高考数学大纲公式答题技巧复习资料

典型易错题会诊

命题角度1

不等式的概念与性质

1.(典型例题)如果a、b、c满足c〈b〈a,且ac〈O,那么下列选项中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(b-a)>0

C.cb2<abJD.de(a-c)<0

［考场错解］AVb>c,而ab,ao不一定成立，原因是不知a的符号.

［专家把脉］由d>b>c,且ac〈0.则。与c必异号，又由a>c,故a>0,c<0,条件分析不透.

［对症下药］C.由a〉b〉c且ac>0,故a>0且c<0.

(1)由b>c,又ab>ac.(2)\'b-a<0,c<0=>(b-a)•c>0,D.a-c>0,ac<0=>ac(a-c)<0,

而C中当b=0时显然不成立，故选D

2.(典型例题)若则下列不等式①a+b>ab;②|a|>,b；③a〈b④2+@>2中，正确的不等

abab

式有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［考场错解］A只有①正确，②、③显然不正确，④中应是2+故④也错.

ab

［专家把脉］:④中忽视与不可能相等，b,故

ab

［对症下药］B方法1：运用特值法，如a»,b=-3.

方法2：运用性质由,<,<(),则b<a<0,故而判断.

ab

3.(典型例题)对于给出下列四个不等式

①10ga(l+0)<10ga(l+U

a

@loga(l+o)>log(l+—)

aa

l+i

③a'%a

其中成立的是()

A.①与③B.①与④

C.②与③D.②与④

［考场错解］BVl+a<l+—,故loga(l+a)<log„(l+—).

aa

［专家把脉］对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样.

［对症下药］DV0<a<l./.a<l<—l+a<1+，而y=logax与y=a*均为减函数.Aloga(l+a)>

aa

1.d

1ua

loga(l+—),a>a.

a

4.（典型例题）已知实数a、b满足等式（g）“=（；）%,,下列五个关系式①O〈b<a②a<b〈O

③O〈a<b@b<a<0⑤a=b

其中不可能成立的关系式有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［考场错解］C...a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故①②③④只有可能两个成立，故有3

个不可能成立，即alg，=big1,-alg2=-blg3.

23

又..Tg2Gg3,...aVb,故②③正确.

［专家把脉］题目中不可能成立，⑤中当a=b=O时，g）a=ga，所以有可能成立.

［对症下药］B由错解中可知a《b,故②③正确.而a=b=O时也可能成立，故不可能成立的只

有①④.

专家会诊

（1）比较两个实数的大小，可采用作差和作商法，然后适当变形（如配方、因式分解等）后才能判断

其符号.

（2）不等式性质的适用时要注意它的条件，如“ab>0时，a>bo，>L”,不能弱化条件变成

ab

^a>b<^-<-n也不能强化条件变为ua>b>O«l<l"

abab

考场思维训练

1若，|a|>,|b|>0,且ab>0,则下列不等式中能成立的是（）

A、.—1>1—nB.---1---->—1

aba-ba

22

答案：C解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，・・・|a|,|b|>0,

又0<工<1,/lOgi|a|<log］|b|,由此也可直接得结论，应选C

2——

22

2己知a、b为不等正数，s<t<0,M=—,N=心弛，则M、N的大小关系是

a+b2ab

2

答案：M>N解析：由且-2_=（2>（）>0,

2abab2ab（a+b）

得j>-—,由s<t<O=O〈-t<-s,故（〃+/，）・（-•，）>旦=二如如上

2aba+blaba+ba-\-blab

命题角度2

均值不等式的应用

1.（典型例题）设a>,0,b〉0,则以下不等式中不恒成立的是（）

A.（a+fe/-+1'］>4B.a3+b2,>2ab2

C.+2>2a+2bD.Ja-b\之-yfu—yfb

［考场错解］Di之不一定大于或等于后-新

［专家把脉］D中直接放缩显然不易比较.

［对症下药］BA：a+b22ab,—+—>2*—(«+/?)［—+—|>4(a=Z?EFfIX=)

abab\ab)

・•・成立

C：a2+b2+2=a2+l+b2+l>2a+2b(当且仅当a=b二l时取“二”)

・•・成立

D：两边平方|a-bI2a+b-24ab(y［a>4b)

/.a-b>a+b-2y［ab或a-b^-a-b+24ab当&《新时显然成立.

解得a》b或aWbJ成立.

