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第3章重积分3.3二重积分的应用3.1二重积分的概念与性质3.2二重积分的计算3.4三重积分的概念及直角坐标系下的计算3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分3.6重积分的换元法3.7三重积分的应用1三、二重积分的性质3.1二重积分的概念与性质二、二重积分的概念一、问题的提出2柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出3#(21)幻灯片21播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．4步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积5２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量6二、二重积分的概念7积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素8对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．9在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为10性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质11性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有12性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）13解14解15解1617二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结18思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.19定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答20求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．21求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．22求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．23求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．24求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取

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