河北省秦皇岛市上徐各庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河北省秦皇岛市上徐各庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），ai=，i=0，1，2，…，99，记Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）|+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，则下列结论正确的是（）A．S1=1＜S2 B．S1=1＞S2 C．S1＞1＞S2 D．S1＜1＜S2参考答案：B考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出S1，S2与1的关系，继而得到答案．解答：解：由|（）2﹣（）2|=?||，故S1=（+++…+）=×=1，由2|﹣﹣（）2+（）2|=2×||，故S2=2××=＜1，即有S1=1＞S2，故选：B．点评：本题主要考查了函数的性质，同时考查等差数列的求和公式，关键是求出这两个数与1的关系，属于中档题3.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为(

)A.

B.或

C.

D.或参考答案：D4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为

A．a≥5?

B．a≥4?

C．a≥3?

D．a≥2?参考答案：B5.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40?x?cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．6.如果右边程序框图的输出结果-18，那么在判断框中①表示的“条件”应该是A．≥9

B．≥8C．≥7

D．≥6参考答案：答案：A7.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 参考答案：A8.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝()参考答案：B9.直线关于直线对称的直线方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.“”是“函数的最小正周期为”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既非充分条件也不是必要条件参考答案：

A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则满足的的取值范围是__________．参考答案：略12.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值为_____________.参考答案：或或13.已知向量，满足，且，则的夹角为

。参考答案：60°

略14.已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a=

．参考答案：-3【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为（0，2），（1，0），（，2）目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点A（，2）处取得最大值4．3×+2+a=4，解得a=﹣3故答案为：﹣3．15.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在内的两个零点，则sin（x1+x2）=______．参考答案：

解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]内的两个零点，

可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，

即为2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2，

即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1），

由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．

另解：由对称性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．16.已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为

．参考答案：[27，30]【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】令x=，y=，z=3x+8y，将条件转化为关于x，y的不等式，并求出x，y的范围，作出平面区域，根据平面区域得出z取得最值时的位置，再计算z的最值．【解答】解：∵，∴，设x=，y=，则有，∴，作出平面区域如图所示：令z==3x+8y，则y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点A时，截距最大，即z最大；当直线y=﹣+与曲线y=相切时，截距最小，即z最小．解方程组得A（2，3），∴z的最大值为3×2+8×3=30，设直线y=﹣+与曲线y=的切点为（x0，y0），则（）′|=﹣，即=﹣，解得x0=3，∴切点坐标为（3，），∴z的最小值为3×3+8×=27．∴27≤z≤30，故答案为：[27，30]．【点评】本题考查了线性规划的应用，将三元不等式转化为二元不等式，转化为线性规划问题是解题的关键，属于中档题．17.已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．若f（x）=2f′（x），则=．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=cosx﹣sinx，结合题意可得sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），变形可得tanx=，由同角三角函数的基本关系式分析可得=，将tanx=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx﹣sinx，又由f（x）=2f′（x），即sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），变形可得cosx=3sinx，即tanx=，==，又由tanx=，则===；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的单调区间；（2）设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）

在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）假设存在实数，使得，则1

当时，，在上单调递减∴即，得

②当时，，在上单调递增∴即，得

3

当时，在，，在上单调递减在，，在上单调递增略19.（本题满分15分）已知等比数列前项和为,且，各项均为正数的等差数列的前项和为且,(1)求数列的通项公式和（2）若成等比数列，求（3）在（2）的条件下证明参考答案：（1）由已知得

又（2）成等比数列（舍去）

（3）由（2）知

20.已知二次函数为常数,的一个零点是,函数是自然对数的底数,设函数.（1）过点坐标原点作曲线的切线,证明切点的横坐标为；（2）令,若函数在区间上是单调函数,求的取值范围.参考答案：(1)证明见解析；(2).试题解析：解：（1）是二次函数的一个零点，。设切点为则切线的斜率。整理得显然，是这个方程的解。上是增函数，则方程有唯一实数解，故则，设则易知在上是减函数，从而.①当即时，在区间上是增函数.111]在上恒成立，即在上恒成立.在区间上是减函数。则满足题意.1111]考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性.【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用.本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题.而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域.21.（16分）已知函数f（x）=loga，（a＞0，且a≠1）．（1）求函数的定义域，并证明：f（x）=loga在定义域上是奇函数；（2）对于x∈[2，4]，f（x）=loga＞loga恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由＞0解得定义域，在定义域范围内考察f（﹣x）=﹣f（x）成立．（2）根据对数的性质，转化为真数大小关系恒成立，再利用分离参数法求m范围．【解答】解（1）由＞0，解得x＜﹣1或x＞1，∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f（﹣x）=loga=loga=﹣loga=﹣f（x），∴f（x）=loga在定义域上是奇函数．（2）由x∈[2，4]时，f（x）=loga＞loga恒成立，①当a＞1时，∴＞对x∈[2，4]恒成立．∴0＜m＜（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]则g（x）=﹣x3+7x2+x﹣7，g′（x）=﹣3x2+14x+1，∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15．∴0＜m＜15．②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，f（x）=loga＞loga恒成立∴＜对x∈[2，4]恒成立．∴m＞（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）max=g（4）=45，∴m＞45．∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，不等式恒成立