2.(典型例题)设xd(O,“)，则函数f(x)=sinx+」一的最小值是()

sinx

A.4B.5

C.3D.6

［考场错解］因为x£(0,n),所以sinx〉O,—^―>0,f(x)=sinx+-^—>2Jsin=4,因

sinxsinxVsinx

此f(x)的最小值是

4.故选A

［专家把脉］忽略了均值不等式a+b22旅(a.0,b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号

成立.事实上，sinx=——不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2,这不可能.

sinx

［对症下药］(1)f(x)=sinx+J=sinx+」一+『,因为sinx+—22,当且仅当sinx=l即

sinxsinxsinxsinx

x=—时等号成立.又二一23,当且仅当sinx=l即x二工时等号成立.所以f(x)=sinx+—22+3=5,

2sinx2sinx

f(x)的最小值是5.故应选B.

(2)令sinx=t,因为xW(0,Jr),所以0<tWl,所给函数变为y=t+4.易知此函数在区间(0,1)

t

上是减函数，所以，当时，y取最小值5.故应选B.

3.(典型例题)设a20,b20,a2+—=1,求a"2的最大值.

2

［考场错解］0iaJl+b2=，(2a)・Jl+b2«，・4心+(1+庐)

222

i=l［a2+l+a2+^.］=l［(tz2+l)+1］>3(a=o时取等号)［专家把脉］并非定值.

222224

［对症下药］为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”.

I----/+]+力2

3/------

拉・,=迈，当且仅当“=时取“=”

专家会诊

(1)利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件，必须验证

确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.

(2)利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时，要会利用函数的思想和放缩法.

考场思维训练

2222

1已知/+信=\h>+c=2,c+a=2,则加?+从+因的最小值为)

V

4H2

£>.-+73

2

a2+b2=1

答案:B解析：联立b2+c2=2

c2+a2=2

在

2

立

解得

2

V62

若ab+bc+ca取最小值可令b=冬”冬…牛则

ab+c+ca=

y4-v1v1

2.若x>2,y>2,0<n?<1,且a=2gM?,b=—.(logmx4-log/w),c=—log/M(x+y),则〃〃c的大小关系是

答案：解析：a^b<cVJxy,0<m<l

logmx+logay,,・\aWb，

/—+—<J-+—=1.又•••()vmvl,.'.bvc.故aWbvc.

YxyV22

3.若0<xvL则f(1-3x)的最大值是______.此时x=_________.

3

答案：解析：・・・x2(l-3x)=3x・x・心-2x)W」-,当且仅当x=2-2x,即x=2时，取得最

24392324339

大值」-

243

命题角度3不等式的证明

L(典型例题)设函数f(x)=

(I)证明：当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>l;

(ID点P(x。,y.)(O〈x<l)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角

形面积表达式(用x.表示).

［考场错解卜)・・・f(a)=f⑹,

12112Z?2-a22(a-b)_(a-h)(2ab-a-b)__.,,r-r.

—=1+——一=>—+—-----=0n----------------------------=0,.\2ab=a+b>2ylabah>1

222222

7abbababab

(2)v0<x<l,j=/(x)=(l_■-J=--1

・・f(AQ)=----y(0<A()<1),

殉

曲线y二f(x)在点(勺,为)处的切线方程为：y-y()=--y(x-x0),

出

y=—2----切线与x轴y轴正向的父点为(与(2-殉),0)和(0,—(2-与)).

即3项胸

故所求面积表达式为A(与)=g(2,To)2.

［专家把脉］在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.

［对症下药］(I)证法一：因

-----1,X€(0,1］,

,、1-1X故/•(©在(0』上是减函数，而在(1,欣)上是增函数.

f(x)=X

1-----,xe(1,+x).

x

由0<4<bRf(a)=/(A)得0<〃<1<力和,-1二1一4

ab

即L+=2=>2ab=<?+/?>2\[ab.

ab

故>1,即a/?>I

证法二：由/'(a)=/3)得I-1=1-L若1-■!■与1一-^同号，可得1一~-=1一~-=>a=6.与0<avZ?矛盾.

abqbab

故1--与1---必异号.

ab

BP--1=1---=>—+—=2.

abab

即L+L=2n2ab=a+b>2^fab.

ab

故4F>i,即">i.

(II)解法一：0<x<l时，y=f(x)=1--=--l.

