斜率为k=--=-于是所求的法线方程为

2k[4

y—2=—fx——j,即2%—8,+]5=0

五函数的可导性与连续性的关系

定理2：如果函数y=/(x)在x=x0点可导，那么在该点必连续。

Ay

证明：由条件知：hm=/(%0)是存在的，其中Ax=x—x(),Ay=/(x)—/(x()),

Arf0AX

Ay

AX

由§1、5定理i(i)n=f'(x0)+a(a为无穷小)=>Aj=f'(x0)Ax+tzAx

显然当Ax—>0时，有Ayf0,所以由§1、9定义1",即得函数y=/(x)在x=x0点连

续，证毕。

注：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。

反例：y=W在x=0点连续，但不可导。

【例9】求常数见。使得/(%)=<-在％=0点可导。

ax+bx<0

解:若使/(%)在％=0点可导，必使之连续，故lim/(%)=limjf(x)=/(0)

x->0+x-»0-

=>e°—a-0+b=>b—la

又若使/(x)在尤=0点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的,

且£(。)=既"*入，斗。)=既皆入°=1

所以若有a=1,则£(0)=力(0),此时/Xx)在x=0点可导，所以所求常数为

a=b=lo

由以上讨论知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

小结本节讲述了导数的定义、导数的几何意义、函数可导和连续的关系。同学们一定要掌握和理

解导数的定义，并会用定义求一些简单函数的导数。

第10次课2学时

0§2、2函数的和、差、积、商的求导法则

上一节学习了导数定义，利用定义可求一些简单的函数的导数。但对比较复杂的函数直接用

上次课复习：导数的定义

导数的几何意义

函数的可导与连续的关系

导数定义的几种不同形式

0

本次课题（或教材章节题目）第二节函数的和、差、积、商的求导法则

教学要求：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的的求导公式

会计算初等函数的导数

重点：求导法则

难点：法则的证明

教学手段及教具：板演式教学，以讲授为主，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

函数和、差、的求导法则15分钟

函数的积的求导法则15分钟

0函数的商的求导法则25分钟

运算法则的应用举例25分钟

处理习题1——1120分钟

0习题2—22、(258121419)3、(3)

课后作业

参考资料高等数学同步精讲一书

定义求导往往很困难。下面介绍求导数的几个基本法则和公式。

法则1:若函数“（X）和v（x）在点项）都可导，则/（X）="（X）土v（x）在点也可导，且

/（%0）=/（无0）土/（X0）°

即两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）。

工叩r/(x)-/(xo)±v(x)]-[z/(x)±v(x)]

证明：Jim----------=lrim----------------0-......-0

x-XQx-XQ

w(x)-z/(x0)v(x)-v(x0)

二lim---------—±lim--------—=u(x0)±v(x0)

%-与x-XQx-XQ

所以尸(%o)=/(/)±M(/)o

注⑴：本法则可推广到任意有限个可导函数的情形。

⑵：本法则的结论也常简记为(〃±V)'=Ur±Vfo

例如(》+v-w)-u+v'-w'

法则2：若w(x)和v(x)在x=/点可导，则/(x)="(x)v(x)在与点可导，且有

尸(%0)=/(%)v(x0)+w(x0)v(x0yo

、丁口目rf(x)—于w(x)v(x)-w(x)v(x)

证明：lim----------=lim------------o-....o-

x-XQx-XQ

山^w(x)v(x)-w(x0)v(x)+w(x0)v(x)-w(x0)v(x0)

a%0x-XQ

M(无)一M(无0)/、「•/V(X)-V(X0)

=lim---------—v(x)+limz/(x0)---------

x-XQx-XQ

w(x)-z/(x0)/、I/、rV(x)-V(xo)

=lim----------hmv(x)+M(X0)lim---------

X7X。X-XoXfX。X7X。X-xo

=u\x0)v(xo)+M(xo)v'(Xo)

，，

即/(X。)=M(xo)v(xo)+i/(xo)v(xo)

函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，

加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。

注⑴：若取v(x)三C为常数，则有：(cu)'=cu';

⑵：本法则可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：

(uvws)'=u'vws+uv'ws+uvw's+avwy'等。

法则3：若〃(x),v(x)都在x=Xo点可导，且v(Xo)wO,则/(x)=凹区在点也可导，且

v(x)

