四川省成都龙泉第二中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷含解析

四川省成都龙泉第二中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A． B．C． D．3．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“-”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．154．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（）A．－2 B．－4 C．3 D．－35．已知菱形的边长为2，，则（）A．4 B．6 C． D．6．已知函数，若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．7．复数的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）A． B． C． D．9．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．10．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()A． B．C． D．或11．等比数列的前项和为，若，，，，则（）A． B． C． D．12．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.15．若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．16．已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点P是上底面三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆,定点,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.18．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.19．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.20．（12分）已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.（1）求曲线G的方程;（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.21．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且,求点P的坐标.22．（10分）已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.①求实数的取值范围；②求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意，分析即得解【详解】由题意，故，故选：D【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.2、A【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面，，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积．故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．3、B【解析】

由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．故选：B．【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、D【解析】

设，，设：，联立方程得到，计算得到答案.【详解】设，，故.易知直线斜率不为，设：，联立方程，得到，故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键.5、B【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形的边长为2，，∴，∴，∴，且，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．6、C【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【详解】由得，在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，∴由得，解得．故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．7、C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.8、C【解析】试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．9、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.10、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.11、D【解析】试题分析：由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，，所以，故解得：，从而公比；那么，故选D．考点：等比数列．12、B【解析】

函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．【详解】由题在上恒成立.即，的图象永远在的上方，设与的切点，则，解得，易知越小，图象越靠上，所以.故选：B．【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-40【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.14、1【解析】

设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．【详解】抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，据得.设，则.线段垂直平分线方程为，令，则，所以，所以.故答案为：1．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．15、【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出的单调递减区间．【详解】解：幂函数的图象经过点，则，解得；所以，其中；所以的单调递减区间为．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．16、π.【解析】

设三棱锥P-ABC的外接球为球O'，分别取AC、A1C1的中点O、O1，先确定球心O'在线段AC和A1C1中点的连线上，先求出球O【详解】如图所示，设三棱锥P-ABC的外接球为球O'分别取AC、A1C1的中点O、O1由于正方体ABCD-A则△ABC的外接圆的半径为OA=2设球O的半径为R，则4πR2=所以，OO则O而点P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，点P所构成的图形的面积为π×O【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线的方程为，设，联立方程得到，，计算，得到答案.【详解】（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，取关于轴的对称点，连接，故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，曲线方程为.（2）设直线的方程为，设，直线的方程为，同理，所以，即，联立，所以，代入得，所以点都在定直线上.【点睛】本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因为平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19、（Ⅰ）直线的方程为（Ⅱ）【解析】

（1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标，求出直线的方程，从而求出，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.【详解】解：（Ⅰ）由椭圆，可得：由题意：设点，当为的中点时，可得：代入椭圆方程，可得：所以：所以.故直线的方程为.（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为：令，得：，所以：.联立：，消，整理得：.因为直线与椭圆相切，所以.即.设，则，，所以.又直线直线，所以设直线的方程为：.令，得，所以：.因为，所以直线的方程为：.令，得，所以：.所以.又因为..所以（当且仅当，即时等号成立）所以.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.20、（1）.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【解析】

（1）根据三角形内切圆的性质证得，由此判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线的方程.（2）将直线的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.【详解】（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在轴上）,所以c,a=2,b,所以曲线G的方程为,（2）因为，故四边形为平行四边形.当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,此时可求得四边形OMDN的面积为.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|点O到直线MN的距离d,由,得xD,yD，∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,由题意四边形OMDN为平行四边形,∴OMDN的面积为S,由1+2k2=2m2得S,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21、（I）．（II）【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率，即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得：∴∴椭圆的方程为．（II）设由（I）易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）