XX

f'(殉)=—y,o<x0<1曲线)，=/(x)在点P(Xo，%)处的切线方程为：y-=i

*殉

/\

切线与x轴y轴正向的交点为(3(2-而),0)和0,」y(2-3).

I#)

111c

2

故所求一三角形面积表达式为：A(XQ)=—A-o(2-X0).一(2-x0)=—(2-x0).

2勺2

解法二：设过点P(Xo,孔)处的切线方和为：厂丫产1<&,。)，1<为待定系数.

代入y=/(x)」-i(o<x<i)

X

并整理得kx2+(yo+l-kxo)x-l=0.

因为P是切点，所以方程有重根，故判别式

△二(丁0+1-Ax。)2+4Z=(-!——"+4Z=0.

2

即1-------1-AXQI=0n&=--\r(0<与<1).

(31所

曲线y=/(x)在点处的切线方程为：y-%=---(X-XQ),

蛤

即),=—5+土也.

切线与X轴y轴正向的交点为(沏(2-4),0)和［o,;(2-3))

故所求三角形面积表达式为：

A(xo)=:3(2--(2-勺)=〈(2-工0)2.

232

2.(典型例题)已知an=71x2+J2x3+•••++(nGN*),

+〃(〃+2)

求证:<a,.<-------

2---〃2

［考场错解］当〃eN*考有/心+1)>n.

=Jlx2+)2x3+，3x44---F+1)>1+2+34---F〃=+"

又“(〃+1)<H+1,

/.an=Jlx2+、2x3+…+yjn(n+1)<2+3+…+〃+(〃+1)='

综上所述，有普〈誓1成立.

n(n+3)#n(n+2)

［专家把脉］在证册<“("；2)时，向丽'<n+1放缩时得过大,2+3+…+("+1)=

22

［对症下药］(1)同上.

<〃(〃+2)

(2)下证：a

n2

•••J〃5+l)<n+n+\

2

1+22+3〃+〃+11、/7+1n(n+2)

a„<----+----+••-+-------=—+(2+3+…+〃)+----=-------

“222222

综上(1),(2)得：迪也<<a"义.

22

3.(典型例题)设二次函数f(x)=ax?+bx+c(a,b,cWR且aWO),若函数y=f(x)的图象与直线y=x和y=-x

均无公共点。

⑴求证：4ac-b2>1;

(2)求证：对一切实数X,恒有\6ix2+bx+c|>」一

4|a|-

［考场错解］(1)(x)的图象与y=x,y=-x均无公共点，

尸羽与y=-x,

2均无解•

y=av24-bx+c,y-ax+bx+c.

2

也就是:ar24-(/?+I)x+c=0,av2+(b+\)x+c=0均无解='<°,相加得y+l-4ac<0.\4ac->l.

A2<0.

lx二一二处的最小值大于上

要证Ia?+8+c|>_J_.即/(x)在对称轴..故证：f(一--)>——

4|a|41al2a41al

(2)2

b24ac-b11

.[ax2+法+c|>a+b+c----+c>----.

4a4a41al

［专家把脉］在运用二次函数的性质证明不等式时，忽视了a>0与a<0两种情况的讨论。

［对症下药］(1)同错解(1)

4ac-b2>1=>Z?2-4ac<—1<0,

/.f(x)=ax2+hx+c

(2)由若a>0,f(x)>0(xGR)恒成立.

若。<0,/(x)<0(xGR)恒成立.

当耐，

2+c=4ac”,

Iax2+bx+cf>a+b

4|。|

当4<(X时ax2+bx+c\=-(ax2+bx+c)>-+c

b2-4ac4ac-h21

之------.

4a4(—a)4"|

综上所述不等式成立

专家会诊

(1)证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、

换元法等.

(2)对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的

基本证明方法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。

考场思维训练

1.已知函数/(X)=：4+cx(〃,c为常数)，

(1)若f(x)在x=l和x=3处取得极值，试求b、C的值；

答案：解析：(l)f'(X)=x2+(b-l)x+c,

由题意得，1和3是方程x2+(bT)x+c=0的两根

⑵若f(x)在(-8,x)U(X2,+8)上单调递增且在(％,X2)上单调递减,又满足X2-X】>1.求证:

b2>2(b+2c)；

答案：由题意得，当X£(-8,XI)U(X2,+8)时，f'(x)>0；x£(x”X2)时f',(x)<0,

.'.Xi,X2是方程f',(x)=X2+(b-l)x+c的两根，

则xi+x2=l-b,X1X2二c,

b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-l)2-4c-l

=(X1+X2)"4XIX2-1=(X2-xi)2T.

