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文档简介
云南省曲靖市市麒麟区第一中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足条件,其中,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:考点:函数求值.2.若集合,,则为()A.
B.
C.
D.参考答案:答案:B解析:=,选B.3.已知函数,若=-1,则实数a的值为A、2B、±1C.1D、一1参考答案:C,故选C.4.二项式的展开式中的常数项是A.第10项
B.第9项
C.第8项
D.第7项参考答案:B5.为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据此估计该校高中男生体重在70~78kg的人数为(
) A.240 B.210 C.180 D.60参考答案:C考点:频率分布直方图.专题:图表型.分析:利用样本的频率分布直方图的纵坐标乘以组距求出样本的频率;利用样本的频率代替总体的频率;再利用频数等于频率乘以总体的容量求出该校1500名高中男生中体重在70~78kg的人数.解答: 解:由频率分布直方图得到体重在70~78kg的男生的频率为(0.02+0.01)×4=0.12∴该校1500名高中男生中体重在70~78kg的人数大约为0.12×1500=180.故选C.点评:本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查利用样本的频率近似代替总体的频率、考查频数等于频率乘以容量.6.已知关于x的方程有2个不相等的实数根,则k的取值范围是(
).A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0) C.(-2,0) D.(-2,0)∪(0,2)参考答案:A【分析】将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点问题,并且可发现直线与曲线有一个公共点原点,考虑临界位置,即直线与曲线的图象切于原点时,利用导数求出临界值,结合图象观察直线斜率变化,求出的取值范围。【详解】由,得,令,则问题转化为:当直线与曲线有两个公共点时,求的取值范围。由于,所以,直线与曲线有公共点原点,如下图所示:易知,①先考虑直线与曲线切于原点时,的取值,对函数求导得,当直线与曲线切于原点时,,结合图象知,当时,直线与函数的左支有两个公共点;②考虑直线与曲线切于原点时,的取值,对函数求导得,当直线与曲线切于原点时,,结合图象知,当时,直线与函数的右支有两个公共点。因此,实数的取值范围是,故选:A。【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围问题,对于这类问题,一般是转化为两曲线的交点个数问题,本题是转化为直线与曲线有两个公共点,而且有一个明显的公共点,所以要考虑直线与曲线有公共点这个临界位置,并利用导数求出临界位置的参数值,借助图形观察直线斜率的变化,从而求出参数的取值范围,属于难题。7.若复数为纯虚数,则实数a的值为(
)A.1
B.0
C.
D.-1参考答案:D8.a﹣b+1>0是a>|b|的()A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由a>|b|,可得a>b或a>﹣b,可得a﹣b>0>﹣1,或a+b>0.反之:由a﹣b+1>0,取a=2,b=﹣5,则a>|b|不成立.即可判断出结论.【解答】解:由a>|b|,可得a>b或a>﹣b,∴a﹣b>0>﹣1,或a+b>0.由a﹣b+1>0,取a=2,b=﹣5,则a>|b|不成立.∴a﹣b+1>0是a>|b|的必要不充分条件.故选:C.9.已知实数x,y满足不等式组,z=3x-y,则下列结论成立的是(
)A.z没有最大值,有最小值为-2B.z的最大值为一,没有最小值C.z的最大值为-2,没有最小值D.z的最大值为一,最小值为一2参考答案:C10.已知a,b是实数,则“”是“”的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若∠ABO=90°,则实数t的值为
.参考答案:5略12.如果圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆x2+y2=4总相交,则a的取值范围是▲
.参考答案:略13.已知函数是偶函数,且当时,,则=_______.参考答案:略14.设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(﹣),f(10a+6b+21)=4lg2,则a+b的值为.参考答案:﹣【考点】抽象函数及其应用;函数的值.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据题目给出的等式f(a)=f(﹣),代入函数解析式得到a、b的关系,从而判断出f(10a+6b+21)的符号,再把f(10a+6b+21)=4lg2,转化为含有一个字母的式子即可求解.【解答】解:因为f(a)=f(﹣),所以|lg(a+1)|=|lg(﹣+1)|=|lg()|=|lg(b+2)|,所以a+1=b+2,或(a+1)(b+2)=1,又因为a<b,所以a+1≠b+2,所以(a+1)(b+2)=1.又由f(a)=|lg(a+1)|有意义知a+1>0,从而0<a+1<b+1<b+2,于是0<a+1<1<b+2.所以(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+>1.从而f(10a+6b+21)=|lg[6(b+2)+]|=lg[6(b+2)+].又f(10a+6b+21)=4lg2,所以lg[6(b+2)+]=4lg2,故6(b+2)+=16.解得b=﹣或b=﹣1(舍去).把b=﹣代入(a+1)(b+2)=1解得a=﹣.所以a=﹣,b=﹣.a+b=﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了数学代换思想,解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系,然后把一个字母用另一个字母代替,借助于第二个等式求解.15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值是.参考答案:2
