苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件

1.3探索三角形全等的条件

一.选择题（共18小题）

1.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是

D.只有丙

2.如图，ABLCD,且4B=CC.E、F是4。上两点，CEA.AD,BFLAD.若CE=a,BF

=b,EF=c,则4。的长为（）

3.如图，ZACB=90°,AC=BC.ADA.CE,BEICE,垂足分别是点。、E,AO=3,BE

=1,则OE的长是（）

A.3B.2C.2^2D.V10

2

4.如图，已知NA8C=NOCB,添加以下条件，不能判定△A8C之△QCB的是（）

A./A=N£>B.ZACB^ZDBCC.AC=DBD.AB=DC

5.如图，点。，E分别在线段AB,4c上，CZ）与8E相交于O点,已知48=AC,现添加

以下的哪个条件仍不能判定△ABE四△ACO（)

A.ZB=ZCB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD

6.如图，点8、F、C、E在一条直线上，AB//ED,AC//FD,那么添加下列一个条件后,

仍无法判定aABC之△£>£/:'的是（)

A.AB=DEB.AC=DFC.NA=/。D.BF=EC

7.如图，在△ABC和△£）£：尸中，NB=NDEF,AB=DE,添加下列一个条件后，仍然不能

证明△ABC丝△£）£：「，这个条件是（）

A./A=N。B.BC=EFC.NACB=NFD.AC=DF

8.如图，四边形ABC。中，AB=AD,AC=5,ND4B=NDCB=90°,则四边形ABC。的

面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.17

9.如图，在△ABC中，AB=AC,ZABC=40°,BO是NABC的平分线，延长BO至E,

使QE=A£>,则NECA的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

10.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分NBAC,BNLAN于点、N,且48=10,BC

=15,MN=3,则△ABC的周长是（）

C.40D.41

11.如图是5X5的正方形网络，以点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作

的格点三角形与△A8C全等，这样的格点三角形最多可以画出（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

12.在△ABC中，已知NC4B=60°,D,E分别是边A8,AC上的点，且NAEC=60°,

ED+DB=CE,ZCDB=2ZCDE,则NDCB=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

13.如下图所示，。在AB上，且NB=/C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定aABE

彩△ACE)的是()

A.AD=AEB.ZAEB=AADCC.BE=CDD.AB=AC

14.如图，在△ABC中，NA=36°,AB=AC,CD、BE分别是N4CB,NABC的平分线,

CD、BE相交于F点，连接。E,则图中全等的三角形有多少组（）

A.3B.4C.5D.6

15.如图，已知AB〃CZ）,AB^CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

16.如图，A。是△A8C的中线，E、F分别在A8、AC上（且E,F不与端点重合），且。£

±DF,则（）

A.BE+CF>EF

B.BE+CF=EF

C.BE+CF<EF

D.BE+C尸与EF的大小关系不确定

17.在△ABC与△△'B'C中，下列条件不能保证aABC与aA'B'C全等的是（)

A./4=NA',NB=B',AC=A'C'

B.AB=A'C,AC=A'B'，ZB=ZC'

C.AB=A'C,AC=A'B',NA=/A'

D./A=NB',ZB^ZC,AB=B'C

18.若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△AC。全等的有（）

A./XBCEB./\ADFC.AAD£D./XCDE

二.填空题（共10小题）

19.如图，AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE.你所添加的条件

20.现有4、8两个大型储油罐，它们相距252,计划修建一条笔直的输油管道，使得A、

B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5h〃，输油管道所在直线符合上述要求的

设计方案有种.

21.如图，AABC的两条高A£>,2E相交于点凡请添加一个条件，使得△AOC丝△8EC

（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是.

22.如图，在△4BC和△OEF中，点B,F,C,E在同一直线上，BF=CE,AB//DE,请

添加一个条件，使这个添加的条件可以是（只需写一个，不添

加辅助线）.

23.如图，在四边形A8CD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,连接AC.若AC=6,

则四边形ABCD的面积为.

