2015年北京市高考数学试卷（文科）（含解析版）

2015年北京市高考数学试卷(文科)

一、选择黑(每小且5分洪40分)

1.(5分)若集合An伙-5<X<2l,B=lx!-3<X<3},则ACB=()

A.<x|-3<x<2}B.{x-5<x<2>

C.(x•3VKV3)D.{X-5<x<3)

2.(5分)喇心为(1.1)H过原点的四的标准方程是<)

A.(x-1)J+(y-1>2=1B.(x-1)J+(y+1)3=1

C.(E)〃(v+D?・2D.(x-1)(y-1)?・2

3.(5分)卜列威敢中为儡函数的是<>

A.y«xa$lnxB.丫・『cosxC.尸InxD.y»2"

4.(S分)某校老年、中年和青年教蜉的人数见如表，采用分层抽样的方法调责

教娥的身体状况.在摘取的样本中.青年教师为320人.愿读样本的老年教

师人数为()

类别人数

老弟教师900

[中年教仲

1800

青年教邪1600

合计4300

A.90B.100C.180D.300

5.(5分)执行川图所小的程序植图.输出的k值为(

A.3B.4C.5D.6

6.（S分）设；.E是非零向易,W・E=a匕”是嚏0自的（

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.瓦不充分也不必要条件

8.（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满.卜衣记录「该车相邻西次加油时的

情况

加油时间加油丘（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1.日1235000

201S年5月15日4835600

注「累计里程嗡汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该4每100

千米平均耗油址为（）

A.6升B.8升C.10升0.12升

二、填史・

9.（5分）如数i（l+i>的实那为.

1

10.（5分）23.台5.1闻方三个数中最大数的是.

11.（5分）在AABC中，a=3,b=A则NB=

w

12.（5分）已知（2,0）是双曲线X2（b>0）的•个仰点.Mb=

13.（S分）如图.AABC及其内部的点组成的集合记为D.P<x,y）为。中任

速一点，则z=2x，3丫的最大伯为.

14.（5分）高：年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩.数

学:成绩与总成绩在全年级的持乂情况如图所示,甲、乙、内为该施三位学生.

从这次考试或绩看.

①在甲,乙两人中，其i开支成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是：

②在语文和数学两个科目中，内同学的成绩名次更赛前的科目是.

2ft7267

总成绩年级名次267（f加购件级名次267

三、解答黑（共80分）

15.（13分）已知函数f（AMSinx-2小所方.

（1）求f（x）的最小正剧Wb

（2）求f（求在区间［0,罕］上的总小俏.

3

16.（13分）己知等差分列E）湎是a1E=10.a«-a3=2

<1）求人力的通项公式：

（2）设等比数列1回｝满足b,=aj・b3=az.同：上与数列｛却的第几项相等？

17.（13分）灵&市随机送取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四

种商乩的情配,整理成如下死计费，其中▼表示购买我示来购买.

甲乙百T

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

（1）估计顾客同时购买乙利内的概率1

（2）怙计帧客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果粽客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、「中哪种面品的可能性反

大？

18.（14分）如图.在三桢推V-ABC中，平面VAB1.平面ABC.ZkVAB为等功

••角形，AC8C11AC=BCsV2.O.M分别为AB,VA的中点.

（1）求证：VB〃平面MOC:

<2）求证：平面MOCX、f‘面VAB

（3）求三校椎V-ABC的体积.

上

19.(13分)设函数f(x)-klnx.k>0.

2

(1)求f(x)的单.调区间和极值；

(2)证明：若f(x>存匕零点，则f(x)住区间11,江！上仅有一个零点.

20.(14分)已知椭SIGW+3/=3.过点D(1.0)且不过点E(2.1)的直线

与椭圆C交卜A・8两点，宜找AE与直线x=3交「点M.

<1)求椭圈C的离心率：

(2)若AB垂直fx轴.求直线BM的斜率：

⑶试判断直触BM与直线DE的位良关系,并说明理由.

2015年北京市高考数学试卷（文科）

—V熹

一、选界■（每小JB5分，共40分）

1.（5分）苔集合A/x-5<x<2l.B«lx|-5<x<3）,则ACB=（）

A.lx-3<x<2|B.（x-5<x<2|C.（x!-3<x<3}D.{x-5<x<3}

【考点】IE:交集及其运算.