Vx2-X1>l,(X2-X1)2-1>O,

/.b2>2(b+2c).

(3)在(2)的条件下,若t<Xi,试比较t?+bt+c与Xi的大小,并加以证明。

2

答案：在(2)的条件下,x+(b-l)x+c=(x-xi)(x-x2),

即x2+bx+c=(x-xi)(X-X2)+X,

所以tJ+bt+c-xi=(t-xi)(t-X2)+t-xi

=(t-xi)(t+l-x2)，

Vx2>l+xi>l+t,/.t+l-X2<0,又t<xi,

/.t-Xi<0,

.'.(t-xi)(t+l-X2)>0,即t2+bt+c>xi.

2.已知数列｛x“｝满足:x„+i%=匕,由=1

x"+i

(1)问是否存在mGN*，使x.=2,并证明你的结论；

答案：假设存在mGN*,使x“=2,则2=拓-+4=x,i=2,

xm-\+1

同理可得X『2=2,

以此类推有xi=2,这与刈=1矛盾，故不存在mWN*,使xm=2.

(2)试比较x.与2的大小关系；

⑶设an=|X"-21,求证当”>2时<2-2i.

i=l

答案：当ne2时，x““，=l+,则x0>0,.工田一2

xn+1xn+1xn+1xn+1xn+1

与x「2符号相反，而xi=l<2,则X2>2,以此类推有：X2„-I<2,X2„>2；

•••Xn+l==1+—=1,贝卜〃>1,

小1%+1

“〃+4、

--I—21==舒<仙,

⑶an<；%一1<…<（；）"N2）

•・<1+g+2+…+（；）〃-=---^\~=2-2>〃.

i=l1-----

2

命题角度4不等式的解法

1.(典型例题)在R上定义运算®:x8y二x(l-y),若不等式(x-a)®(x+a)vl对任意实数x成立,则a

的范围是）

A-\<a<\BO<67<2

c13八31

D—<ci<.一

2222

［考场错解］A;=(工+。)(。一幻=次-/<1

：.I?vJ+1,即〃2v1,故一1<。<1

［专家把脉］对x③y=x("y)的运算关系式理解不清。

［对症下药］•.,。一。)③*+々)=*+砂(1一工一〃)=*一。)(1-4)-/3-4)〈1,即一。2+4>一(/一X+1)

11o3

即〃*"一。（（工）4.

24

23

a-a<—

4

即或一l<a<—

22

2.(典型例题)己知函数f(X)=_^-(〃,b为常数)且方程〃x)r+12=0有两个实根为修=3,沏=4.

ax+b

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设k>1，解关于X的不等式：f(x)<伏+Dx-k

2-x

上2

［考场错解］(1)将X］=3,巧=4分别代入方程上--X+12=0得3a+b解得.：=所以/

"（X）（x+2）.

ax+b上=-8b=22-x

4〃+b

(2)—<(A+l)x1，即/<(«+1)*_&

2—x2-x

x2-(k+l)x+k<0,。一女)(无一1)<0

又,：k>1,故1vx<k.

［专家把脉］(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.

［对症下药］(1)同错解中(1)

(2)不等式即为工<优+1)1,可化为--伏+1)*+k<0即(x_2Xx-l)(x-&)>0.

2-x2-x2-x

①当l<k<2,解集为xe(l,k)U⑵+8)；

②当k=2时，不等式为(x-2)2(xT)>0解集为xG(l,2)U(2,+8)；

③当k>2时，解集为xG(1,2)U(k,+8).

3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的

1oga工<loga(l-^X0<a<l)的解集。

f(x)

［考场错解］y"+21<6,-6<h+2<6则对于xe(-1,2时不等式组<4,恒成立.

［kx>-8.

当k>0时，kW2,当k<0,k2-4.

；.k=2或-4.

当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。

10g«-~~-<log,(l-x)Wc

2x+2(

6

log«—-<logfl(l-x)

-4x4-2

［专家把脉］在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在xG(7,2)时恒成立，而k的值并不能使之

成立.

［对症下药］•.1kx+2|<6,二(kx+2)2<36,

即kx2+4kx-32<0.

AL

--=(-1)+2,

k2

由题设可得

-32

~~2~=(-l)x2,

解得k=-4,；.f(x)=-4x+2.