24.AABC中,AB=5,AC=3,4。是AABC的中线，设AO长为他，则相的取值范围是.

25.如图，BC//EF,AC//DF,添加一个条件，使得△ABC丝△£）££

D

C

26.如图，四边形A8C£>的对角线AC、BZ）相交于点O,/\ABO^^ADO.下列结论:

①AC_L8O；②CB=CD；③△ABCdAOC；④0A=OC.

其中所有正确结论的序号是.

27.如图，△ABC中，/A的平分线交BC于。，AB=AC+CD,/C=80°,那么的度

数是.

28.如图，已知五边形ABCDE中，NABC=NAE£>=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,

则五边形ABCDE的面积为.

三.解答题（共12小题）

29.如图，已知N1=N2,N3=N4,求证：BC=BD.

30.如图，在△4BC和△AOE中，AB^AD,/B=ND,Z1=Z2.求证：BC=DE.

31.如图，AB//CD,E、尸分别为AB、CD上的点，且EC〃BF,连接4。，分别与EC、

BF相交于点G,H,若AB=CQ,求证：AG=DH.

EB

32.如图，△ABC中，AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点。在AF的延长线上，

AD^AC.

(1)求证：△ABE安△ACF；

(2)若/8AE=30°,则/A£>C=______°.

D

33.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BCfAE=BFfCE=DF,求证：

AE//FB.

A

\^D________F

34.如图，点A,F,C,。在一条直线上，AB//DE,AB=DE,AF=DC.求证：BC//EF.

B

AD

E

35.如图，点A、。、C、F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求证：△A8C四△£>£/；

(2)若/A=55°,ZB=88°,求NF的度数.

BE

D

36.如图，点3、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于0.求

证：A。与BE互相平分.

-c,

D

37.如图，已知AB=A。，AC=AE,NBAE=NDAC.

求证：ZC=ZE.

/K

BD

38.如图，AB与CO相交于点及AE=CEfDE=BE.求证：ZA=ZC.

AC

39.如图，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、OB相交于点。.求证：OB=OC.

AD

BC

40.己知：如图，点4、D、C在同一条直线上，AB//DE,AB=AD,AC=DE,求证：ZC

—Z.E.

E

z

D

B

答案与解析

一.选择题（共18小题）

1.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是

只有丙

【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与AABC全等，甲与△A8C不全等.

【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS,

所以乙和△ABC全等；

在aABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS,

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△4BC全等；

故选：B.

【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS.ASA.AAS.HL.注意：A4A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全

等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

2.如图，ABVCD,且A8=CDE、F是上两点，CE±AD,BF1AD.若CE="，BF

A.a+cB.h+cC.a-b+cD.a+h-c

【分析】只要证明△ABFg△CDE,可得AF=CE=mBF=DE=b,推出AD=AF+DF

=〃+(b-c)—a^b-c；

【解答】解：'：AB±CD,CELAD,BF±AD,

：.ZAFB^ZCED=90Q,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

；./A=/C,,：AB=CD,

：.IXABF沼l\CDE,

：.AF=CE=a,BF=DE=b,

:EF=c,

.'.AD=AF+DF—a+(b-c)—a+b-c,

故选：D.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问

题，属于中考常考题型.

3.如图，ZACB=90°,AC=BC.ADICE,BE上CE,垂足分别是点。、E,AD=3,BE

A.3B.2C.2J2D.V10

2

【分析】根据条件可以得出/E=/AQC=90°,进而得出△CE8丝△AOC,就可以得出

BE=DC,就可以求出DE的值.

【解答】解：:BELCE,AD1CE,

：.ZE=ZADC=90°,

ZEBC+ZBCE=9Q°.

VZBCE+ZACD=9Q°,

:.NEBC=NDCA.

在△CEB和△AOC中，

fZE=ZADC

<ZEBC=ZDCA-

,BC=AC

：./\CEB^AADC(AAS),

：.BE=DC=\,CE=AD=3.