【专即】5J：集合-

【分析】直搔利用集合的交集的运算法则求解即可.

【解冷】斛：臾合A='-S<x<2),B=fxl-3<x<3l.

Ri]AfiB='x-3<x<2).

故选：A.

【点计】本M考杳集合的交集的运算法剜，考杳计翼能力.

2.15分)圆心为(1.1)且过原点的图的标准方程是<)

A.(x-1)J*<y-1)2»1B.<x>l)(y*l)2«1

C.(x-l>><y*l>?=2D.<x-1)2+(y-i)2=2

【考点】J1:圜的标1方程.

【专.题】11，计算题：SB：直线与圆.

【分析】利用两点间距离公式求出半径•由此能求出国的方程.

【解答】解：由题感知I5S半径

IW的方程为(x-1)2*(V-1)^2.

故选：D.

【点计】本尊考吉网的方程的求法，册题时要认真审题，注意M的方程的求法.

是基础题.

3.(5分》下列语数中为隅函数的是(

A.v=x3sinxB.v=«3cosxC.y=InxD.y=2"

【号心】3K：函数奇J性的性就与判断.

【专题】51:函数的性项及应用.

【分析】首先从定义城上挣除选项C.然后在其他选项中判断-x与x的Pfl效值

关系，相等的城是偶函数.

【解答】解；对于A,(7)25小《-X)=-x^lnx；是奇函数；

对1于B.(-x)^os(-x)=x2coix：是偶函.数：

对于C,定义域为(0.+8),是非奇非定的域为:

对于D,定义域为R,但是2-=2,工2\2**-2•；是非奇非偶的函效：

故选：B.

【点注】本题考自了函数奇料性的判断：苜先判断定M域是否关于原点对称：如

果不对称，函数是非奇非偶的函数：如果对称.再判断f{-x＞与f(x)Xi

系*相等是偶的数.相反是奇函数.

4.(5分)某校老年、中年和青年故如的人政见如表,采用分层插样的方法调建

教师的身体状况，在抽取的样本中，疗年教师有320人.胴读样本的老年教

师人数为(?

类别人数

老年软，巾900

中年教帅1800

青年教的1600

合计4300

A.90B.100C.180D.300

【考点】83：分层抽样方法.

【专题】11：计算题：51：概率与统计.

【分H】山歌第.老年和*i求帅的人数比为900：1600力：16.即可得出结论.

【解答】解，由超超,老年和青年教牌的人数比为900：1600-9：16・

因为百年教帅有320人，所以老年教师有180人，

故选।C.

【点评】本题荐查分层抽样，考盒学生的计算能力,比收基础.

5.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（》

【考点】EF：程序枢图.

【专题】27：r表型:5K：算法和程序框图.

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a.k的值.当

足条件a〈L,退出循环,输出k的值为4.

4

【tmM：模拟执行程序根图,可得

13

-j

不满足条件av44

13

不漏足条件av4j

8

1

-

不满足条件aV4.39

16

满足条件.退出街环.•出k的值为4.

4

故选：B.

【点评】本题主1考查了循环牯构的程存枢图.18于基砒题.

6.(5分)设;.E是非零向量，W•认aE"是。。E"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.跣不充分也不必要条件

【号点】29：充分条件、必要条件,充要条件；90：平面向M数圾枳的性版及

其运律.

【专题】5A：平面向珏及应用：5L：谕身逻辑.

【分析】山W•法GllEl便可得到；，5夹用为o,从而得到W〃了,而；〃E并不

能得到；夹用为0.从而得不到ZR二G||E|.这样根柢充分条件、必要条件

的概念叩可找出正确选项.

【解答】解：<l)；.b=|；||blcoS<；,b>：

.•.a-b=|a||b|lM.cos<a,芯>”;

<a.b>=08

Aa^b：

.,--I-b=|alib|*是吗〃匕的充分条件：

<2)a/7bHf.；.p4夹角为0或n；

.*.a*b=|a||b|.或-|a||b|：

即a〃b汨不到a"b=|a11b|：

.'.*a-b=|a||b/不是。〃E*的必要条件；

，总上可得W・E=GI后卜是G〃后的充分不必要条件.

故选：A.

[Ai1]号杳充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念,以及判断方法。

过用，粒品积的计算公式,向比共线的定义，向量夹角的定义.