【考点】两点间距离公式的应用.【分析】由直线过定点可得AB的坐标,由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式可得.【解答】解:由题意可得动直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx﹣y﹣m+3=0可化为(x﹣1)m+3﹣y=0,令可解得,即B(1,3),又1×m+m×(﹣1)=0,故两直线垂直,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=(|PA|+|PB|)2﹣2|PA||PB|≥(|PA|+|PB|)2﹣2()2=(|PA|+|PB|)2,∴(|PA|+|PB|)2≤20,解得|PA|+|PB|≤2当且仅当|PA|=|PB|=时取等号.故答案为:2.16.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.则在以圆心O为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为.参考答案:x2+y2=225考点:圆的标准方程.专题:直线与圆.分析:如图所示:由题意可得sinθ=,OA=13,利用直角三角形中的边角关系求得cos∠AOD、OD、AD的值,可得BD的值,再求得OB2=OD2+BD2的值,即可得到圆O的方程.解答:解:如图所示:设OA与正北方向的夹角为θ,则由题意可得sinθ=,OA=13,∴cos∠AOD=sinθ=,OD=OA?cos∠AOD=13×=12,AD=OA?sin∠AOD=13×=5,∴BD=14﹣AD=9,∴OB2=OD2+BD2=144+81=225,故圆O的方程为x2+y2=225,故答案为x2+y2=225.点评:本题主要考查直角三角形中的边角关系,求圆的标准方程,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.17.己知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺
寸(单位cm),可得这个几何体的体积是----_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.参考答案:19.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|?|PB|的值.参考答案:考点: 参数方程化成普通方程;圆的参数方程.专题: 坐标系和参数方程.分析: (Ⅰ)消去参数θ,把曲线C的参数方程化为普通方程;由直线l过定点P,倾斜角为,写出直线l的参数方程;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得t2+(2+3)t﹣3=0,由根与系数的关系以及t的几何意义求出|PA|?|PB|的值.解答: 解:(Ⅰ)∵曲线C的参数方程为(θ为参数),消去参数θ,得曲线C的普通方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=16;∵直线l经过定点P(3,5),倾斜角为,∴直线l的参数方程为:,t为参数.(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的方程,得t2+(2+3)t﹣3=0,设t1、t2是方程的两个根,则t1t2=﹣3,∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=3.点评: 本题考查了参数方程与普通方程的互化以及应用问题,解题时应明确参数方程中参数的几何意义,并能灵活应用,是基础题.20.已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将沿DE折起,如图所示,记二面角的大小为
(1)证明:(2)若为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的身影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的正弦值.参考答案:(1)见证明;(2)【分析】(1)沿折起,其它边不变,可知且,则有四边形为平行四边形,那么,又由于,,故;(2)解法一:过点A作,垂足为G,连接,由于,则有,故点A在CD的中垂线EF上,过点作,垂足为,连接,由已知得,故,则即是,设原正方形的边长为,根据已知边和角的关系可以求得;方法三:点在平面内的射影在直线上证法同法一,建立空间直角坐标系,先求平面CED的法向量,再求平面ADE的法向量,可得二面角的余弦值,进而得到。【详解】解:(1)证明:分别是正方形的边的中点,∴且,则四边形为平行四边形,∴.又,而,∴
(2)解法一:过点作,垂足为,连接.∵为正三角形,,∴,∴在垂直平分线上,又∵是的垂直平分线,∴点在平面内的射影在直线上过点作,垂足为,连接,则,∴是二面角的平面角,即.设原正方形的边长为,连接,在折后图的中,,∴直角三角形,,∴.在中,,∴,则,即.解法二:点在平面内的射影在直线上,连接,在平面内过点作,垂足为∵为正三角形,为的中点,∴.又∵,∴.∵,∴又∵且,∴∴为在平面内的射影,∴点在平面内的射影在直线上过点作,垂足为,连接,则,∴是二面角的平面角,即.设原正方形的边长为,连接,在折后图的中,,∴为直角三角形,,∴.在中,,∴,则,即.解法三:(同解法一)点在平面内的射影在直线上,如图,连接,以点为坐标原点,为轴,为轴,过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方形的边长为,连接,.所以,,,,.又平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为.则,即,所以所以,即.【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识,是常考题型。21.兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”。
非读书迷读书迷合计男
15
女
45
(1)根据已知条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?(2)利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训,从中选派2名参加兰州市读书知识比赛,求至少有一名男生参加比赛的概率。附:0.1000.0500.0250.0100.001-k02.7063.8415.0246.63510.828
参考答案:
(1)2×2列联表如下:
非读书迷读书迷”合计男401555女202545合计6040100…
………
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