浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

20202021学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（）A．∅ B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，5，10}2．双曲线＝2021的渐近线方程为（）A． B．y＝±2x C． D．3．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）A． B．y＝tanx C．y＝3x﹣3﹣x D．y＝x3+14．已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的图象大致是（）A． B． C． D．6．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC有两解的是（）A．a＝2，b＝3，C＝60° B．a＝2，，A＝30° C．a＝1，b＝2，A＝45° D．a＝2，b＝3，c∈Z7．设a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则（）A．有最小值为 B．有最小值为6 C．有最小值为 D．有最小值为78．已知三次函数f（x）＝2x3+3ax2+bx+c（a，b，c∈R），且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，则f（2023）＝（）A．2023 B．2029 C．2031 D．20359．如图，已知椭圆C：x2+4y2＝4，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PN⊥OM于N．则|OM|•|ON|（）A．恒为定值 B．有最小值没最大值 C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值10．如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A'DE，使平面A'DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（）A．∠A'DB的大小不会发生变化 B．二面角A'﹣BD﹣C的平面角的大小不会发生变化 C．三棱锥A'﹣EBC的体积先变大再变小 D．A'B与DE所成的角先变大后变小二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．椭圆的左焦点F坐标为，以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为．12．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为，z＝4x﹣y的最大值为．13．某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是，其内切球半径为．14．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a2+a2021＝0，则S2022＝；当Sn取得最大值时，n＝．15．已知函数，若f（x）+f（x+a）＝0恒成立，则正数a的最小值是．16．设a∈R，函数，若函数y＝f[f（x）]恰有4个零点，则实数a的值为．17．已知，是平面上的单位向量，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）＝0且a＝3，求b+c的取值范围．19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，BC＝2，BE＝4，AB＝2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点．（Ⅰ）证明：AE∥平面BMD；（Ⅱ）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值．20．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明．21．（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k＞0）．（Ⅰ）若直线PA、PB恰好为圆（x﹣2）2+y2＝1的切线，求直线PA的斜率；（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值．并求出当△PAB为直角三角形时，△PAB的面积．22．（16分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）•（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值；（Ⅱ）若b＝0，且函数y＝|f（x）|在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象在[0，2]上与x轴有两个不同的交点，求b2+2ab+4b的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（）A．∅ B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，5，10}解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{x|y≥1}，∴A∩B＝{1，2，3}．故选：C．2．双曲线＝2021的渐近线方程为（）A． B．y＝±2x C． D．解：双曲线＝2021的渐近线方程为＝0，即y＝±2x．故选：B．3．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）A． B．y＝tanx C．y＝3x﹣3﹣x D．y＝x3+1解：对于A，的定义域为R，因为f（﹣x）＝ln（+x）＝ln＝﹣ln（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，但是f（1）＝ln（﹣1）＜0，f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；对于B，y＝tanx在R上不单调，不符合题意；对于C，y＝3x﹣3﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；对于D，y＝x3+1为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：①在等比数列中，若a1＞0，q＞1，＝q＞1，则an+1＞an，即{an}为递增数列成立，即充分性成立．②若an＝﹣1×满足{an}为递增数列，但a1＞0，q＞1不成立，即必要性不成立，故a1＞0，q＞1是{an}为递增数列的充分不必要条件，故选：A．5．函数的图象大致是（）A． B． C． D．解：根据题意，，其定义域为{x|x≠0}，排除A，当x＜0时，f（x）＝﹣﹣＝﹣（+），有f（x）＞0，排除B，当x＞0时，f（x）＝﹣＝，在区间（0，）上，f（x）＜0，排除C，故选：D．6．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC有两解的是（）A．a＝2，b＝3，C＝60° B．a＝2，，A＝30° C．a＝1，b＝2，A＝45° D．a＝2，b＝3，c∈Z解：对于A，由余弦定理可得c＝＝，三角形只有一解，故错误；对于B，因为A＝30°，可得bsinA＜a＜b，所以三角形有两解，故正确；对于C，由正弦定理可得＝，可得sinB＝＞1，故错误；对于D，若z＝5，则a+b＝c，不能构成三角形，故错误．故选：B．7．设a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则（）A．有最小值为 B．有最小值为6 C．有最小值为 D．有最小值为7解：因为a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则＝＝2＝6，当且仅当且a+2b＝1时取等号，此时取得最小值6．故选：B．8．已知三次函数f（x）＝2x3+3ax2+bx+c（a，b，c∈R），且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，则f（2023）＝（）A．2023 B．2029 C．2031 D．