备战2023年高考数学一轮复习-第2节-圆与方程

第2节圆与方程1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1.圆的定义与方程定义平面内到的距离等于的点的集合叫做圆

方程标准式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心为

半径为

一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件:

圆心坐标:(-D2,-E半径r=12.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则.

(2)若M(x0,y0)在圆上,则.

(3)若M(x0,y0)在圆内,则.

3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.⇔相交;⇔相切;⇔相离.

(2)代数法:>04.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r方法位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离

外切

相交

内切

内含

1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.3.圆系方程(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).4.两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.(-1,1) B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.±12.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为63.(选择性必修第一册P98习题T1改编)圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=04.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.相离5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是.

圆的方程1.半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=22均相切,则该圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=4D.(x-22)2+(y+22)2=42.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上,则圆C的方程为.

3.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.与圆有关的最值问题角度一利用几何法求最值(1)在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在两点A,B满足:∠AOB=60°,则实数a的最大值是()A.5 B.3 C.7 D.23(2)已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).①求|MQ|的最大值和最小值;②求y-③求y-x的最大值和最小值.处理与圆有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解,其中以下几类转化较为常见:(1)形如m=y-(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度二利用代数法求最值设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA→+PB→|的最大值为根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.[针对训练](1)已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.

直线与圆的位置关系角度一位置关系的判断已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.角度二弦长问题若3a2+3b2-4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆O:x2+y2=1所截得的弦长为()A.23 C.12 D.弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2r2角度三切线问题已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.[针对训练](1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能(2)过点P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为()A.3x+4y-4=0B.4x-3y+4=0C.x=2或4x-3y+4=0D.y=4或3x+4y-4=0(3)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,则最短弦所在的直线方程为.

圆与圆的位置关系已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?解决圆与圆位置关系问题的两大方法(