18.1.1-平行四边形及其边角性质

第1课时

平行四边形及其边角性质第18章

平行四边形18.1平行四边形的性质1课堂讲解平行四边形的定义平行四边形的性质——对边相等平行四边形的性质——对角相等平行线之间的距离2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点平行四边形的定义平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗?知1－导知1－讲1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．表示方法：平行四边形用符号“”表示；如图，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．数学表达式：即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC.要点精析：(1)平行四边形的定义有两个要素：①是四边形；②两组对边分别平行．（来自《点拨》）知1－讲作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质．如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等．作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行；(2)平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法；∵四边形ABCD是平行四边形，反过来，∴四边形ABCD是平行四边形．（来自《点拨》）知1－讲2.易错警示：平行四边形的表示要按一定方向依次表示各个顶点；它既可以按顺时针方向排列字母顺序，也可以按逆时针方向排列字母顺序，但不能打乱顺序．（来自《点拨》）知1－讲如图，在ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形_____个．例1根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边形的定义可以判定四边形ABFE是平行四边形，同理可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边形PFCH都是平行四边形，最后还要加上ABCD，即共有9个平行四边形．导引：（来自《点拨》）9知1－讲平行四边形的定义的功能：

平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是判定平行四边形的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．即对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是它的判定，逆用是它的性质．对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．总

结（来自《点拨》）知1－练如图，在ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，EF与HN相交于点O，则图中共有平行四边形(

)A．12个

B．9个C．7个D．5个（来自《典中点》）1知1－练(中考·泰安)如图，在ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(

)A．2B．3C．4D．6（来自《典中点》）22知识点平行四边形的性质——对边相等知2－导你还发现平行四边形有哪些性质？我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等.请你尝试证明这些结论.边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.知2－讲（来自《点拨》）如图,在ABCD中，AB=8,周长等于24.求其余三条边的长.例2知2－讲（来自《教材》）在ABCD中，AB

=DC，AD

=BC(平行四边形的对边相等).∵AB=8，∴

DC=8，又∵AB+BC+DC+AD=24，∴AD=BC

=(24-2AB)=4.解：已知平行四边形的周长是24,相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长.例3知2－讲（来自《教材》）如图,设AB的长为x,则BC的长为x+4.根据已知，可得2(AB+BC)=24,即2(x+x+4)=24,4x+8=24,解得x=4.所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8.解：已知：如图,在ABCD

中，∠ADC的平分线与AB相交于点E.求证：BE+BC

=CD.例4知2－讲（来自《教材》）四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD(平行四边形的对边相等)，

AB//CD(平行四边形的对边平行)，∴∠CDE=∠AED.又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE.又∵AD=BC(平行四边形的对边相等)∴AE=BC.∴BE+BC=BE+AE=AB=CD.证明：知2－讲当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中AB∥CD和DE平分∠ADC就得到△ADE是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻的两边之和等于它的周长的一半”会经常用到．总

结（来自《点拨》）知2－练用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形,并分别求出各边的长.1（来自《教材》）知2－练(2015·宁波)如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(

)A．BE＝DF

B．BF＝DEC．AE＝CF

D．∠1＝∠22（来自《典中点》）知2－练(中考·福州)在平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是(

)A．(－2，1)B．(－2，－1)C．(－1，－2)D．(－1，2)3（来自《典中点》）3知识点平行四边形的性质——对角相等知3－讲（来自《点拨》）1.角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.知3－讲要点精析：由于组成平行四边形的元素有边、角，因此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看．(1)从边看：平行四边形的对边平行且相等；(2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补．3.易错警示：已知平行四边形得出什么性质，要根据

推理证明的需要，合理选用需要的性质．（来自《点拨》）如图,在

ABCD中，∠A

=40°，求其他各内角的大小.例5知3－讲在ABCD中，∠A

=∠C，∠B

=∠D(平行四边形的对角相等).∵∠A=40°，∴∠C=40°.又∵AD//BC，∴∠A

+∠B

=180°,∴∠B

=180°-

∠A=180°-

40°=140°，∴∠D

=∠B

=140°.解：（来自《教材》）如图，在ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四边形各角的度数．例6知3－讲（来自《点拨》）由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．导引：在ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：知3－讲平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出所有内角的度数．总

结（来自《点拨》）知3－练

(中考·衢州)如图，在ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(

)A．45°B．55°C．65°D．75°1知3－练如图，在ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是(

)A．80°B．50°C．40°D．30°2知3－练(中考·黔西南州)在ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°34知识点平行线之间的距离知4－讲（来自《教材》）如图,在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度.经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等.由此我们得到平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等.知4－讲1.定义：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离；要点精析：(1)点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度；(2)三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度联系最后都归结为两点间的一条线段的长度

知4－讲2.性质：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，即：平行线间的距离处处相等．要点精析：(1)“平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；(注：平行线的这一性质常用来解决三角形同底等高问题)(2)平行线的位置确定后，它们间的距离是定值(是正值)，不随垂线段位置的改变而改变．（来自《点拨》）知4－讲数学表达式：如图，A，C是l1上任意两点，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝CD.拓展：(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；(2)等底等高的三角形的面积相等．（来自《点拨》）知4－讲例7如图，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC＝EF.△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？（来自《点拨》）知4－讲解：△ABC和△DEF的面积相等．理由如下：如图，作AH1⊥直线b，垂足为点H1，作DH2⊥直线a，垂足为点H2.设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，∴S1＝BC·AH1，S2＝

EF·DH2.∵直线a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，∴AH1＝DH2.又∵