河北省保定市博野中学高三数学文下学期摸底试题含解析

河北省保定市博野中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数(其中A>0,)的部分图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：A略2.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

） A． B．

C． D．参考答案：C略3.函数的定义域为（

）A．[0,1)

B．(－∞,0]

C.(1,+∞)

D．[0,+∞)参考答案：D4.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（

）A．0

B．2018

C.4036

D．4037参考答案：D因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此选D.5.设正项等比数列中，，则A．12

B．10

C．8

D．参考答案：B6.下列函数中既是奇函数，又在区间（）上单调递减的函数是A. B.C. D.参考答案：C略7.在等比数列{an}中，若，则(

)A. B. C.2 D.4参考答案：D【分析】由等比数列性质得q,即可求解【详解】，则故选：D【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题8.设命题p：x<－1或x>1；命题q：x<－2或x>1，则?p是?q的

(

)A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：答案：A9.已知集合，，则集合（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知是定义在上的奇函数，且当时不等式f(x)+xf1(x)＞0成立，若，则大小关系是()

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题，其中正确的命题是（把所有正确的命题的选项都填上）．①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）＞0成立．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6⑤已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．参考答案：①⑤【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型．【分析】对于①，令x﹣2=t，则2﹣x=﹣t，由y=f（t）和y=f（﹣t）的对称性，从而得到函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象的对称；对于②，可举反例，函数y=x3，即可判断；对于③，考虑侧面的一侧棱和底面的一底边相等，即可判断；对于④，讨论P的位置在左支上，还是在右支上，结合双曲线上的点到焦点距离的最小值，判断出P为右支上一点，再由双曲线的定义，即可求出|PF1|；对于⑤，由函数为偶函数，应用诱导公式得，θ=，再根据其图象与直线y=2的交点，求出ωx=2kπ，再根据|x1﹣x2|的最小值为π，取k=0，k=1，求出ω．【解答】解：对于①，令x﹣2=t，则2﹣x=﹣t，则y=f（t）和y=f（﹣t）关于直线t=0对称，即关于直线x=2对称，故①正确；对于②，在R上连续的函数f（x），若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）≥0成立，比如f（x）=x3，f′（x）≥0，故②错；对于③，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，故③错；对于④，若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，且|PF2|=4，若P在左支上，则|PF2|的最小值为＞4，故P在右支上，|PF1|﹣|PF2|=2，故|PF1|=6，故④错；对于⑤，函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，则由诱导公式得，θ=时，y=2sin（）=2cos（ωx）为偶函数，又其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=，若|x1﹣x2|的最小值为π则可取k=0，1，即有，ω=2，故⑤正确．故答案为：①⑤．【点评】本题以命题的真假为载体，考查两函数图象的对称和导数与单调性的关系，以及双曲线的定义及应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．12.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.参考答案：(或写成)试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间13.已知首项都是1的数列满足（I）令，求数列的通项公式；（II）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和.

参考答案：（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n．（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，

两边同时除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1，

∴数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6，

整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，

∴Sn=1×()0+4×()+7×()2+…+(3n-2)×()n-1，①

∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-2)×()n，②

①-②，得：Sn=1+3×+3×()2+…+3×()n-1-（3n-2）×()n

=1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）×()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)×()n

=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，∴Sn=8-（6n+8）×()n．【思路点拨】（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，从而，由此推导出数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0，由已知得bn=()n-1，n∈N*，从而an=cnbn=(3n-2)×()n-1，由此利用错位相减法能求出数列{an}的前n项和Sn．

略14.已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题:①函数是奇函数；

②函数不是周期函数；③函数的图像关于点(π，0)中心对称；④函数的最大值为.

其中真命题为____________参考答案：③15.如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点.若，则______；若，，则

.参考答案：；3略16.已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于?x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是．参考答案：考点： 二次函数在闭区间上的最值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．解答： 解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：（﹣，﹣）．点评： 本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．17.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且（1）求{}的通项公式；（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：.

参考答案：解析：（I）由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．（II）证法一：由可解得；从而．因此．令，则．因，故．特别地，从而．即．证法二：同证法一求得及，由二项式定理知，当时，不等式成立．由此不等式有．证法三：同证法一求得及．令，．因．因此．从而．证法四：同证法一求得及．下面用数学归纳法证明：．当时，，，因此，结论成立．假设结论当时成立，即．则当时，因．故．从而．这就是说，当时结论也成立．综上对任何成立．19.设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．【解答】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2?，由k1k2=﹣，即?=﹣，即有=﹣，即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．20.（本大题满分14分）设函数．（1）当时，求的最大值；（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，时，方程有唯一实数解，求正数的值．参考答案：（1）依题意，知的定义域为.

当时，，.

令，解得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以的极大值为，此即为最大值.……3分（2），所以，在上恒成立，所以，当时，取得最大值．所以……6分（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解．设，则.令，得．因为，所以（舍去），，……8分当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．当时，，取最小值.因为有唯一解，所以．则，即……10分所以，因为，所以．设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程的解为，即，解得……14分

21.（本小题满分14分）已知函数=，其中a≠0．

（1）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故．而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当．①令则当时，单调递增；当时，单调递减．故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．综上所述，的取值集合为．（Ⅱ）由题意知，令则令，则．当时，单调递减；当时，单调递增．故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且．故当且仅当时，．综上所述，存在使成立．且的取值范围为．22.（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，设函数．若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）.

②当时，恒有，∴