由log.—^―<log。(1-x)(0<6Z<1)得

f(x)

“goJ/0ga(D，

-4x+2

-4x+2>0

则I1〉。①

鼻>1

②

③

由①解得V，由②解得x〈l,由③得安1＞占卜＜萍＞2,

原不等式的解集为卜I-g＜x＜g

4(典型例题）设对于不大于

2的所aM粒|»«1</2«不若亦期满或xM吗萍遥敝

4

［考场错解］A={x|a-b<x<a+b),

2

8=卜|cJ-g<X<a+：］,由题设知,AcB,

91

a-b>a—,

故2必成立.

a+b<a2+一,

/.b<-a2-a+—^

2

15

/?<a29-a+—(0<a<—)

111

<b<—a—a-\—=(a---)2H—

164224

坦

416

44

［专家把脉］在求b的范围时，应考虑必成立的条件，如人工+吗..-2+吗，器

与才能上式恒成立.

16

［对症下药］,e•A=(x|a-b<x<a+b},

B=\x\cr--<x<cr

\22j

由题设知,AqB.

a-b>a2

2

故，必成立.

21

a+b<a+2,

即Z?<-a2+a+,和b<a2(0<a<*)必成立..

224

3

从而打

2{I,316

21113“HL1

a-a+—e，从而力《一

24164'

,’13

hW—

16

3

又,：b>0,故0<b<一.

16

专家会诊

1.解分式不等式时，应将化为等价的整式不等式，避免分类讨论。

2.含绝对值的不等式应运用平方法，零点分段法、分类讨论及绝对值不等式的性质求解。

考场思维训练

1关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+8),则关于x的不等式竺¥>0的解集是()

x-2

A(-8,-1)u(2,+8)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D(-8,1)U(2,+8)

答案：A解析：a>0-且巴=1,空心>0=5■>Oo(x+l)(x-2)>0。x<-l或x>2.

bx-2x-2

2.若^■<。<肛则不等式logsina。-/)>2的解集是.

答案：(-1,cosa)U(-cosa,1)解析：V—<a<n,

2

.*.0<sina<1,logsina(1-a2)>2<=>0<l-x2<sin2aocos2a<x2<l,又cosa<0.

-1<x<cosa或・cosa<x<1.

3.解不等式二〉

x-1\x\

答案：解析：①当x>0时，原不等式为工>上ox>l,②当x<0时，原不等式为

x-\X

—>-lo(x+1)•(2xT)>0且x<0,.,.X<-1.

x-\X

综上①，②可得{x|xV-l或X>1}.

命题角度5不等式的综合应用

1.(典型例题)己知函数f(x)=ax-』x2的最大值不小于!，又当工以!』时/(x)N：.

26428

(I)求a的值；

(II)设0<a]<[,即+]=f(an\neN*,证明v—

2n+\

2

[考场错解](1)由于f(x)的最大值不大于士所以rd)=-即/<1

6366

生时/*)4

由①，②可得a=l.

an+\=。・斯一。*，

(II)3,

即即+1=an~~^an

j,当n=l时，0＜a＜；，结论成立。

77假设n=k(k＞1)时，不等式成立，即伙＜」一，则

，k+1

1f

32132k-12kk+\1

n=k+1时,4+]=以-------CIL<--------------------..

2人k+12[k+i2伏+1)22伏+1)2(%+2)22+2

故〃=k+1时命题成立.

由，，，可知,不等式成立.

［专家把脉］在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.

［对症下药］(I)解法：由于/(文)=的最大值不大于3，

26

2

所以sg即J&1.

366

所以］28即288解得3.

I,4814328

由①②得a=l.

(H)证法一：(j)当"=1时,0＜可＜；,不等式o＜a“)成立；

711

Et/*(x)>O,x€(0,—),所以0<02=f(〃)W—v—,故〃=2时不等式也成立.

363

(jj)假设"=%优22)时,不等式0<怎<占成立，因为f(x)=x-：x2的对称轴x=g,知f(x)在0,1为增函数,

所以由0<4<」一与■!■得

&+13

0<〃4)</(丁二)于是有

k+1

八131I11攵+41

0<a<\<--------.-------4-------------=--------------z------<-----

kk+\2(2+1)2k+2k+2&+22(k+\)2(k+2)k+2

所以当〃=k+1时，不等式也成立.

根据（j）（jj）可知，对任何〃GN*,不等式％成立.