7.15分)某叫核锥的三视图如图所不.谟叫梭推品K梭的校长为()

俯视图

B.V2C.V3D.2

【号点】U：由三视图求面积、体枳.

【专题】26：开放型；5F：空间位置大系可距离.

【分析】几何体是四段雉，且四棱锥的一条斜棱与底面垂直,结合直观图求相关

几何量的数据，可得答案

【研答】酎，由三祝图知，几何体是四校惟.11W棱锥的一条卿棱,j底曲垂直.

底的为正万形如图：

其中PB±平面ABCD,底面ABCO为正方形

.,.PB=1.AB=1.AD=1.

：.BDR1，PD=V2+1=V3.

PC-PA=^

该几何体眼长梭的梭长为：V3

故选：c.

【点评】本烟号宣了由三视图求几何体的威氏校长问麴,根据二视图判断几何体

的结构特征是解答本越的关捶

8.（S分）某辆汽车每次加油都把油粕加满，下衣记录/诙下相邻两次加油时的

情况

加油时间加油员（升）加油时的累计里程（千米）

201S年5月1日123SOOO

201S年5月年日4835600

注，"累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内.行车每100

千米平均耗油量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

【考点】3U:•次函数的性质与次故.

［专题】51:圉数的性就及应用，

【分析】由表格信息，得到该车加广48升的汽油.富厂600T・米，由此得刊读

车每100r米平均耗油量.

【解捽】解：由表格信息,得到该军加广48升的汽油.跑「600千米,所以该

卒句:100F米平均耗油用48+6=8：

故选：B.

【点评】本心考一查了学生对表格的理薪以及对数据信息的处理能力.

二、填空■

9.（5分）电数i（1+D的实就为-1.

【毋点】Al:虚数单位I、复数.

5N：4系的扩充和复数.

【分析】再按利用发数的乘法运辟法则，求髀即可.

【解答】解；发数I（1-0=11.

所求女数的实部为：-L

故若案为：-1.

【点注】本题考查史数的基本运;L且数的基本概念，考查计。能为.

_L

10.（5分）2.3,3»,106:5三个数中'大数的出k>&5.

【号点】72:不等式比较大小.

【专题】51.函数的性鲂及应用.

【分析】运用指数函数和对数或数的的调性，可得0<23Vl.i<^<2,k>g?5

>10^4=2,即可符判成大数.

1_

3

【解答】解：由于0V2<1,1<3'2<2.

Iog25>k）gj4=2.

则三个数中最大的数为log?5.

故答案为：1。&5.

【点泮】本题考行数的大小比较，主婴若^指致函数和对效函数的单调性的运用.

喝丁基础的.

11.（5分）在AABC中.a=3.b=>/6-则/B=二一.

［奴.，］HP：正弦定理.

【专题】S8：解：用形.

【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系，即可得到角B.

【解答】解：由正弦定理可得，

a.b.

sinAsinB

即有sinB」'sinA_

a32

由bVa,则BVA,

可得B』.

4

故答案为：21.

4

【点评】本题芍佟正弦定理的运用，同时芍杳三俗形的边加关系，属于垢础

12.（5分）•知（2.0）是双曲线(b>0)的个焦点,BiJb=_V3_.

［号点】KC:双曲线的性旗.

【专题】5D：M供曲线的定义、性侦与方程.

^=1(b>0l的焦点为(VTiV-o)-

【分析】求得双曲线X*

可得b的方程，即可得到b的（ft.

【*¥答】解：双曲线X?-jl<b>0>的焦点为《行不・0》，<0>*

由四总可得小前门・

解得b=V3.

故答案为：V3.

【点N】本题考自双曲战的方程和性质.I：要考传双曲线的焦点的求法.居于某

础题.

13.（5分）如图，/XABC及其内部的点组成的集合记为D,P<x,y）为。中任

&-点，则z=2x，3丫的母大值为」•

【耳点】7C：简单找性规划.

【专题】26；开放型；59：不等式的解法及应用.

【分析】利用我性规划的知识.幽过平移即可求z的最大值.

【髀约】解：由z-2x+3v，得丫，-^-*玲，

平移日线y=4x+，由图象可知当亘绞尸A经过点A时,直线T嘘

JJJJ

的被踉最大，此时z最大.

