梯形的存在性问题解题策略

08常州2808成都2809虹口2409广州2509河北26梯形的存在性问题解题策略第一页，共七十四页。代数法三部

曲：先罗列三边；再

分

类

列

方

程

；后解方程

、检验

.梯形的存在性问题解题

策

略几

何

法

三

部

曲

：先分类

；再

画

图；后

计

算

.几何法与代数法相结合第二页，共七十四页。几

何

法确定目标梯形的存在性问题解题策略几何法与代数法相结合——又好又快代

数

法准确定位第三页，共七十四页。边形

中

，

有

菱

形

、

等腰

梯

形

、

直

角

梯

形

，

请

分

别

直

接写

出

这

些

特

殊

四

边

形

的

顶

点P的

坐

标

.第四页，共七十四页。点A

、B

、O

、P

为

顶

点

的

四设

P

是直

线1

上

一

动点

,

以08常州28

角考已

是页l//AB菱形是唯一的吗?有几种方

法

确

定点P?一A

、B

、O三个

定

点，P是直

线上

动

点是重中空

第五页，共七十四页。S0ET

角

孕

是

项直角梯形是唯一的吗?怎么确定点P?A

、B

、O

三个定点，P

是直线1上一动点第六页，共七十四页。直

角

梯

形

，

怎

么

求P?P(x,-2x)PH=2OH=2m第七页，共七十四页。T中空页42

=2-m=专，P(-专号)42±2m=2直角梯形，

怎么求P?P(x,-2x)PH=2OH=2m个y

PP'NA(-2,-4)O

H'第八页，共七十四页。>xB中空LJTT以B

为圆心

，OA

为

半

径

画

圆

，

与

直

线

1

有

两

个

交

点第九页，共七十四页。等腰梯

形是唯

一的吗?怎么确定点P?文

角

验

是

西等腰梯形是唯一的吗?怎么确定点P?BP=AO

角

承

项第十页，共七十四页。A(-2,-4)PA=OB=4(x+2)²+(-2x+4)²=4²等

腰

梯

形

，

怎

样

求P?P(x,-2x)是

：角

子

重

：第十一页，共七十四页。等

腰

梯

形

，

怎

样

求P?x₁=-2的几何意义是菱形，的几

何

意

义

是

等

腰

梯

形

.第十二页，共七十四页。1最大的挑战是画

图——解题思路就在

画

图过程中求点P

的方法各具特色

问题解决是目的

两点间的距

离公式

相似比对

称

性小

结A(-2,-4)第十三页，共七十四页。抛物线

上

是

否

存

在一

点P,使以

P、

O、

C、

A为顶点的四边形

是

梯

形

?

假

设

存

在，求出点P

的

坐

标

.08成都28第十四页，共七十四页。是

亚吉项过△AOC的三个顶点分

别画对边的平行线，分三

种

情

况第一步确定分类标准与第二步画图相结合第十五页，共七十四页。RE名是质

：吃

每

是

亚第三步

计算——几何定向，代数定位①CP//OA点C

与点P

关于抛物线的对称轴对称所以P(6,-3)第十六页，共七十四页。两直线平行，内错角相等第三步

计算——几何定向，代数定位②OP//CA因此那么第十七页，共七十四页。-T

哈:x=0

的几何意义是什么?化

简

，

得

于是，

得x=14

所以P(14,7)第十八页，共七十四页。第三步

计算——几何定向，代数定位是

重

：呼听色第三步

计算——几何定向，代数定位

两直线平行，

内错角相等

③PA//OC重

角

孕

是

是

贡因此第十九页，共七十四页。x=10的几何意义是什么?化简

，于

是

，

得

x=-6所

以P(-6,12)第三步

计

算——几何定向，代数定位③PA//OC政

角

承

是

项第二十页，共七十四页。第一步，

求直线OC,得到k第二步，求直线AP第三步，解方程组{

直线AP的解析式第二十一页，共七十四页。角小结

代数法很麻烦抛物线的解析式承

项小结

几何法要注意约分的前提-

—

数

形

结

合

思

想x=10

的几何意义是什么?x=0的几何意义是什么

?第二十二页，共七十四页。中资小

结

如果不约分，验根的依据?

