海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断（五）数学试题

海南省2023－2024学年高三学业水平诊断（五）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，若，则（）A．－1 B．0 C．1 D．22．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（）A． B． C． D．4．在的展开式中，的系数为（）A．30 B．20 C．10 D．－105．在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的2倍，且，则（）A．3 B．4 C．6 D．86．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立．现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（）A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.057．如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，满足，以点为圆心、为半径的圆与线段相交于A，B两点，且，则的离心率为（）A． B． C．2 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若正实数a，b满足，则（）A．的最小值为 B．的最大值为1C．的最小值为 D．的取值范围为10．已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（）A．B．的准线方程为C．圆的标准方程为D．若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则11．在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（）A．四面体为正四面体B．四面体的外接球的体积为C．球的表面积为D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若定义在上的奇函数满足：当时，，则______．13．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移与时间满足函数，点在该函数的图象上，且位置如图所示，则______．14．若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）若函数为的导函数），讨论的单调性．16．（15分）某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功．（I）估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数；（II）若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率．附：若随机变量，则．17．（15分）如图，已知线段为圆柱的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且．（I）求证：平面DOC；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．18．（17分）已知椭圆的离心率为，斜率为且在轴上的截距为1的动直线与交于两点，当时，直线过的右顶点．（I）求的方程；（II）设为线段AB的中点，过作直线交轴于点，直线交轴于点，的面积分别记为，若，求的取值范围．19．（17分）已知数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为．（I）若为1，2，3，6，写出集合，并求的值；（II）若为1，3，a，b，且，求和集合；（III）若是递增数列，且项数为，证明：“”的充要条件是“为等比数列”．

海南省2023～2024学年高三学业水平诊断（五）数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．A3．C4．C5．A6．D7．C8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BC10．ACD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．－1 13． 14．2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析（I）当时，，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（II）因为，所以，所以，所以．①若，则，所以在上单调递减；②若，则当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．16．解析（I）因为，所以．因为，所以，估计10000名应聘者中初试成绩位于内的人数为．（II）设复试时小王通过第一关的概率为，通过第二关的概率为，通过第三关的概率为．由题意可得，所以小王应聘成功的概率．17．解析（I）连接．因为为底面圆的直径，所以为的中点，．又因为，所以．由圆柱的性质知平面，而平面，所以．又，且平面，所以平面．因为平面，所以．因为为母线的中点，所以，所以，则．又平面，且，所以平面．（II）连接，易知平面，所以以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为．18．解析（I）设的半焦距为，当时，直线的方程为，令，得，所以．又的离心率为，所以，所以．因为，所以，故的方程为．（II）由题可知直线的方程为，设．联立消去并整理，得，则，，所以，则线段的中点的坐标为．对于直线，令，可得，所以，所以．令，则，而，所以在上单调递增，所以，故的取值范围为．19．解析（I）因为，所以集合．（II）因为为，且，所以互不相等，所以都