：.DE=EC-CD=3-1=2

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决

问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型.

4.如图，己知/ABC=/£>CB,添加以下条件，不能判定△ABC四△OCB的是（）

A.NA=NDB.ZACB=ZDBCC.AC=DBD.AB=DC

【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.

【解答】解：A、ZA=ZD,NABC=NDCB,BC=BC,符合4AS,即能推出△ABCg

△DCB,故本选项错误；

B、NABC=NDCB,BC=CB,NACB=NDBC,符合ASA,即能推出△ABCq△£>CB,

故本选项错误；

C、ZABC=ZDCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△

ABC^/\DCB,故本选项正确：

D、AB=DC,NABC=NDCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC丝△QCB,故本选

项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据

全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS,

ASA,AAS,SSS.

5.如图，点。，E分别在线段A8,4c上，C£>与8E相交于。点，已知4B=AC,现添加

以下的哪个条件仍不能判定△ABEgaACD（)

D

O

C

A.NB=NCB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD

【分析】欲使aABE之△AC£>,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS.

ASA添加条件，逐一证明即可.

【解答】解：/A为公共角，

4、如添加NB=NC,利用ASA即可证明AABE公△ACD；

B、如添A£）=AE,利用SAS即可证明aABE丝△AC。；

C、如添BO=CE,等量关系可得A£>=AE,利用SAS即可证明△ABE丝△4CD；

D、如添BE=C。，因为SSA,不能证明△ABEg/\4C£>,所以此选项不能作为添加的条

件.

故选：D.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要

求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理.

6.如图，点8、F、C、E在一条直线上，AB//ED,AC//FD,那么添加下列一个条件后，

仍无法判定△A8C名△CEF的是（）

A.AB=DEB.AC=DFC.ZA=ZDD.BF=EC

【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、44S进行判

断即可.

【解答】解：选项4、添加4B=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项B、添加AC=O尸可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加不能判定aABC之△〃£厂,故本选项正确；

选项。、添加8F=EC可得出8c=EF,然后可用ASA进行判定，故本选项错误.

故选：c.

【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟

练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较

典型.

7.如图，在△ABC和△QEF中，NB=NDEF,AB=DE,添加下列一个条件后，仍然不能

证明aABC也△£）£：£这个条件是（）

A.ZA=ZDB.BC=EFC.ZACB=ZFD.AC=DF

【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、A4S即可得答案.

【解答】解：:NB=NDEF,AB=DE,

，添加=利用ASA可得AABC注ADEF；

添力口BC=EF,利用SAS可得△ABC之△£）£/；

添加NAC8=NF,利用A4S可得△A8C丝△DEF；

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS.

AAS和是解题的关键.

8.如图，四边形A8CQ中，AB=AD,AC=5,ND4B=NOCB=90°,则四边形ABC。的

面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.17

【分析】过A作AELAC,交CB的延长线于E,判定△ACD四△AEB,即可得到△ACE

是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与aACE的面积相等，根据S^ACE=LX5X5

2

=12.5,即可得出结论.

【解答】解：如图，过A作AELAC,交CB的延长线于E,

"：ZDAB=ZDCB=90Q,

，ZD+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

：.ND=ZABE,

又•.•/£)AB=/CAE=90°,

：.ZCAD=ZEAB,

y.,：AD=AB,

：.^ACD^^AEB,

：,AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形，

四边形ABCD的面积与AACE的面积相等,

VSAAC£=^X5X5=12.5,

2

四边形ABC。的面积为12.5,

故选：B.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角

形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定

条件.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适

当辅助线构造三角形.

9.如图，在△ABC中，AB=4C,NABC=40°,8。是NABC的平分线，延长BO至£,

使。E=AO,则NECA的度数为()

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】在BC上截取8尸=48,连。F,可得△A8O丝△FBD,得出对应边、对应角相

等，进而又得出△OCE彩△OCR即可得出结论.