2035解：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+cx+d，且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，∴设三次函数g（x）＝f（x）﹣x，则g（2020）＝g（2020）＝g（2022）＝0，∴g（x）＝（x﹣2020）（x﹣2021）（x﹣2022），∴g（2023）＝f（2023）﹣2023＝3×2×1＝6，∴f（2023）＝g（2023）+2023＝6+2023＝2029，故选：B．9．如图，已知椭圆C：x2+4y2＝4，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PN⊥OM于N．则|OM|•|ON|（）A．恒为定值 B．有最小值没最大值 C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值解：不妨设切线PM方程为y＝kx+m，联立切线方程和椭圆方程，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，所以△＝16（﹣m2+4k2+1）＝0，得4k2+1＝m2，即k＝，由韦达定理可得，解得xM＝，所以yM＝，可求得，P（0，m），∴为定值．故选：A．10．如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A'DE，使平面A'DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（）A．∠A'DB的大小不会发生变化 B．二面角A'﹣BD﹣C的平面角的大小不会发生变化 C．三棱锥A'﹣EBC的体积先变大再变小 D．A'B与DE所成的角先变大后变小解：cos∠A′DB＝cos∠A′DE•cos∠BDE＝cos60°•cos∠120°＝﹣，是定值，∴∠ADB的大小不会发生变化，故A正确；由三垂线法作出二面角A'﹣BD﹣C的平面角，可知其大小为定值，选项B正确.，由二次函数单调性可知V先变大再变小，选项C正确．A'B与DE所成的角先变小后变大，选项D错误．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．椭圆的左焦点F坐标为（﹣1，0），以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为y2＝﹣4x．解：由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，所以可得椭圆额左焦点F（﹣1，0），所以由题意可得抛物线的焦点坐标为：（﹣1，0）即﹣＝﹣1，所以p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝﹣2px＝﹣4x，故答案分别为：（﹣1，0），y2＝﹣4x．12．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为，z＝4x﹣y的最大值为4．解：由不等式组作出可行域如图，得A（1，0），解得B（0，1），∴平面区域M的面积为×1×1＝；化z＝4x﹣y，得y＝4x﹣z，由图可知，当直线y＝4x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4×1﹣0＝4．故答案为：，4．13．某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是，其内切球半径为．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面棱长为2，高为2的四棱锥体；如图所示：所以，设内切球的半径为r，所以，整理得：，解得r＝2﹣．故答案为：．14．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a2+a2021＝0，则S2022＝0；当Sn取得最大值时，n＝1011．解：由{an}是等差数列，得S2012＝（a1+a2012）＝1006（a2+a2021）＝0；又a1＝＞0，a2+a2021＝a1011+a1012＝0，所以{an}是a1＞0的递减数列，且a1011＞0；a1012＜0，所以当Sn取得最大值时，n＝1011．故答案为：0；1011．15．已知函数，若f（x）+f（x+a）＝0恒成立，则正数a的最小值是．解：如图，可知的最小正周期为π，又f（x）+f（x+a）＝0，则f（x+2a）＝f（x+a+a）＝﹣f（x+a）＝f（x），∴f（x）的周期为2a，则2a≥π，即，∴正实数a的最小值为．故答案为：．16．设a∈R，函数，若函数y＝f[f（x）]恰有4个零点，则实数a的值为．解：当a≥0时，f（x）＝，令[f（f（x））]＝0，解得f（x）＝2，所以x＝0或x＝4，只有2个根，故函数y＝f[f（x）]只有2个零点，不符合题意；当a＜0时，令[f（f（x））]＝0，解得f（x）＝2或f（x）＝a，因为f（x）＝a只有一个根，所以f（x）＝2要有3个根，则当x＜0时，f（x）最大值为2，即，解得a＝，又a＜0，所以a＝．综上所述，实数a的值为．故答案为：．17．已知，是平面上的单位向量，则的最大值是．解：设＝（1，0），＝（x，y），且x2+y2＝1，∴＝（1﹣2x，﹣2y），＝（1+x，y），∴＝+＝+＝＝2+≤•＝．当且仅当，即x＝时取等号，∴的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）＝0且a＝3，求b+c的取值范围．解：（Ⅰ），∴函数的最小正周期为π．由，k∈Z，得，k∈Z．∴函数的单调递增区间是，k∈Z．（Ⅱ）由及，故，由正弦定理可知，∴，，由，△ABC为锐角三角形可得．∴＝．∵，∴，∴，∴．19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，BC＝2，BE＝4，AB＝2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点．（Ⅰ）证明：AE∥平面BMD；（Ⅱ）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设BD与CE相交于O点，由题意知AO⊥平面BCDE．连接MO，点M、O分别是AC、EC的中点，∴MO∥AE．∵AE⊄平面MDB，MO⊂平面MDB．∴AE∥平面BMD．（Ⅱ）解：∵AO⊥平面BCDE，直线AB与平面BCDE所成角为．∴，．∵AO⊥平面BCDE，∴平面ABD⊥平面CBD．∴二面角A﹣BD﹣M的平面角θ与二面角M﹣BD﹣C的平面角φ互余．取线段OC中点F，连接MF，则MF⊥平面BCDE．取OB中点G，连接FG、MG.，，又BC＝2，CD＝BE＝4，∴CD2＝BC2+BD2.∴，即BC⊥BD，∵FG∥BC，∴FG⊥BD．又MF⊥平面BCDE，∴∠MGF就是二面角M﹣BD﹣C的平面角．在Rt△MFG中，，，∴，．∴．∴二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值为．20．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明．解：（Ⅰ）当n＝1时，，解得a1＝1；当n≥2时，．∴，∵{an}是正项数列，∴an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝1．∴数列{an}是以1为首项1为公差的等差数列．∴an＝n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知＝，因此．当n为奇数时，单调递减，此时；当n为偶数时，单调递增，此时．∴．21．（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k＞0）．（Ⅰ）若直线PA、PB恰好为圆（x﹣2）2+y2＝1的切线，求直线PA的斜率；（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值．并求出当△PAB为直角三角形时，△PAB的面积．解：（Ⅰ）依题意，PA：y﹣2＝k（x﹣2）（k＞0），由直线PA与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，可得，解得．（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），联立直线PA与抛物线方程，消去x可得：ky2﹣2y+4﹣4k＝0，∴，，∴．用﹣k代替k可得：，∴．因此，，即直线AB的斜率为定值，1°当∠PAB＝90°时，由kAB⋅k＝﹣1