江苏省无锡市石庄中学高三数学文摸底试卷含解析

江苏省无锡市石庄中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（

）

A．

B.

C.

或

D.参考答案：C略2.若是所在平面内的一点，且满足，则一定是（

）

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.斜三角形

参考答案：C由得,即，所以,所以三角形为直角三角形，选C.3.“”是函数无零点”的

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B4.sin（﹣）的值是（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5.复数,则对应的点所在的象限为（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D6.设P为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若|PM|=2|MF2|，则双曲线的离心率是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出A的横坐标，利用E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，得出3c=，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（c，），∴=，∴直线PA的方程为y﹣=﹣（x﹣c），令y=0，可得x=，∵E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，∴3c=，∴e4﹣6e2+1=0，∵e＞1，∴e=1+，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查中等坐标的运用，属于中档题．7.若，，，则下列结论正确的是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D，，，所以，选D.8.已知函数，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an﹣1，则S6=(

) A．32 B．31 C．64 D．63参考答案：D考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{an}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出S6．解答： 解：∵Sn=2an﹣1，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1，当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，解得a1=1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S6==63．故选：D．点评：本题考查数列的前6项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．10.条件，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，若，则的最大值为

．参考答案：由柯西不等式，，知．12.已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是

▲

．参考答案：圆锥的母线长，，，.故答案为：.

13.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是①若l∥α，l∥β，则α∥β；

②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；

③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；

④若α⊥β，l∥α，则l⊥β．参考答案：②略14.已知{an}是等比数列，a5=，4a3+a7=2，则a7=．参考答案：1【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．15.若非零向量满足，，则与的夹角为______．参考答案：略16.已知函数，满足，且，则的值为_______

参考答案：17.若向量满足，求

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数f(x)＝.(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．参考答案：19.已知函数f（x）=，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）=，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解；（1）求a、b的值；（2）当x∈（，]时，不等式（x+1）?f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据题意，直接带入f（1），同时考虑f（x）=x有且仅有一个实数解，故可求出a．b值；（2）当x∈（，]时，不等式（x+1）?f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，即可转化为：（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立?（1+m）x＞m2﹣1；【解答】解：（1）∵f（x）=，且f（1）=；∴，即a+b=2；又只有一个实数解；∴x有且仅有一个实数解为0；∴b=1，a=1；∴f（x）=．（2）∵x∈（，]；∴x+1＞0；∴（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立?（1+m）x＞m2﹣1；当m+1＞0时，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）min∴﹣1＜m≤；当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max=；∴此时m不存在．综上：m∈（﹣1，]．20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，所以,所以平面，三棱柱是直三棱柱.……1分因为平面，所以，……2分又因为，为中点，所以.

………3分因为,所以平面.

…4分（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为中位线，所以，

…6分因为平面，平面，所以平面.

……8分(Ⅲ)解：因为侧面，均为正方形，，所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.设，则.，

…………………9分设平面的法向量为，则有取，得.

…………10分又因为平面，所以平面的法向量为，设二面角的平面角为，则∴

…11分所以，二面角的余弦值为.

…………………12分21.已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）当m=﹣1时，求出函数的解析式，定义域，求出导函数，求出极值点，推出结果即可．（2）（法一），通过当m≤0，当m＞0时，求解实数m的取值范围．（法二），问题成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞）），然后求解实数m的取值范围．（3）求出切线方程，转化mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．构造函数g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），求出函数g（x）有零点x=1．通过求解导函数，讨论当时，当时，判断函数的单调性，利用函数的零点．推出m的范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，f（x）=mx2﹣x+lnx=﹣x2﹣x+lnx，其定义域（0，+∞）．又．∵，故由f′（x）=0，得．…∴当时，f′（x）＞0，f（x）递增；当，f′（x）＜0，f（x）递减．因此当时，f（x）取得极大值；…（2）（法一），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．当m≤0显然成立；…当m＞0时，由于函数y=2mx2﹣x+1的图象的对称轴，故须且只须△＞0，即1﹣8m＞0，故．…综上所述得，故实数m的取值范围为；…（若f'（x）≤0在（0，+∞）上有解，最后有检验也是可以的）（法二），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）能成立，即，设，问题成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞））…∵，∴故实数m的取值范围为；…（3）因为f（1）=m，f′（1）=2m，故切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，…从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1．…则．当时，g′（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上递增．∴函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意；…当时，由g′（x）=0，得，或x=1．且由g′（x）＞0，得0＜x＜1，或；由g′（x）＜0，得；故当x在（0，+∞）上变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：（此表可省略）x（0，1）1g′（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增根据上表知．…又．∴，故在上，函数g（x）又有一个零点，不符；…综上所述得．…【点评】本题考查函数的对数的应用，函数的极值点以及单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．22.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知N）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（