【培优卷】2024年北师大版数学八年级下册5.4分式方程 同步练习

【培优卷】2024年北师大版数学八年级下册5.4分式方程同步练习一、选择题1．若关于x的分式方程x+m4−x2A．m=2或m=6 B．m=2 C．m=6 D．m=2或m=−62．若实数a，b，c满足条件1aA．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等3．若关于x的不等式组2x−1<5x−4136x−83A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4A．23 B．20 C．16 D．105．若二次根式2−m有意义，且关于x的分式方程m1−x+2=3A．−7 B．−6 C．−5 D．−46．如果关于x的不等式组m−5x≥2x−112<3(x+1A．13 B．15 C．20 D．227．对于a、b定义a★b=1a−b2，已知分式方程x★(−1)=xA．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>38．某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（）A．不盈利也不亏损 B．盈利30元C．亏损30元 D．盈利10元二、填空题9．当m=，关于x的分式方程x+5x−210．若实数a.b满足a24+43+b2411．取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：−1，1，−2，2，−3，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程x−mx−2+112．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是三、解答题13．某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机）（1）问每辆A、B型客车分别可载多少人？（2）该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？14．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为ρ甲，ρ乙的液体混合(ρ甲<ρ乙（1）请用含ρ甲，ρ乙式子表示（2）比较ρ1，ρ（3）现有密度为1.2g/cm3的盐水600g，加适量的水（密度为15．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．方法分析问题列出方程解法一设……等量关系：甲商品数量=乙商品数量2000解法二设……等量关系：甲商品进价-乙商品进价=202000任务：（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．A．甲种商品每件进价x元B．乙种商品每件进价x元C．甲种商品购进x件（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）四、实践探究题16．探索（1）如果2x−3x−1=2+nx−1（2）如果5x+3x+2=5−nx+2（3）总结如果ax+bx+c=a+nx+c（其中a（4）应用若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x17．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+（3）猜想关于x的方程x−1x（4）在解方程：y+y+218．探索规律：（1）直接写出计算结果：11×2+1（2）由(1)的计算过程知，1nn+2（3）运用规律：1xx19．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断分式方程11−x+1=2（2）已知关于x，y的方程：4x2+9（3）已知关于x，y的二元一次方程：y=(k+1)x−4和x=y+3k（其中k为整数）是“相伴方程”，求k的值．

答案解析部分1．答案:A解析：∵分式方程x+m4−x2+xx−2=1有增根，

∴4-x2=0，

解得：x1=2，x2=-2，

将分式方程x+m4−x2+xx−2=1转换为整式方程可得：x+m-x（x+2）=4-x2，

∴x+m-x2-2x=4-x22．答案:B解析：解：1a+1b+1c=1a+b+c，

方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，

整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，

∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，

c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，

3．答案:B解析：解：2x−1<5x−4①136x−83a≥32x−2a②

解①得：x>1，

解②得：x≥a，

∵关于x的不等式组的解集为x≥a，

∴a>1，

x+3x−1+a1−x=2

解得：x=5−a，

故答案为：B.

分析：解不等式组结合关于x的不等式组的解集为x≥a，得到a的取值范围为a>1，解分式方程即可得到a的取值范围为：1<a≤5且a≠4，进而即可求解.4．答案:C解析：解：分式方程16x(x−4)+2∵8a−2是正整数且不为0或4

∴a=3，6，10

解不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a得3（y+1）−2（y−1)>61−y≥6−2a

解得y>1y≤2a−5

若此不等式组有解，应2a−5>1

∴a>3

分析：根据题意分别解分式方程和不等式组，计算出符合条件的整数求和即可，其中注意分式方程的根要使分式方程有意义。5．答案:D解析：解：∵二次根式2−m有意义，

∴2-m≥0，

解得m≤2；

在方程m1−x+2=3x−1的两边同时乘以(x-1)，

得-m+2(x-1)=3，

解得x=5+m2，

∵原方程的解是正数，

∴5+m2＞0，且5+m2≠1，

解得m＞-5且m≠-3，

综上m的取值范围为-5＜m≤2且m≠-3，

∴整数m的值可以为-4，-2，-1，0，1，2，

∴符合条件的整数m的和是-4-2-1+0+1+2=-4.

故答案为：D.