«PA<2，1）.

此时Z的最大值为Z=2X2+3X1=7,

故答案为：7.

【点评】本题《婴当鱼线性规划的应用，利用致形结合是解决线性规划题目的常

用方法.

14.（5分）高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语支成练数

学成绩与总成绩在全年级的推幺情况如图所示.甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考凌成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是―一：

⑵在）?t文和数学两个科n中,因同学的成绩名次更显前的科n是.数学

267

娶

次

0总成演年《名次267

【专点】B6：变盘间的相关关系.

【专题】51.概率与线计.

【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位巴的圾坐标确定总成绩W次:

（2）根据散点图2,观祭内的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标.说明总成

绩名次大于数学成绩名次,反之小T.

【解答】解:由高三年级267位学生参加删末考试，某班37位学生的语文成绩,

教学成绩与总成绩在全年级的搏名情况的散点图可知，两个图中.同•个人

的总成绩是不公交的.从第二个图看.丙是从右往左数第5个点，即丙的总

成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点,它我示的就是丙.

发现这个点的位芭比右边图中丙的位置高.所以语文名次更"大"

①在甲、乙两人中，其唐文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；

②观察酸点图，作出对角线V=x,发现丙的用标横中标大于纵里标，说明数学成

绩的名次小于总成绩名次,所以在谱文和数学两个科H中.内同学的成绩名

次更靠前的科H是数学：

故答案为：乙：数学.

【点评】本题考查了对做点图的认识：屈于基地题.

三、解答JK（共80分）

15.（13分）已知函数f（X）=sinx-2Msin?L

2

（1）求f（x）的遗小正周期:

（2）求f（x）在区间10.卫口上的最小值.

3

【号点】GP：两M和与差的二角函数：H1：三角函数的用朋件；HW：三角函数

的破值.

【专题】57,三地函数的图像。性质.

【分析】《1》由三角函数恒等变换化简函数端折式可甭f"）=2sin（吟》・

由三角函数的冏硼性及孜求法即可得解；

（2）山x€0,空]•可求范国K+二w[2±.汨，即叫求得f（x）的取值范围.

333

即呼得解.

【解答】解：⑴'.'f（x）=sinx-2\，信所节

7nx-2日上3.

2

=sinx-V3cosx-V3

»2sin（x*—>-V3

3

：.f（x>的最小正周用T等《2n：

（2）VxG[O,"]・

3

.,.sift（x+q）Gfo.1J.即有：f（x）=2sin（x+三）-V3e[-2-巡]・

33

.•.可解得f（X）在区间[0.2二]上的呆小值为：

【.511】本题主嬖考告（一:用曲数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法.

三用函数的地值的应用，属于基本知识的考查.

16.（13分）已知等差数列（aj满足力，”=10.a<-33=2

（1）求laN的通项公式：

（2）设等比数列｛小｝满足b产a-b,=aT.问:&与数列｛痴，的第几项相等？

【考点】83:等差数列的性随.

【专题】11:计算禺54：等差数列与等比数列.

【分析】⑴由a=as=2・可求公牵d.」后由ai+ago,可求a」,」合等差融

列的通项公式可求

(II)由b»=aE,b,=aT=16.可求等比数列的首地及公比，代人等比数列的通项

公式可求b6,结合(I)可求

【W答］解：(|>谀等荃数列4的公空为d.

a«-a»»2.所以d・2

Vai*32=10.所以2ai，d=10

.*.31-4.

.'.an=4+2(n-1)«2n+2(n=l,2,...)

<11)设等比数列｛b“：的公比为q.

Vb2=aj=8.bj=a?=16.

bi<p8

,［电口2=16

.'.q=2.bi=4

6-

b6=4X21=128,而I28=2n+2

.,.n=63

•••b6与数列la力中的第63项相等

【点讨】本超主要号杳/等基数列与等比数列通项公式的简单应用，随于对基本

公式应用的考杳，试睡比较容易.

17.(13分)某超市附机送取1000位顾客.记录了他们购买甲、乙、丙、「四

种商品的情况,整理成如卜统计衣，其中▼友示购买・"X"我示未购买.