【解答】解：在BC上截取BF=A8,连。F,

则有空△FBO(SAS),

：.DF=DA=DE,

又,.•/ACB=/ABC=40°,ZDFC=180°-ZA=80°,

AZFDC=60°,

：NEZ)C=NA£>8=180°-AABD-ZA=180°-20°-100°=60°,

:.△DCEm/\DCF(SAS),

故NEG4=NQCB=40°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，能够掌握并

进行一些简单的计算.

10.如图，M是△ABC的边8C的中点，4V平分NBAC,BNLAN于点、N,且AB=10,BC

=15,MN=3,则aABC的周长是()

【分析】可以延长8N交AC于点。，易证得RtZSANBgRlAAM),可得N为8。的中点;

由已知M是8c的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，据AC=AZHCD可

得AC的长，即可得△ABC的周长.

【解答】解：如图，延长8N交AC于点。，

平分/B4C,BNLAN于点、N,

在RtZXANB和RtZXAND中，ZBAN=ADAN,ZANB=ZAND,AN=AN,

:,丛ANB空丛AND(ASA),

：.AD=AB=10,BN=DN,

即N为8。的中点，

M是△ABC的边BC的中点，

：.CD=2MN=6,AC=AD+CD=10+6,

.'.△ABC的周长为:AB+AC+BC=10+(10+6)+15=41.

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是

解题的关键.

11.如图是5X5的正方形网络，以点。，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作

的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）

【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在。E下

方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形.

【解答】解：根据题意，运用SSS可得与△A8C全等的三角形有4个，线段。E的上方

有两个点，下方也有两个点.

故选：B.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA.AAS.HL做题时要做到不重不漏.

12.在△4BC中，已知/C4B=60°，D,E分别是边A8,AC上的点，且/AE£>=60°,

ED+DB=CE,NCDB=2NCDE,则()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【分析】此题要通过构造全等三角形来解；过B作。E的平行线，交AC于F；由于NAED

=NCAB=60°,因此△ACE是等边三角形，则N8£)E=120°,联立NCQB、ZCDE

的倍数关系，即可求得NCDE的度数:然后通过证△坑)€1丝△FCB,得到NC£)E=ZDCB+

ZDCE,联立由三角形的外角性质得到的/CZ)E+N。CE=/A。E=60°,即可求得/

DCB的度数.

【解答】解：ZCAB=60°,ZAED=60°,

：.△4£>£是正三角形.

作BF//DE交AC于F,

：.△ABFs

...△A8F是等边三角形，

则BD=EF,

从而EC=DE+BD=AB=BF,DE=FC,

又Nl=N2=120°,

:.△EDC9/\FCB,

0+x=cp；

；NC£>B=2(p,NBDE=120°,

.,.<p=40°,

0+x=4O°；

Ve+<p=0+4O°=60°

.,.9=20°,

得：x=20°.

故选：B.

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，正确画出图

形，并构造出全等三角形是解决问题的关键.

13.如下图所示，。在4B上，且NB=NC,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE

^/\ACD的是()

B

Zkc

AEL

A.AD^AEB.ZAEB^ZADCC.BE=CDD.AB=AC

【分析】三角形中/B=NC,/A=NA,由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除

错误答案.

【解答】解：添加A选项中条件可用A4S判定两个三角形全等；

添加8选项以后是AA4,无法证明三角形全等；

添加C选项中条件可用AAS判定两个三角形全等；

添加。选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；

故选：B.

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，

即AA5、ASA、SA5、SSS,直角三角形可用，〃定理，但AA4、SSA,无法证明三角形全

等，本题是一道较为简单的题目.

14.如图，在△ABC中，/A=36°,AB=AC,CD、BE分别是/ACB,/ABC的平分线,

CD.BE相交于F点，连接。E,则图中全等的三角形有多少组（）

【分析】首先根据已知条件，看能得出哪些边和角相等，然后再根据全等三角形的判定

方法来判断有多少对全等三角形.