数形结合思想x₁=-6,x₂=10x₁=14,x₂=0F

角

孕

是

业第二十三页，共七十四页。第一步，

求直线OC,得到k第二步，求直线AP第三步，解方程组{

第二十四页，共七十四页。式式析析解解的的抛物线直线AP小

结代

数

法

：容

易

理

解

，计算麻烦几

何

法

：数

形

结

合

，约

分

化

简抛

物

线

上

是

否

存

在一点D,使

以A

、B

、C

、D为顶点的

四

边

形

是

直

角

梯

形

?

假

设

存

在

，

求

出点

D

的

坐

标

.09广州25重

角

承

是

项第二十五页，共七十四页。因此

,OB=2,0C=1所以

于

是

△AOC∽△COB

先热身解读

背

景

图从而

∠ACB=90°,0),B(2,0),C(O,-1)第二十六页，共七十四页。知-T=

李是

t

是

质

：第一步确定分类标准与第二步画图相结合按

照

直

角

梯

形

的

定

义

，

分

两

种

情

况第二十七页，共七十四页。两直线平行，内错角相等①AD//CB第三步

计算——几何定向，代数定位因此第二十八页，共七十四页。那角页的几何意义是什么?化简，

得

于是，得所

以第三步

计算

几何定向，代数定位

①AD//CB

角

承

是

项第二十九页，共七十四页。X第三步计算几何定向，代数定位②OP//CA两直线平行，内错角相等因此业

角

承

是

项第三十页，共七十四页。第三步

计算.

几何定向，代数定位于是，得.x=2

的几何意义是什么?②OP//CA中动

基重

角第三十一页，共七十四页。第一步，求直线CB,

得到k第二步，求直线AD第三步，解方程组{

式式析析解解抛物线的直线AD的角

是小结

代数法很麻烦第三十二页，共七十四页。项安小

结

几何法要注意约分的前提——数形结合思想第三十三页，共七十四页。t

角

孕

是

贡小

结

如果不约分，验根的依据?

——

数形结合思想“

-第三十四页，共七十四页。3小

结代

数

法

：容

易

理

解

，计

算

麻

烦几

何

法

：数

形

结

合

，约分化简第二步，求直线AD第三步，解方程组<直线AD的解析式

抛物线的解析式第一步，

求直线CB,得到k第三十五页，共七十四页。是

重9

后

在点E从B向C运动的过程中，

四边形QBED能否成为直角梯形?假设能，求t的值.

第三十六页，共七十四页。点

P、

Q同时出发，当点

Q

到

达

点

B

时

停

止

运

动，点

P

也

随

之

停

止

.

设

P、

Q

运

动的时间是t秒〔t>0〕

.点P

从点C出

发

沿CA以每秒1个单位长的速

度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来

的速度沿AC

返回；伴随着P

、Q

的运动，

DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP

于点E.点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的

速度向点B匀速运动.∠C=90°,

AC=3,AB=5.全E=呼动角百页BBB在

点E从B向C运动

的过程

梯形?假设能，求t的

值

.中，

四

边

形QBED

能

否

成

为

直

角

是09河北26点Q:A

→B,全程为5,用时需5秒点P:C→A→C,全程为6,用时需6秒∠C=90°

,AC=3,AB=5.设P

、Q

运动的时间是t

秒〔t>0〕DE垂直平分PQ先

读

题第三十七页，共七十四页。 友再

比

比

画

画是亚风直角梯形QBED分两种情况：①DE//QB,②

DQI/EB后筛选逼近第三十九页，共七十四页。E呼

签第四十页，共七十四页。是贡善

重

角

承

是

项小

结

计

算

如

此

简

单

，

不

会

画

图

难

倒

好

汉

!直角梯形QBED中，确定的是∠B第四十一页，共七十四页。BB下吨小

结

计

算

如

此

简

单

，是

重

：不会画图难倒好汉!产生P→

作AC产生Q→第四十二页，共七十四页。作ED→选

E→重

角

承

是

项小

结

计

算

如

此

简

单

，

不

会

画

图

难

倒

好

汉

!选

E→

作ED→第四十三页，共七十四页。产生P→

作AC四

角

承

是

项小

结

有

没

有

更

简

单

的

解

题

思

路

?①BQD=90

°②

∠BED=90°直角梯形QBED?第四十四页，共七十四页。②

∠BED=90

°重

角

承

是

项小

结

有

没

有

更

简

单

的

解

题

思

路

?∠A

是确定的第四十五页，共七十四页。能否

在

直

线

上

找

一

点D

,

使

得

以

点

B

、

C

、

O

、

D

为

顶

点

的

四边

形

是

等

腰

梯形

.