证法二：（，）当〃=1时,。<<g,不等式。<an<成立;

(jj)假设〃=k(k>1)时不等式成立，即0<ak<%匕,则当〃=k+1时，

3133

4+]=4(1—以)=----.[k+2)d^.(1—4)因(k+2)〃&>0,1—cij.>0,所以

2k+222

22

l+(Z+g)4

31+(k+2——)a/l：

(k4-2),.(1-万程)<<1.

22

于是0<ak+\V-----

k+2

因此当"攵+1时，不等式也成立.

根据（。（方）可知对任何n©N*,不等式与成立。

«+1

证法三：（j）当〃=1时,0<a}<g,不等式0<an<―•成立;

(万)假设"=k(k>1)时,0<诙」一,则当n=«+1时，若0<ak<—L,则

k+1k+2

31

。<*+1~ak^~~ak^<ak<~~~

若一!—《耿<」一，则

k+2kk+\

31312k+\1

0<cibi=a(y——a)<---(1——x----)

+k"2Akk+12k+22k+2k2<A+2

由①②知当n=k+l时，不等式0<a“<」一也成立.

n+1

根据（。（为）可知，对任何"eN*,不等式为<占成立.

2.（典型例题）六•一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当

顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）

消费金额（元）[200,400][400,500][500,700][700,900]•••

获奖券的金额3060100130…

（元）

依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.

试问：

（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在［500,800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于;的优惠率？

［考场错解］（1）1OOOxO-2+13°>33%.

1000

（3）设商品的标价为x元，则500^x^800,由已知得

0.2x+100>10.2x+130>1

•-x_~］或-x_~3,

500<x<800,［500<x<800.

解得500<x<800.

［专家把脉］商品的标价为x元，而消费额在［500X0.8,800X0.8］之间，而不是500~800之间.

［对症下药］(1)同上

(3)设商品的标价为x元，则500WxW800,消费额:400<0.8x^640.

由已知得：

0.2x4-60、1

①一x一或

400<0.8x<500.

0.2x+100、1

®-T--?

500<0.8x<640.

解不等式①无解，②得：625WxW750.

专家会诊

1.应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意

成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”

2.运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，

注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。

考场思维训练

1若1<工<±则下列结论中不正确的是()

ab

A.Aogab^\ogha

B.|IogaZ?+log/?a|>2

2

C.(log/;a)<1

D|logab\+\log^a|>|logd/?+log。a\

答案：D解析：,〈•!■,由倒数法则0<b<a<l.

ab

Vlogab>logtba=LA0<logba<l,AA>B、C都不正确、而|logab|+|logba|>|logab+logba|.故选D.

2已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等式a'TQx?⑵-〈I的解集是()

A.(1,2)B.-1,2

2

C.(-2,2)D.(-3,-2)

答案：D解析：；x2-2x+a>0对xGR恒成立.△〈()，即a>l.

不等式於+"2+2*-3<］0卜+2<』+2户30卜<-2或8>2，xe(-3,-2).故选D.

JC2+2X-3<0

3.某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万

件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=些心*>0),已知生产此产品的年固定投入为3万元，每

X

年产1万件此产品仍需再投入32万元，若销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%"之

和，而当年产销量相等。

(1)试将年利润P万元表示为年广告费x万元的函数；

答案：(l)P=(32Q+3)•150%+x•50%-(32Q+3)-x=---—+49.5(x>0)

2x

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

答案：P=-(土+必)+49.5W-2X4+49.5=41.5,当且仅当，x=四时，即x=8时，P有最大值41.5

2x2x

万元.

探究开放题预测

预测角度1不等式的概念与性质

1.下列命题正确的是()

4.2+q士2,当且仅当a〃均为正数

ab

B.a+h+c>3^?当且仅当abc均为正数

C.logab+log/,c+logra>3,当且仅当。bee(1,-hx)

DIa+'|22当且仅当aw耐成立

a

［解题思路］利用均值不等式成立的条件判断。

［解答］D对于A,当a、b同为负数时也成立；对于B,当a、b、c中有一个为0,其余为正数时也成

立；对于C,当a、b、c£(0,1)时也成立；D正确。

2.已知a=sinl5，+cosl5，，b=sinl6,，则下列各式中正确的是()

a2+b2a2+h2

A.a<-----------<bB.a<b<-----------

22

a2+b2_,+〃2

C.b<a<-----