【解答】'：AB=AC,NA=36°,

AZABC=ZACB=12°；

CD.BE分别平分NABC、ZACB,

，ZABE=ZACD=ZEBC=ZDCB=36°；

又TAyAC,NA=/A；

AAABE^AACD：(ASA)①

：.BE=CD；

又；BC=BC,NDCB=NEBC=36°,

:ADBCq/XECB；(SAS)(2)

,JDE//BC,

：.ZEDF=ZDEF=36°,

又,：NDBE=NECD=36°,DE=DE,

.'.△DEB义AEDC；(44S)③

由②得：DB=EC,/BDC=NCEB；

又,：NDFB=NEFC,

.♦.△BED四△CFE.(A4S)④

「△ABC中，ZA=36°,AB=AC,

：.ZABC^ZACB^180°~36°=72°,

2

；BE是/ABC的平分线，8是/AC3的平分线，

:.NEBC=NDBE=36°,

•：ZACB=72Q,

：.BE=BC,

'：BC//DE,

:.NDEB=NEBC=36°,

:.ABCFq丛BED,

同理可得，IXBCF仝XDCE.

所以本题的全等三角形共6组；

故选：D.

【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定方法.做题时根据已知条件，结合全等的

判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏.

15.如图，已知AB〃C£>,AB^CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（)

B

A.1对B.2对C.3对D.4对

【分析】分别利用ISAS,SAS,SSS来判定△ABEgZiOCF,AB£F^ACF£,

CDE.

【解答】解：

：.ZA=ZD,

"：AB=CD,AE=FD,

:.AABE四△DCFCSAS),

：.BE=CF,NBEA=NCFD,

：.ZBEF=ZCFE,

:EF=FE,

：./\BEF^/\CFE(SAS),

：.BF=CE,

"：AE=DF,

：.AE+EF=DF+EF,

即AF=DE,

：./\ABF^/\CDE(SSS),

.••全等三角形共有三对.

故选：C.

【点评】主要考查全等三角形的判定，常用的判定方法有44S,SSS,SAS,"L等.做题

时要根据已知结合判定方法，由易到难，循序渐进地找寻，做到不重不漏.

16.如图，4。是AABC的中线，E、尸分别在AB、AC1.(且£,尸不与端点重合)，且。E

±DF,则()

A

B.BE+CF=EF

C.BE+CF<EF

D.BE+C/与EF的大小关系不确定

【分析】延长ED到G,使ED=DG,连接CG,FG,则△BE。丝△CG。，根据线段的

等量代换，以及三边关系可求得

BE+CF>EF.

【解答】解：延长EO到G,使。G=EO,连接CG,FG,

在△BED与△CGO中，

fDG=ED

ZBDE=ZCDG>

BD=CD

:.△BEDmACGD(SAS),

:.CG=BE,ED=DG,

JL,JDEVDF

.•.F。是EG的垂直平分线，

：.FG=EF

"：GC+CF>FG

：.BE+CF>EF

故选：A.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及三边关系，关键知道两边之和大于第三

边.

17.在△ABC与AA'B'C中，下列条件不能保证aABC与aA'B'C'全等的是（）

A./A=/A'，NB=B'，AC=A'C

B.AB=A'C,AC=A'B',NB=NC'

C.AB=A'C,AC=A'B',NA=NA'

D.ZA=ZB',NB=NC',AB=B'C'

【分析】根据全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解.

【解答】解：A、/A=NA',NB=B',AC=A'C,根据A4S可判定△ABC和4

AEC全等;

B、AB=A'C',AC=A'B',NB=NC',不能判定AABC和△AbC一定全等；

C、AB=A'C,AC=A'B',NA=NA',根据SAS可判定△ABC和△Ab。全等；

D、/A=/8',NB=NC',AB=B'C',根据AS4可判定△ABC和△AEC全等；

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS、HL.

注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

18.若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△4CD全等的有（）

A.△BCEB./\ADFC.△ADED.ACDE

【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS,ASA,A4S,SSS）结合图形进行判断即可.