6．答案:B解析：解：m−5x≥2①x−112<3x≤m−25，

由②得：x-112＜3x+32，

2x-11＜6x+3，

-4x＜14，

x＞−72，

∴不等式的解集为：−72＜x≤m−25，

∵不等式组有且仅有四个整数解，

∴0≤m−25＜1，

∴2≤m＜7，

解分式方程得：2-my+8=2-y，

y-my=-8，

（1-m）y=-8，

y=8m−1，

∵分式方程有非负数解，

∴8m−1故答案为：B.分析：分别解出不等式组和分式方程，根据题意得出m的不等式，解得m的取值范围，从而得解；注意解分式方程时记得验根.7．答案:D解析：解：由题意可得：

x★(−1)=1x−1=x3−3x

解得：x=-3，经检验，x=-3是原方程的解

将x=-3代入不等式得：-3(2-a)-3>0

8．答案:C解析：解：设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，

90−xx=50%，

解得：x=60，

90−yy=−40%，

故答案为：C.分析：设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，根据题干"按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%"，据此列分式方程90−xx=50%，即可求出宸宸的进价，根据题干"“莲莲”却亏损了40%"，列分式方程9．答案:6或30解析：解：(x+2)(x+5)+x−m=(x−2)×2（将公式两边同时乘以(x−2)(x+2)的最小公倍数x−2，x22−4，x+2.）

x2+7x+10+x−m=(x−2)×2（使用分配律将x+2乘以x+5，并组合同类项.）

x2+8x+10−m=(x−2)×2（合并7x和x，得到8x.）

x2+8x+10−m=2x−4（使用分配律将x−2乘以2.）

8x+10−m=2x−4−x2（将方程式两边同时减去x2.）

8x+10−m=2x−4−x2−8x（将方程式两边同时减去8x.）

10−m=2x−4−x2（合并2x和−8x，得到−6x.）

−m=−6x−4−x2−10（将方程式两边同时减去10.）

−m=−6x−14−x2（将−4减去10，得到−14.）

m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）

∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，

∴x≠±2

把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.

故答案为：6或30.

分析：本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.10．答案:286解析：解：由a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.

由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.

②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，

所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，

得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.故答案为：286.

分析：本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.11．答案:1解析：解：

x−mx−2+1x=1

x(x-m)+x-2=x(x-2)

（3-m）x=2

原方程无解时，有三种情形：

情形1，3-m=0，则m=3

情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2

情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。

综上，当m=3或m=2时，原方程无解。

∴无解的概率是：26＝12．答案:1解析：解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为25x∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720∴2m+2解得x＝30m，∴7月份摆摊增加的营业额为25×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，∴3m+y5m+18m−y解得y＝13m，∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是5m3m+5m+2m+30m＝1故答案为：18

分析：根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为25x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣13．答案:（1）解：设每辆A型客车可载x人，则每辆B型客车可载(x−10由题意得：900x解得：x=45，经检验，x=45是原方程的解，且符合题意，则x−10=35，答：每辆A型客车可载45人，则每辆B型客车可载35人；（2）解：设租A型客车a辆，则租b型客车(16−a由题意得：1200a+1000(解得：7≤a≤9，∵a为正整数，∴a取值为7，8，9，∴有3种租车方案，①租A型客车7辆，B型客车9辆，费用为：1200×7+1000×9=17400（元）；②租A型客车8辆，B型客车8辆，费用为：1200×8+1000×8=17600（元）；③租A型客车9辆，B型客车7辆，费用为：1200×9+1000×7=17800（元)；∵17400<17600<17800，∴租A型客车7辆，B型客车9辆较省钱，费用为17400元．解析：（1）根据题意先求出900x=700x−10，再解方程即可；14．答案:（1）解：由题意得m甲=Vρ则ρ（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是m，则ρρ1∵ρ甲<ρ（3）解：设需要加水xg，根据题意得：600+x去分母，得：1.1(x+500)=600+x，解这个整式方程，得经检验，x=500是分式方程的解．答：需要加水500g解析：（1）根据题意列出分式，化简即可。

（2）先表示出ρ2，结合（1）得到的ρ1，利用求差法求得ρ115．答案:（1）A；C（2）50；30（3）解：设甲商品购进a件，则乙商品购进(40−a∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，∴50a+30(∴a≤12，由题意得W=(∴W=15a+600．∵15>0，∴当a=12时，W最大，最大值为15×12+600=780（元）．答：该商店获得最大的利润W为780元．解析：(1)解：由甲商品数量=乙商品数量可得：2000x由甲商品进价-乙商品进价=20，可得：2000x故答案为：A；C．(2)2000x去分母得：2000(x−20)=1200x整理得：5x−100=3x解得：x=50经检验：x=50是原方程的解，且符合题意；∴x−20=30答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为30元/件．故答案为：50；30．分析：（1）根据题意直接求解即可；

（2）根据题意列出方程2000x=1200x−20，再求解即可；

（3）设甲商品购进a件，则乙商品购进16．答案:（1）−1（2）7（3）b−ac（4）解：由题意知，4x−3x−1∵代数式4x−3x−1∴1x−1∴x的值为0或2解析：解：（1）∵2x−3x−1=2x−2−1x−1=2−1x−1

∴n=−1；

故答案为：−1.

（2）∵5x+3x+2=5（x+2）−7x+2=5−7x+2

∴n=7；

故答案为：7.

（3）∵ax+bx+c=a（x+c）+b−acx+c=a+b−acx+c

∴17．答案:（1）x（2）x1=a（3）解：猜想关于x的方程x−1x=112的解为x1=2，x