对数与对数运算

2.2.1对数与对数运算1

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。2一、引入：1999年我国人口约13亿，如果今后每年增长率控制在1%，那么哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……？设：x年后我国人口达到18亿，

根据题意得：即：如何来计算这里的x?这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式ab=N

中，已知a

和N求b的问题。（这里

a>0且a≠1）

3其中a叫做对数的底数,N叫做真数。1.对数的定义：一般地，如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N，二、新课讲授就是那么数x叫做以a为底N的对数，记作:4探究——对数式与指数式的互化（1）对数与指数中的元素之间的关系（2）借助指数性质探究对数性质思考：①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1；②是否是所有的实数都有对数呢？③能得出什么结论呢？5底数幂真数指数对数6对数与指数的区别名称式子axN底数底数指数对数幂真数7

对数定义中为什么规定（a>0且a≠1）呢？⑴若a<0时，则N为某些值时，b值不存在。如：b=log－28不存在⑵若a=0时，①N不为0时，b不存在。如：log02不存在（可解释为0的多少次方是2呢？）②N为0时，b可以是任何正数，是不唯一的。如：log00有无数个值（可解释为0的任何非零正次方是零）⑶若a=1时，①N不为1时，b不存在。如：log13不存在（可解释为1的多少次方是3呢？）②N为1时，b可以是任何数，是不唯一的。如：log11有无数个值（可解释为1的任何次方是1）所以规定a>0且a≠18重要结论①在对数式中

N>0（负数与零没有对数）②对任意a＞0

且a≠1

,

loga1=0

logaa=1

logaab=b

9常用对数：以10为底的对数.并把简记作lgN。两个常用对数：自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数，并把简记作lnN。10例1．1将下列指数式写成对数式：解：(1)--11例1．2将下列对数式写成指数式：（5）（6）解：--12例2．求下列各式中x的值：

（1）（2）（3）（4）13

温故知新指数式与对数式的互化，及几个重要公式。14

温故知新2指数运算法则15探究能否根据指数与对数关系以及指数运算法则推导出对数运算法则？16如果

a>0,a

1,

M>0,N>0有：

①②③对数运算性质-17

上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？①两数积的对数，等于各数的对数的和；②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．18例3：计算：（1）25，（2）1，（3）（×），（4）lg19例4用，，表示下列各式：20判断下列式子是否正确注意：适用条件：真数>0；底数>0且≠1.（1）log2[(-3)(-5)]=log2(-3)+log2(-5）（2）lg[(-10)2]=2lg(-10)21思考：思考：“（2.1.2例8）中，哪一年的人口数要达到18亿”?列出的式子如何计算结果？由于常用对数和自然对数可以通过查表或者计算机解决，所以可以把问题转化到常用对数和自然对数。22

(N>0,

a>0,且a

1)

新知：换底公式(m>0,且m

1)23证：设

log

a

N=x,则

a

x=N

两边取以

m

为底的对数：从而得：

∴

∴

换底公式推导24两个常用的推论：25运用对数解决实际问题（一）例：20实际30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的地震立氏震级M。其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅26（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）（2）5级地震给人的震感已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的几倍（精确到1）运用对数解决实际问题（一）27例科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14。碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充。所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变。死亡后