M'(XO)V(XO)-M(XO)V'(XO)

u(x)u(x0)

,/(x)-/(^o)v(x)v(Xo)u(x)v(x)-u(x)v(x)

证TB明R：Jrim----------=Jrim----------=Jrim------0-------0-----

Xf*oX-Xoax。X-XoXH。(A：-XO)V(X)V(A：O)

rM(X)-M(X0)1V(X)-V(X0)11

=Jim[-----------------M(X0)--------------------]

XT'Ox-xov(x)x-xov(x)v(xo)

v(x0)V(/)

，，

M(xo)v(xo)-w(%o)v(xo)

2

v(x0)

M，(x)v(x)-w(x)v，(x)

即/(%)=oooo

2

v(x0)

函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分

子的乘积，再除于分母的平方。

注⑴：本法则也可通过/(X)=M(X)-‘，及［」一］的求导公式来得;

v(x)v(x)

⑵：本公式简化为;

VV

(3)：以上法则广3中的/，若视为任意，并用X代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公

式。

【例1】设/(x)=x+2y[x，求广(X)。

解：f'(x)=(x+2^[x--j=y=(x)f+-(—/=)'=1+—,—；=-2(--)•—j=

G6262T7

1+vi+>

【例2】设/(%)=%e*ln%,求/'(%)。

解：f\x)=(%e*In%)'=(x)rexIn%+x(exyinx+xex(Inx)r

=exInx+xexInx+xex­—=e%(l+lnx+xlnx)。

x

【例3】y=tan%求;/

解

22

,_/J(sinxA_(sinx)cos%-sinx(cos%)_sinx+cosx_1_

y=(tanx)——-二—二--二sec2x

VcosxJCOSXCOSCOSX

即(tanx)'=sec?x正切函数求导公式

【例4】丁=560%求；/

小，//1、⑴cosX-1.(cosSinx

解y=(secx)=----=--------T-3-----=----=secxtanx

^cosx)cosXCOSX

即(sec%)=sec%tanx正割函数求导公式

用类似的方法，还可求得余切函数及余割函数的求导公式：

第垣次课工学时

注：本页为每次课教案首页

0

§2.3反函数的导数、复合函数的求导法则

上次课复习：导数的四则运算法则

基本初等函数的求导公式

本次课题(或教材章节题目)：第三节反函数的导数、复合函数的求导法则

教学要求：掌握反函数的求导法则，掌握复合函数的求到发则，会求常见的反函数和复合函

数的导数，会求初等函数的导数

重点：反函数的求导复合函数的求导

难点：复合函数的求导

教学手段及教具：板演式教学，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

反函数的求导法则20分钟

复合函数的求导法则30分钟

反三角函数和对数函数的导数20分钟

复合函数的求导法则应用举例20分钟

习题2--31（7、9、10）2（7、8、9、10）3（5、7、8）45

课后作业

参考资料高等数学同步精讲一书

一、反函数的导数

定理1：设y=/(x)为x=°(y)的反函数，若°(y)在九的某邻域内连续，严格单调，且

9'(%)/0,则/Xx)在/(即/(%)点有导数)，且尸=

9(%)

、工用r/(x)—/(xo)y-y1

证明：lim----------=lrim-------0----=lrim———--------

%♦%。x-x0y-%0(y)一夕(y())二%。(丁)一。(%)

y一%

---------7~\---；r=--—，所以f'(x0)=-—o

11m9(y)一4(为)。(为)。(先)

fy-y0

注⑴：x-/<=>y-y(),因为°(y)在九点附近连续，严格单调;

(2)：若视为为任意，并用x代替，使得/(%)=「^或包=」一，其中虫，虫均为整体

°(p'(y)dx(dxdxdy

dy

记号，各代表不同的意义；

(3)：/(无)和d(y)的"均表示求导,但意义不同；

(4)：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；

(5)：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求y=arcsinx的导数，

解：由于y=arcsinx,xe[-1,1],是兀=5111,，ye[——，一]的反函数，由定理1得:

