信号与系统（第2版）课件 3LTI系统的时域分析3

卷积积分的求解与计算基础篇信号系统时域篇连续离散频域篇连续离散复频域篇连续离散状态变量篇连续离散13连续时间LTI系统的卷积分析线性常系数方程的经典解2LTI系统的卷积分析基础4离散时间LTI系统的卷积分析5LTI系统的性质卷积积分的性质连续时间LTI系统零状态响应的卷积积分表示卷积的基本思想将信号分解为单位冲激信号或单位阶跃信号的线性组合借助系统冲激响应或阶跃响应利用LTI系统线性时不变性质求LTI系统对任意信号的零状态响应2√√？◎

第3章LTI系统的时域分析__3.3卷积积分及其性质3用冲激表示连续时间信号在

时

的极限即为连续时间信号可以用一串脉冲或者阶梯信号来近似

第3章LTI系统的时域分析__3.3.1用冲激表示连续时间信号4用冲激表示连续时间信号

第3章LTI系统的时域分析__3.3.1用冲激表示连续时间信号5用冲激表示连续时间信号连续时间信号被表示为一个加权的时移冲激函数的和（积分）该式还可以理解为单位冲激函数的筛选性质

第3章LTI系统的时域分析__3.3.1用冲激表示连续时间信号6用冲激表示连续时间信号

当

时

再次揭示了连续时间单位冲激函数与单位阶跃函数间的关系

第3章LTI系统的时域分析__3.3.1用冲激表示连续时间信号7用卷积积分求解零状态响应卷积积分时不变性线性一个连续时间LTI系统完全由它的冲激响应来表征

第3章LTI系统的时域分析__3.3.2连续时间LTI系统的卷积积分表示8用卷积积分求解零状态响应一个恒等系统，单位冲激响应为一个时移系统，单位冲激响应为一个积分器，单位冲激响应为

第3章LTI系统的时域分析__3.3.2连续时间LTI系统的卷积积分表示9

第3章LTI系统的时域分析__3.3.2连续时间LTI系统的卷积积分表示用阶跃表示连续时间信号连续时间信号可以用一串脉冲或者阶梯信号来近似10

第3章LTI系统的时域分析__3.3.2连续时间LTI系统的卷积积分表示用阶跃响应求解零状态响应线性时不变性

杜阿密尔积分阶跃响应s(t)SignalsandSystems下一知识点本知识点31线性常系数方程的经典解连续时间LTI系统的卷积分析2LTI系统的卷积分析基础4离散时间LTI系统的卷积分析5LTI系统的性质卷积积分的求解与计算连续时间LTI系统零状态响应的卷积积分表示卷积积分的代数性质卷积积分的微积分与其他性质12任一时刻的输出信号值是输入信号的加权和其中

是积分变量，

是参变量。不同时刻输出信号值，必须对不同

进行上述加权积分求得图解法三个步骤：自变量变换相乘积分

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算13t<0时t>0时【例】某LTI系统输入为

，其中

，

单位冲激响应，初始状态为零，求该系统的输出

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算14

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算因果信号【例】求与的卷积15t<00<t<TT<t<2T2T<t<3Tt>3T

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算16

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算17

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算18解析法对简单信号的卷积，用图解法可分区间计算，既直观又方便较复杂信号的卷积，用图解法求解较繁琐，难以得到闭合解解析法就是以一个闭合的解析表达式来求解卷积积分在解析计算过程中涉及到两个问题：积分限的确定积分有效范围的确定

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算19【例】某LTI系统输入为

，其中

，

单位冲激响应，初始状态为零，求该系统的输出

t<0时t>0时

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算【例】求与的卷积20

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算【例】求与的卷积21

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算22

第3章LTI系统的时域分析__3.3.3卷积积分求解与计算连续信号的冲激表示连续LTI系统的卷积分析小结卷积积分求解LTISh(t)图解法解析法SignalsandSystems下一知识点本知识点31线性常系数方程的经典解连续时间LTI系统的卷积分析2LTI系统的卷积分析基础4离散时间LTI系统的卷积分析5LTI系统的性质卷积积分的代数性质连续时间LTI系统零状态响应的卷积积分表示卷积积分的求解与计算卷积积分的微积分与其他性质24代数性质时移性质与冲激函数的卷积微分与积分性质卷积积分的宽度指数信号通过LTI系统的响应作为一种数学运算，卷积积分具有某些特殊性质在信号与系统分析中具有重要作用

可以简化运算

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质25通常乘法运算中的交换律、分配律与结合律也适用于卷积积分交换律表明x1(t)与x2(t)的作用可以互换从计算的角度,x1(t)与x2(t)的顺序可以互换从系统的角度

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质分配律分配律可以由系统的并联来解释同时考虑交换律与分配律，有

即线性性质中的叠加性

26

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质27结合律结合律可以由系统的级联来解释同时交换律与结合律再根据结合律LTI系统级联后的单位冲激响应与其级联顺序无关

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质28结合律LTI系统可逆的条件:可逆系统的冲激响应与其逆系统的冲激响应的卷积为单位冲激信号

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质SignalsandSystems下一知识点本知识点31线性常系数方程的经典解连续时间LTI系统的卷积分析2LTI系统的卷积分析基础4离散时间LTI系统的卷积分析5LTI系统的性质卷积积分的微积分与其他性质连续时间LTI系统零状态响应的卷积积分表示卷积积分的求解与计算卷积积分的代数性质30代数性质时移性质与冲激函数的卷积微分与积分性质卷积积分的宽度指数信号通过LTI系统的响应作为一种数学运算，卷积积分具有某些特殊性质在信号与系统分析中具有重要作用

可以简化运算

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质31时移性质假设，则两个函数卷积后总时移量等效为两个函数各自时移量之和

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质32时移性质由卷积的时移性质可以得出若两个被卷积函数理解为两个LTI系统的单位冲激响应，则两个LTI系统级联后总时移量等效为两系统各自时移量之和

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质33与冲激函数卷积

可以理解为信号通过一个恒等系统由卷积的时移性质可以得出可以理解为信号通过一个时移系统

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质34微分与积分两函数卷积后的导数等于其中一函数的导数与另一函数的卷积两函数卷积后的积分等于其中一函数的积分与另一函数的卷积类似地，可以推出卷积的高阶导数或多重积分的运算规律

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质35微分与积分——可以简化卷积运算

【例】求与的卷积【解】这两个方波信号的微分均为冲激信号

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质36微分与积分——可以简化卷积运算

按照卷积积分微积分性质，得若函数微分后出现冲激函数，将简化卷积积分计算

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质37卷积积分的宽度若x1(t)与x2(t)的持续时间均是有限的，分别为T1与T2，则x1(t)*x2(t)的持续时间为T1+T2

第3章LTI系统的时域分析__3.3.4卷积积分的性质38指数信号通过LTI系统的响应若输入信号为则输出信号为若收敛，则对于指数信号，LTI系统的