【解答】解：根据图象可知△A8和△4OE全等，

理由是：•.•根据图形可知AO=AO,AE=AC,DE=DC,

在△4CD和△AEO中，

'AD=AD

•AE=AC，

,DE=DC

：./\ACD^/\AED(555),

故选：C.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS.HL.

注意：A"、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

二.填空题(共10小题)

19.如图，AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE.你所添加的条件

是或/A£)C=/BEC或CE=C=等.

【分析】根据全等三角形的判定解答即可.

【解答】解：因为AC=BC,ZC=ZC,所以添加/力=NB或或CE=

CD,

可得△ACC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE,

故答案为：/A=/8或或CE=C£>.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS.HL.

注意：414、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

20.现有4、8两个大型储油罐，它们相距25n计划修建一条笔直的输油管道，使得A、

B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为05km,输油管道所在直线符合上述要求的

设计方案有4种.

【分析】根据点A、8的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；

【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示;

故答案为4.

【点评】本题考查整体-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

21.如图，ZVIBC的两条高AO,BE相交于点尸，请添加一个条件，使得△AOC04BEC

(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC=8C

【分析】添加AC=8C,根据三角形高的定义可得NAOC=NBEC=90°,再证明NEBC

=/D4C,然后再添加4c=8C可利用AAS判定△ADC四△BEC.

【解答】解：添加AC=8C,

「△ABC的两条高A£>,BE,

.,./4£>C=NBEC=90°,

/.ZDAC+ZC=90°,NEBC+NC=90°,

NEBC=ZDAC,

'/BEC=/ADC

在△AQC和△BEC中，ZEBC=ZDAC-

,AC=BC

AAADC^ABEC(AAS),

故答案为：AC^BC.

【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA,AAS.HL.

注意：A4A、SS4不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

22.如图，在△ABC和中，点8,F,C,E在同一直线上，BF=CE,AB//DE,请

添加一个条件，使△ABC之△QEF,这个添加的条件可以是AB=ED(只需写一个，

不添加辅助线).

【分析】根据等式的性质可得8C=EF,根据平行线的性质可得再添加A8=

ED可利用SAS判定△ABC四△DEF.

【解答】解：添加A8=ED,

,:BF=CE,

:.BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

'JAB//DE,

:.NB=NE,

'AB=ED

在△ABC和中，ZB=ZE-

,CB=EF

AABgADEF(SAS),

故答案为：AB=ED.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA,AAS.HL.

注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与,

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

23.如图，在四边形A8CD中，AB=AD,ABAD^ZBCD=90Q,连接AC.若AC=6,

则四边形A8CD的面积为18.

D

C

B

【分析】作辅助线；证明△ABM丝△AON,得至!|AA/=AN,与△%£>N的面积相等;

求出正方形AMCN的面积即可解决问题.

【解答】解：如图，作AMLBC、ANLCD,交CO的延长线于点N；

ZBAD=NBC£)=90°

，四边形AMCN为矩形，ZMAN=90°；

VZBAD=90°,

:.NBAM=NDAN；

在△AB例与△ADV中，

'/BAM=/DAN

<ZAMB=ZAND>

,AB=AD

：./\ABM^/\ADN(A4S),

；.AM=AN(设为人)；△ABM与△ADV的面积相等；

二四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；

由勾股定理得：A^^AM^MC2,而AC=6；

；.2入2=36,入〜=18,

方法二：将三角形AOC绕点A顺时针旋转90度得到△48C',只要证明△ACC'是等

腰直角三角形，然后面积可用LCXAC'来表示.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知

识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形.

24.△ABC中，AB=5,AC=3,A。是8c的中线，设A。长为机，则，"的取值范围是

1<烧<4.

【分析】作辅助线，构建根据三角形三边关系得：EC-AC<AE<AC+EC,即5

-3<2/n<5+3,所以1<机<4.

