广西壮族自治区河池市永安乡中学高三数学理联考试题含解析

广西壮族自治区河池市永安乡中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，输出的值为

参考答案：62略2.如图，在三棱锥中，面，，，，，则（

）A． B． C． D．参考答案：D根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．3.设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，（

）A．

B．

C．

D．参考答案：4.已知集合，，则（

）． A． B． C． D．参考答案：B∵或，，，故选．5.点的直角坐标是，则点的极坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

解析：都是极坐标6.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.设U＝R，A＝，B＝，则＝（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】分别求出集合，，直接进行交集运算即可.【详解】A＝，，.故选:D【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题.8.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()．A．12π

B．24πC．32π

D．48π参考答案：【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】D由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，

该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为×4=4，即球的半径为2，所以该球的表面积是4π(2)2=48π．故选D．【思路点拨】该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，故可求结论．9.给出下列三个结论：（1）若命题为真命题，命题为真命题，则命题“”为真命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“”.则以上结论正确的个数为A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C为真，则为假，所以为假命题，所以（1）错误.“若，则或”的否命题为“若且，则”，所以（2）错误.（3）正确.选C.10.复数，则实数a的值是（

）A．

B．

C．

D．－参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，其中，若过原点且斜率为k的直线与曲线相切，则的值为

▲

.参考答案：12.平面向量与的夹角为，，，则=________.参考答案：略13.已知锐角，满足,则的最大值为

．参考答案：14.若向量=（1，1）与=（λ，﹣2）的夹角为钝角，则λ的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，由此可得关于λ的不等式，解可得答案．【解答】解：根据题意，若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，即有?=1×λ+1×（﹣2）=λ﹣2＜0，且1×λ≠1×（﹣2），解可得：λ＜2，且λ≠﹣2，即λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）；故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．15.在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为

.参考答案：16.已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是

参考答案：∵向量与向量的夹角是钝角，∴，且由，且，得令，则，于是故，，且17.设，定义，，其中，则数列的通项

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足是公差不为零的等差数列，为等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点。

（I）求的值；

（II）点能否在同一条直线上？证明你的结论。参考答案：解析：（I）

（II）设

19.数列{an}、{bn}满足：an+bn=2n﹣1，n∈N*．（1）若{an}的前n项和Sn=2n2﹣n，求{an}、{bn}的通项公式；（2）若an=k?2n﹣1，n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）根据当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1进行求解即可得{an}、{bn}的通项公式；．（2）根据an+bn=2n﹣1，求出bn=2n﹣1﹣k?2n﹣1，利用bn}是单调递减数列，建立不等式，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣2（n﹣1）2+（n﹣1）=4n﹣3，当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，满足an=4n﹣3，∴an=4n﹣3，∵an+bn=2n﹣1，∴bn=2n﹣1﹣an=2n﹣1﹣4n+3=﹣2n+2．（2）若an=k?2n﹣1，则由an+bn=2n﹣1得bn=2n﹣1﹣an=2n﹣1﹣k?2n﹣1，∵数列{bn}是单调递减数列，∴bn+1＜bn，即2（n+1）﹣1﹣k?2n＜2n﹣1﹣k?2n﹣1，即2＜k?2n﹣k?2n﹣1=k?2n﹣1，即，恒成立，∵在n≥1时为减函数，∴当n=1时，函数取得最大值为2，即k＞2．20.河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634

（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在[25,35)，[65,75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考答案：（1）见解析（2）见解析试题分析：（1）由频数分布表求出年龄在[35，45）的频率，从而求出对应的小矩形的高，由此能补全频率分布直方图．（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：（1）补全频率分布直方图如图年示：（2）的所有可能的取值为0，1，2，3，，，，0123

所以的数学期望为.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21.已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，﹣6）的距离之比均为．（1）求曲线C的方程．（2）设点P（1，﹣2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．【解答】（1）解：曲线C上的任意一点为Q（x，y），由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，﹣2）故可设PA：y+2=k（x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，，所以故直线BC的斜率为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题．22.已知函数（Ⅰ）若求在处的切线方程；（Ⅱ）求在区间[1,e]上的最小值；（III）若在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围．参考答案：（I）在处的切线方程为………..3分（Ⅱ）由由及定义域为，令①若在上，，在上单