假

设

能

，

请

求出

点

D

的

坐

标

.09虹口24第四十六页，共七十四页。角

验

是

项y=X元空先热身以

点B

、C

、O

、D

为顶点的四边形是等腰

梯

形BC//OD腰

?怎

样

确

定D?第四十七页，共七十四页。y=x是

页画

图

过

程

决

定

解

题

思

路怎样确定D?

腰OC=DB设D(x,x)由DB²=OC2得(x-3)²+x²=5解得x₁=2,x₂=1第四十八页，共七十四页。经典：

一组对边平行，另一组对边相等的四边形是

等腰梯形或

者平行四边形.第四十九页，共七十四页。是页中空画图过程决定解题思路x=1的几何意义是平行四边形x=2

的几何意义是等腰梯形腰

OC=DB设D(x,x)由DC²=OB²得(x-2)²+(x+1)²=9解得x₁=2,x₂=-1角

是

质田画

图

过

程

决

定

解

题

思

路怎样确定D?对

角

线OB=DC第五十页，共七十四页。x=2的几何意义是等腰梯形

x=-1的几何意义是平行四边形画图过程决定解题思路对

角

线OB=DC第五十一页，共七十四页。角

孕是项小

结

有

没

有

更

简

单

的

方

法

?对角线垂直且相等第五十二页，共七十四页。以点C

、D

、P

、M为顶点的四边形能否成为等腰梯形?假设能，

请求出点P的

坐

标

.第五十三页，共七十四页。D30°30°承

是址C(√3,3)呼咯答个yB(2√3,2)A

XMP07重庆28PM//CDO中空先热身—

—数形结合抛物线y=-x(x-2

√3)

点M(x,-x(x-2√3))直线OB:点.X点D(

√3,1)第五十四页，共七十四页。M'

—--→MPD30

°30°A¹B(2√3,2)CM'=DP'Yc—yn=yp-ypX中空再

经

典一

-辅助线以

点C

、D

、P

、M

为

顶

点的

四边

形

是等

腰

梯

形C(√3,3)第五十五页，共七十四页。个yO中空后计算——列方程由

yc-y=yp-y,

x=√3

的几何意义是P与D

重合解得x₁=√3,第五十六页，共七十四页。△BCD是等边三角形梯形的∠CDP

不变当M落在CB上时，等腰梯形

角

孕

是

重小结

有更简单的方法吗?第五十七页，共七十四页。整

理

，

得

x=√3

的几何意义是什么?

约分，得

小

结

有

更

简

单

的

方

法

吗

?当M落在OB上时，第五十八页，共七十四页。中空由Cw'=DP,得一元二次

共七十四页。由n60∵得约分之

后

可化为一元一次

方

程小结

有更简单的方法吗?

角

孕

是

项由CM=DP,得CM²=DP²c(√3,3)

MPD30°30°A'B(2√5,2)

这不就是yc—yn=yp—yp

吗?还有更容易想到的方法细

心

决

定

成

败

!小结第六十页，共七十四页。个yO正

X是以

点A

、B

、C

、D为

顶

点

的

四

边

形

能

否

成

为

梯

形

?

假设能，请求出点D的坐标

.07常州28第六十一页，共七十四页。T呼

啶是商应

重

角

承

是

项第

一

步确定分类标准与第二步画图相结合\y|B(2,√3)C-1BC按

照

梯

形

的

定

义

，

分

三

种

情

况

画

图A(-1,-2√3)第六十二页，共七十四页。两直线平行，同位角相等因此

那么

:第三步

计算——几何定向，代数定位①AD//CB(-l-2/3)A第六十三页，共七十四页。x=-1

的几何意义是什么?化

简

，

得

于是，得x=6所以

第三步

计算.

几何定向，代数定位①AD//CB查

角

承

是

项第六十四页，共七十四页。

:第三步

计算——几何定向，代数定位两直线平行，同位角相等因此

②CD//AB第六十五页，共七十四页。那么

:第三步

计算——几何定向，代数定位整理，得

x²+x-2=0解得x₁=1,x₂=-2②OP//CA第六十六页，共七十四页。x₁=1

的几何意义是点D.x₂=-2

的几何意义是点D'.第六十七页，共七十四页。

是质：第