1丙

甲乙T

100VXVV

217XVXV

200V7VX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

（1）估计糠客同时购买乙和内的概率i

（2）估计瞳客在甲、乙、丙、丁中同时购买3牌商品的概率;

（3）如果顾客购买了甲.叫该顾客冏时购买乙、内.「中那种商品的可说性或

大？

［考点］C8:4互独立事件和相互独立事件的悔奉乘法公式,

【专区】SI：概率与1计.

【分析】（D从铳计1可得,在这WOO名顾客中.同时也买乙和内的有200人.

从而求得顾客同时的买乙和丙的概率.

<2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求将顾客顾客在

甲、乙、丙、丁中同时四买3种商品的概率.

（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的低率、附时的买甲和丙的悔率,

同时购买甲和「的慨率,从而得出结论.

【解答】解：（1）从统计衣可行•在这1000名顾客中•同时购买乙和丙的有200

人，

故顾客同时购买乙和内的概率为团”0.2.

1000

•2）在这1000名颐客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种超品的100-200=300

（人）,

故帔客帧客在甲、乙、内、丁中同时购买3种箭品的概率为镖・03

1000

（3）在这1000名拽客中，同时购买甲和乙的慨率为黑=02

1000

同时购买甲和内的概率为100+200+30.06.

1000

同时购买甲和「的概率为黑=0.1,

1000

故同时购买甲和丙的概率最大.

【点评】本即主要考铿大典概率、互斥事件的概率加法公式的应用.届于推础肽.

18.（14分）如图，在」.校键V-ABC中，平面VABL平面ABC.AVAB为等边

三用形，AC_BC11AC=BC=F，O.M分别为AB.VA的中点.

（1）求证：VB〃平面MOC：

（2）求证：平面MOC_L平面VAB

，3）求.极推V・ABC的体积.

【考点】LF：横柱、棱推、4台的体枳:LS：直践与平面平行：国：平面与平面

垂直.

【专题】15:嫁合题：5F：空间位置关系与距离.

【分析】⑴利用三角形的中位线得出。M〃VB.利用线而平行的判定定理证明

VB〃平面MOC;

（2）证明:OC1T向VAB.即nJ,证明中血MOC_LT血VAB

（3）利用等体枳法来.梭佛V・ABC的体枳.

【解答】（1）iEM：VO.M分别为AB,VA的中点，

OMAVB.

•.,VB/C平面MOC.OMcTlfilMOC.

，VB〃平面MOC；

（2）VAC=BC.。为AB的中点.

AOCIAB.

；平面VABJ_T®ABC.OCc平面ABC.

，OCL平面VAB.

VOCc平面MOC，

Af[fl]MOC-YrfriVAB

（3）在等腰直角角形ACB中.AC=BC=V2.AB=2.OC=1.

•'-5VAB=6,

VOCl-'KlfiiVAB,

-'•VcVAb--i-OC*S

JJ

.'.Vv*BC=VCVAB=^-.

3

【点评】本届考查线面平行的判定.军杳平面与平面痣直的判定.考点体枳的计

算,正确运用线而平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.

2

19.(13分)设函数f(X〉号-klnx,k>0.

(1)求f(X)的单调区间和极值；

<2)证明：若f(x)存在写点，则f(x)在区间门，正】上仪有一个零点.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性।6D：利用导致研究函数的极值.

【专题】26：开放型：53：导数的标合应用.

【分析】《1》利川r(X)=0或「(X》W0求得两数的单调区间并能求出极电;

(2)利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况.

【解答】解：(1)由f<x)4』lnx(k>0)

<•

f(x>.x-X_2i±.

XX

由f(x)=0解汨x八日

f(x)与r<X>在区间(o.+8》上的情况如下：

X(0,Vk)Vk(Vk，+00!

f(x)-0*

f(x)1k(l-lnk)t

2

所以，f(x)的单调递增区间为(&，Q),单调递减区间为(0.a)；

f(x)在x=4处的极小值为f(五)4(1片),无极大值.

(2)证明：由(1)知,f(x>在区间<0.♦->上的最小值为f(6>*■空迪■«

因为f(八存在零点，所以也严\<0,从而k》e

当k=e时，f(x)在区间(1,4)上单调递减，且f(a)=0

所以“正是f（x）在区间（1.山）上唯一零点.

当k>©时・fix）在国间（0.5）上电调递减.且f⑴*X）,f（^）=e±<0.

所以f（x）在