71兀

,.v1111

(arcsinx)=------=-----=.==/。

(siny)'cosyJl—sin2yJl——

注⑴：同理可证：(arccosx)'=——,,(arctanx)'--7，(arcctan=---

71-x21+，1+x

(2)：arcsinx+arccoStY=arctanx+arcctanx=—。

2

【例2】求y=logaX的导数(a>0,a/I)。

解：利用指数函数的导数，自己做。

二、复合函数的求导公式

22x

到目前为止，对于Intanx,ex,sin----那样的函数我们还不知其可导否，若可导怎样

1+%

求导数。这就是要学习的复合函数的求导问题。

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导2.即使可

导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2(复合函数求导法则)：如果u=(p(x)在X=/点可导，且y=/(沅)在M=uQ=9(项))点

也可导，那么，以y=/(〃)为外函数，以〃=9(x)为内函数，所复合的复合函数

y=/(。(％))在%=/点可导，且乎|户&=/'(%)9'(与),或

dx]

-4=/(劭)9’(4)

„/(9(%))-/(9(/))/(M)-/(M)9(x)-。(%)

RBr证明：Um--------r---------=U0m------------------------

Xf%oX-Xoa%0U-UQx-XQ

U

=lim于(-(u。).lim2“)-f\u0).9,(x0)

U-UQX7X。X-xo

所以"(9(x))r」=((Mo)d(Xo)。

注⑴：若视与为任意，并用工代替，便得导函数：

df(翌))=((夕(初.(p'{x},或"(e(x))]'=f'(<p(x))-(p'(x)

ax

dy_dydu

,o

dxdudx

(2)：/■'W(x))与"(9(x))]‘不同，前者是对变量M=9(X)求导，后者是对变量％求导。

(3)：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

(4)：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：

"(g-=/(g(〃(x))>g'(h(x)).h<x)等。

【例3】求y=arctan—的导数。

x

解：y=arctarJ"可看成arctanw与M=工复合而成，

xx

r

(arctanw)=,(』)'=--y,=>y'=(arctan』)'=~\----(--y)=——^-o

1+WXXX]+(与2Xl+x

X

【例4】求)=(〃为常数)的导数。

解：y==e""是y=eu,u=〃•v,v=Inx复合而成的。

所以yf=(x")'=(4)，•(//v)，•(Inx)，==pi.xA-1o

xx

这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复

合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的复合过程非常熟悉，可不必

写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】y=Jl——，求v。

解y'=(71-x2y=[(i-/)2y=：♦/i.(i-犬y=o

2Vl-x271-%2

【例6】y=eg^,求V。

r

解：.(a-sinx)-71^1(l-sinx)

2Vl-sinx

_—cos%_1cosx

2Vl-sinx271-sinx

【例7】y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'。

解：y，=(arcsin(2cos(x2-l))f-/1=r(2cos(x2-1))F

Vl-[2cos(x2-l)]2

,-2[-sin(x2-l)]-(x2-1/

Jl-4cos2(/-1)

-2sin(x2-1)4xsin(x2-1)

Jl-4cos2(%2-1)Jl-4cos2(/-1)

x

【例8】y=ln(ln(lntan—)),求)

|x|

解：y，=----------(ln(lntan—))，=---------------^(lntan$'

i“x、2i八九、

ln(lntan-)ln(lntan-)Intan--

2

11[1]111

22xx,x,,x

cos—tanIntanInIntansmxintanjInlntanj

2222

x-~x11

[例9]shrx=(-e--ey=-(ex-e-x)r=~[(ex)f-(e-xy]

1

=-[ex+e-x],

2[eA-g-A(-l)]2

即s/z'x=Mx。同理，chfx=shx0

【例10]y=ln(x+A/1+X2),求y'。

解：yr=[ln(x+71+x2)]'=----；•(x+Jl+x2y

x+A/1+%2

1八12x1

----/(1+-)=/=(arshx)’。

X+Jl+%22

上次课复习：

本次课题（或教材章节题目）：第四节初等函数的导数、双曲函数和反双曲函数的导数第五

节高阶导数

教学要求：会计算双曲和反双曲函数的倒数、掌握莱布尼兹公式

会求简单的高阶导数

重点：初等函数的求导问题

难点：握莱布尼兹公式

教学手段及教具：板演式，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

初等函数的求导问题20分钟

双曲函数和反双曲函数的导数25分钟

高阶导数35分钟

处理前几节课的部分习题20分钟

习题2--42(38)3(29)习题2-51(3910)10(35)11(3)

课后作业

参考资料高等数学同步精讲一书

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同理：(ln(x+J%2_]y=―r=(^cLvchx)o

