新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州呼图壁县第一中学2023-2024学年高二上学期期初模块测试数学试题【含答案】

呼图壁县第一中学2023-2024学年第一学期高二年级期初数学模块测试卷分值：150分时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分）1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设复数，则，根据复数的加减法与复数相等求得结果.【详解】设复数，则，则，则，，所以．故选：C.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标运算，向量平行可得到，从而解出的值【详解】因为，所以两个向量的坐标满足，即：，得：故选：B3.如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：①与所在直线平行；②与所在直线异面；③与所在直线互相垂直；④与所在直线成角是．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项.【详解】如图，直线与是异面直线，故①错误；直线与是异面直线，故②正确；直线，故③错误；如图，，所以异面直线与所成角为，而三角形是等边三角形，所以，故④正确.故选：B4.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（）A.2件都是一级品 B.2件都是二级品C.一级品和二级品各1件 D.至少有1件二级品【答案】D【解析】【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.事件A，B，C两两互斥，所以，又由表示“至少有1件二级品”故选：D.5.在中，已知，则的形状为（）A直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得.【详解】因为，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D6.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14.故选：D.7.在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则（）A.1 B.-1 C. D.【答案】D【解析】【分析】易得E为三角形的重心，然后利用平面向量基本定理求解.【详解】解：由题可知E为三角形的重心，则，∴，，∴．故选：D8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.

二、多选题（每题5分，共20分）9.某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（）A.这次抽样可能采用的是抽签法B.这次抽样不可能按性别分层随机抽样C.这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率D.这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率【答案】AB【解析】【分析】根据抽样方法的概念求解即可.【详解】根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确；若按分层抽样，则抽得的男女人数应为4人，3人，所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样，B正确；若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C,D错误.故选:AB.10.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为B.方程的复数根为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【答案】BD【解析】【分析】化简即可判断A项；根据韦达定理，即可得出B项；化简得出，求出共轭复数，根据复数的几何意义，即可判断C项；根据复数的几何意义，即可得出D项.【详解】对于A，，虚部为3，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：BD.11.下列命题正确的是（）A.对立事件一定是互斥事件B.若为不可能事件，则C.若事件，，两两互斥，则D.事件，满足，则，是对立事件【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A；根据为不可能事件，可判定，互斥即可判断B；举反例可判断C，D.【详解】由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，A正确；由于为不可能事件，所以，互斥，则，即B正确；事件，，两两互斥，比如掷骰子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件：“3次出现正面”，则，，满足，但，不是对立事件，故D不正确．故选：AB12.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为【答案】AC【解析】【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.三、填空题（每题5分，共20分）13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为_________．【答案】【解析】【分析】将图还原成正三角形，求出其面积，再根据面积比即可得到答案．【详解】解：如图所示：因为，所以，且为正三角形，则，因此中，，∴，故答案为：．14.已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用线面平行的判断定理，性质定理，以及面面平行和面面垂直的性质定理判断.【详解】①如果，那么或，故①不正确；②如果，那么，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；③如果，那么，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；④缺少这个条件，故④不正确.故答案为：②③15.已知样本5，6，7，a，b的平均数为7，方差为2，则_________．【答案】72【解析】【分析】根据平均数以及方差的计算公式列方程，解方程即可求解.【详解】因为样本5，6，7，a，b的平均数为7，所以，，由方差定义可得，即，即，将代入，得．故答案为：7216.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是______．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式可求得结果【详解】由余弦定理得，，即，化简得，解得，所以，故答案为：四、解答题17.已知复数．（1）若的实部与的模相等，求a的值；（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值；（2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围【小问1详解】依题意，，因为的实部与的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．【小问2详解】因为，又在复平面上的对应点在第四象限，所以解得，所以a的取值范围是．18.已知，，且与的夹角为.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；（2）首先根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得.【小问1详解】由已知可得，所以，所以.【小问2详解】因为，所以.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设与的交点为，连接，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接交于点O，连结,因为为矩形，所以O为的中点,又E为的中点，所以,平面，平面，所以平面.（2）因为,所以，所以底面为正方形，所以，因为，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面.【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.20.某工厂有工人名，其中名工人参加过短期培训（称为类工人），另外名工人参加过长期培训（称为类工人）．现用分层抽样方法（按类，类分二层）从该厂的工人中共抽取名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）类工人和类工人各抽取多少人（2）将类工人的抽查结果分别绘制成频率分布直方图（如图1），根据频率分布直方图通过计算估计类工人的中位数，众数，平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）【答案】（1）；（2）；；（3）类工人个体间的差异程度更小【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念直接计算；（2）根据频率分布直方图，利用中位数，众数，平均数的概念及公式直接计算；（3）根据频率分布直方图直接可得结论【小问1详解】解：由已知分层抽样可得：类工人抽取人，类工人抽取人；【小问2详解】解：中位数：设中位数为，由频率分布直方图可得，，所以，且，解得：，即中位数为；众数：由频率分布直方图可得众数为；平均数：，即平均数为；【小问3详解】根据频率分布直方图可判断类工人个体间的差异程度更小.21.甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．【答案】（1）答案详见解析（答案不唯一）（2）（3）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.（3）根据甲、乙的胜率进行说明.【小问1详解】用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：．【小问2详解】甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．【小问3详解】甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．22.记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．（1）求B；（2）从下面三个条件中选择两个作为已知条件，求a与c的值．条件①：；条件②：的而积为；条件③：．注：如果选择不同的组合分别解答，接第一个解答计分．【答案