【解答】解：延长AO至£使连接CE,则4E=2m,

是△ABC的中线，

：.BD=CD,

在△AOB和△££>(7中，

'AD=DE

•,<ZADB=ZEDC.

.BD=CD

/XADB之AEDC,

：.EC=AB=5,

在AAEC中，EC-AC<AE<AC+EC,

即5-3<2/M<5+3,

Z.I<m<4,

故答案为：

【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线

的作法是关键.

25.如图，BC//EF,AC//DF,添加一个条件AB=£)E或8C=£•尸或AC=£>尸或A£)=BE

(只需添加一个即可)，使得△ABC丝△£)££

A

E，------F

【分析】本题要判定△ABC会△£)£下,易证NA=NEDF,NABC=NE,故添加AB=QE、

BC=EF或AC=£>尸根据ASA、A4S即可解题.

【解答】解：,JBC//EF,

：.ZABC=ZE,

,JAC//DF,

：.ZA=ZEDF,

，ZA=ZEDF

•.•在△ABC和△£>£/中，.AB=DE，

,ZABC=ZE

XABgXDEF,

同理，BC=EF或AC=Q尸也可证△ABC乌△£）££

故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、44S、HL.注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，

必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

26.如图，四边形A8CD的对角线AC、8。相交于点。，^ABO^/XADO.下列结论：

①AC_LB。；②CB=CD；③△ABCdAOC；@DA=DC.

其中所有正确结论的序号是①②⑶.

C

【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AQ,ZBAO=ZDAO,ZAOB=ZAOD=90°,

OB=OD,再根据全等三角形的判定定理得出AABC名△AQC,进而得出其它结论.

【解答】解：VAABO^AADO,

：.AB=AD,ZBAO=ZDAO,ZAOB=ZAOD=90°,OB=OD,

：.AC1BD,故①正确；

1/四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

：.ZCOB=ZCOD=^90°,

在△ABC和△AOC中，

'AB=AD

,ZBA0=ZDA0-

,AC=AC

.,.△ABC丝△ADC(SAS),故③正确；

.\BC=DC,故②正确.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS,SAS,

ASA,AAS,以及HL,是解题的关键.

27.如图，△ABC中，NA的平分线交BC于Q,AB=AC+CD,ZC=80°,那么的度

【分析】在A8上截取AE=AC,先根据角平分线的定义得N8AQ=/CAQ,再根据“SAS”

可判断△AECg△AC。，则EQ=CQ,ZA£D=ZC=80°,由于AB=AC+CC得至EB

=CD=ED,即△EBO为等腰三角形，所以NAED=NB+NEDB,于是ZB=L/AED=

2

40°.

【解答】解：在A8上截取AE=4C,如图，

；4力平分/BAC,

：.4BAD=4CAD,

•在△AED和△ACD中

'AE=AC

<ZEAD=ZCAD)

AD=AD

...△AE。丝△ACQ(SAS),

:.ED=CD,/AED=NC=80°,

"：AB=AC+CD,

：.EB=CD=ED,

:.ZB=NEDB,

'：ZAED=ZB+ZEDB,

：.ZB=J^ZA£D=40°.

2

故答案为40°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“AS4”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等.也考查了等腰三角形的性质.

28.如图，已知五边形ABCDE中，NA3C=NAE£>=90°,AB^CD=AE=BC+DE^2,

则五边形ABCDE的面积为4.

【分析】可延长OE至F,使EF=BC,可得aABC丝△4£：-连AC,AD,AF,可将五

边形ABCDE的面积转化为两个△AOF的面积，进而求出结论.

【解答】解：延长DE至凡使EF=BC,连4C,AD,AF,

'：AB=CD=AE=BC+DE,ZABC=ZAED=90a,

由题中条件可得RtAABC^RtAAEF,△ACO也△AFQ,

/.SABCDE=2S&ADF=2X1.-。尸•AE=2XLX2X2=4.

22

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，注意对基础

知识的熟练掌握及综合运用.

三.解答题(共12小题)

【