江西省宜春市操都中学高三数学理联考试题含解析

江西省宜春市操都中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，若acosA=bcosB,则的形状为（

）A.等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等腰直角三角形

D.

等腰三角形或直角三角形

参考答案：D2.设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是

(

)A．当c⊥时，若c⊥，则∥

B．当时，若b⊥，则C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当，且时，若c∥，则b∥c参考答案：B3.若x，y满足则x＋2y的最大值为A．

B．6

C．11

D．10参考答案：C4.对于函数则下列正确的是

（

）

A．该函数的值域是[－1，1]

B．当且仅当时，该函数取得最大值1

C．当且仅当

D．该函数是以π为最小正周期的周期函数参考答案：C5.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：

不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝A．12

B．16

C．24

D．32参考答案：C6.设集合，，若，则实数的值为（

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8.已知F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点，则①．又，②．由①②得，即，，故选B．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．9.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A10.下列函数中，在区间上为增函数的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的单调性；利用导数研究函数的单调性。B3B12

【答案解析】D

解析：在为增函数，故A错误；在上是减函数，在为增函数，故B错误；是R上的减函数；，所以在区间上为增函数.故选D.【思路点拨】利用函数的单调性依次判断即可。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则

参考答案：略12.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若，则

．参考答案：513.在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式的概率为__________．参考答案：14.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是_________．参考答案：15.在中，、、所对边分别是、、，若，则

参考答案：16.已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=x3﹣9x，若f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据导数判断出函数的单调性，求出极值，f（﹣3）=28，f（1）=﹣4，f（2）=3，可判断﹣3∈[k，2]，即可求解．【解答】解：∵f′（x）=3x2+6x﹣9=0，x=1，x=﹣3，f′（x）=3x2+6x﹣9＞0，x＞1或x＜﹣3，f′（x）=3x2+6x﹣9＜0，﹣3＜x＜1，x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增f（﹣3）=28，f（1）=﹣4，f（2）=3，∵在区间[k，2]上的最大值为28，∴k≤﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了导数在闭区间上的最值，判断单调性，求解切线问题，属于中档题．17.右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是

；参考答案：i>10

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，恒有f(ab)=af(b)+bf(a).(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(Ⅲ)若f(2)=2，，n∈N*，求数列{un}的前n项和Sn.参考答案：解析：(Ⅰ)解:f(0)=f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0.又∵f(1)=f(1×1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.(Ⅱ)∵f(1)=f[(－1)2]=－1·f(－1)－1·f(－1)=－2f(－1)=0，∴f(－1)=0∴f(－x)=f(－1·x)=－1·f(x)+x·f(－1)=－f(x)，∴f(x)为奇函数(Ⅲ)解法一：∵0=f(1)=f(2×2－1)=2f(2－1)+2－1f(2)=2f(2－1)+1，∴f(2－1)=－………9分又f(2－n)=f(2－n－1·2)=2－n－1f(2)+2f(2－n－1)=2－n+2f(2－n－1)∴2n+1f(2－n－1)－2nf(2－n)=－1∴数列{2nf(2－n)}是以2f(2－1)=－1为首项，以－1为公差的等差数列∴2nf(2－n)=－1+（n－1）·(－1)=－n∴un==－∴Sn==－1解法二：∵f(2n+1)=f(2n·2)=2nf(2)+2f(2n)=2n+1+2f(2n)∴=1+，∴－=1∴数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列∴=1+（n－1）·1=n，∴f(2n)=2n·n又∵f(1)=f(2n×2－n)=2nf(2－n)+2－nf(2n)=0∴un===－∴Sn==－1解法三：由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a)，f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a)，猜测f(an)=nan－1f(a).下面用数学归纳法证明①当n=1时，f(a1)=1·a0·f(a)，公式成立；②假设当n=k时公式成立，即f(ak)=kak－1f(a)，那么当n=k+1时，f(ak+1)=akf(a)+af(ak)=akf(a)=(k+1)akf(a)，公式仍成立.由①②可知，对任意n∈N，f(an)=nan－1f(a)成立∴un==f()又f(1)==f（2·）=2f()+f(2)=2f()+1=0，∴f()=－

∴un=－∴Sn==－1解法四：当ab≠0时，=+，令g(x)=，则g(ab)=g(a)+g(b).∴g(an)=ng(a)，所以f(an)=an·g(an)=nang(a)=nan－1f(a).以下同解法三19.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列的前n项和，则称是“回归数列”．（1）①前n项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．参考答案：解:（1）①∵，作差法可得，当时，；当时，，存在，使得∴数列是“回归数列”．②∵，∴前项和，根据题意∵一定是偶数，∴存在，使得∴数列是“回归数列”．（2），根据题意，存在正整数，使得成立即，，，∴，即．（3）设等差数列总存在两个回归数列，使得………9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，．∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”数列前项和存在正整数，使得，∴是“回归数列”，所以结论成立．

20.在数列中，已知，（.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式及它的前项和.参考答案：由（1）知是等差数列，且公差为1，且

∴

∴

∴

令…………①

则……②

两式相减得：

略21..等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.参考答案：(1)等比数列,公比.，解方程，得或.因为,所以.(2)当取偶数时,中所有项都是中的项.证:由题意:均在数列中,当时,说明的第项是中的第项.当取奇数时,因为不是整数,所以数列的所有项都不在数列中,综上,所有