第次课2学时

注：本页为每次课教案首页

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§2、4初等函数的求导公式双曲函数与反双曲函数的导数

一、初等函数的求导问题

1、数和基本初等函数的求导公式:

(1)(。)'=0(2)(/)'=必4T

(3)(sinx)r=cosx(4)(cosx)r=-sinx

(5)(tan%),=sec2x(6)(cotx)f=-esc2x

(7)(secx)r=secx-tanx(8)(esc%)'=-esc%•cot%

(9)(ax)f=axina(10)(ex)f=ex

(11)(log^x)f=--—(12)(lnx)r=—

—xlnax

1

(13)(arcsinx)'=.(14)(arccosx)r=-

(15)(arctanx)'=-(16)(arccotx)'=——二

1+%1+X

(17)(shx)f=chx(18)(chx)'=shx

(19)(thx)r=

ch2x

2r

(20)(arcshxY=(ln(x+Vx+l))=/1

G+i

(21)(arcchQ'—(ln(x+V-X2—1))(——/

(22)(arcthx)'=(—In^+X)'=—-

21-x1-x2

2、函数的四则运算的求导法则：

设〃="(x),v=v(x),则

(i)(〃土v)'-ur±V(ii)(c式)'=cur

、/、,,，/、/"、,UV-UV/八、

(ziii)(〃v)-uv+uv(iv)(—)=---------(v0)

VV

3、复合函数的求导法则：

设y=/("),“=。(％)=y=/(^(x))的导数为：虫二包.”或

axduax

"(9(x)1=/W))-9'(x)或=竽|i'可

axdu1ax

二、双曲函数与反双曲函数的导数

双曲函数和反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可有前面的求导公式和求导法则求出。

ex—e~xz"ex-e-x>/+二，

由snx=——-——，有（s/ix）=、2J-------=chx

2

所以，双曲正弦的求导公式为(s/rr)=chx

X.-X

类似地，由chx=——-——得（chx）=shx

由thx=-得（加x）'="x-；hx即（湫/=1

ch2x

1

T77

1

1+x/\，1

得（"血）=-——-

21-x

以上几个公式可由同学们自己推导出来。

§2.5高阶导数

ds

前面讲过，若质点的运动方程s=s«),则物体的运动速度为v«)=s'Q),或v«)=—，而

dt

加速度a(t)是速度v(f)对时间t的变化率，即a(t)是速度丫。)对时间f的导数:

a=a(t)=—=>a=一(一^)或a=M«)=(s'(/))',由上可见，加速度a是s«)

dtdtdt

的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下面的定义：

定义：若函数y=/(x)的导函数/''(X)在与点可导，就称/■'(%)在点/的导数为函数y=/(x)在

点与处的二阶导数，记为广'(项))，即Um=/〃(/)，此时，也称函数

X―

x-x0

y=/(%)在点/处二阶可导。

注⑴：若y=/(x)在区间/上的每一点都二次可导，则称/(x)在区间/上二次可导，并称

%e/为/(%)在I上的二阶导函数，简称二阶导数;

⑵：仿上定义，由二阶导数/■"(%)可定义三阶导数/'"(%),由三阶导数/Jx)可定义四阶导数

尸4)(©，一般地，可由“一1阶导数/("T)(x)定义"阶导数—")(%)；

M(n)

⑶：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：f(x0),y(x0),

与"⑶,严⑺有dnf

nx=x或

dxl°dxn

（4）:开始所述的加速度就是S对f的二阶导数，依上记法，可记&=r或。=5"«）;

dt

（5）：未必任何函数所有高阶导数都存在；

（6）：由定义不难知道，对函数y=/（x）,其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的

导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为〃阶导数。因

此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以

了。

【例1】y=ax2+bx+c,求y",y",了⑷。

解：y'-2ax+b=>y"-2a=>ym-0,y⑷=。。

【例2】>=1,求各阶导数。

解：y'=",y"^ex,y"=e"显然易见，对任何“，有；/"）=",

即（1）（"）=e'

【例3】y=sinx,求各阶导数。

,•/兀、

解：y=sinx,y-cosx=sin(x+—)

一般地，有y（〃）=sin（九+〃］）,即（sin%）（〃）=sin(x+n

同样可求得（COSX严=cos（x+咤）。

【例4】y=ln（l+x）